辽宁省辽西重点高中2026届高三上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省辽西重点高中2026届高三上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析），共16页。
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以.
故选：B
2．已知函数恰有1个零点，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
若时，，则有且仅有一个零点，符合题意；
若时，则，当时，，
则在上单调递增，即时，取得最小值，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
即时，取得最大值，
因为函数有且只有一个零点，所以，解得；
若时，则，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
即时，取得最小值，
当时，，
则在上单调递增，
即时，取得最大值，
因为函数有且只有一个零点，所以，解得；
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C
3．某袋中有5个不同颜色的球．芷晴从该袋中随机抽出一个球，然后她把所抽出的球放回该袋中，再从该袋中随机抽出一个球．求所抽出的两个球的颜色不同的概率．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】袋中有5个不同颜色的球．芷晴从该袋中随机抽出一个球，然后她把所抽出的球放回该袋中，再从该袋中随机抽出一个球所有基本事件个数为：，
设事件为“所抽出的两个球的颜色不同”，则事件为“所抽出的两个球的颜色相同”，
所以事件包含的基本事件个数为，则事件为“所抽出的两个球的颜色不同”包含的基本事件个数为，
所以;
故选：D
4．在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】以为基底，
，
又，所以由平面向量基本定理可知，，
则，又，所以．
故选：C
5．先将函数（且）的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有无数个解，则的值不能为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【详解】由题意可得，函数（且），
所以由三角函数周期性性质可知，
方程有无数个解方程有解方程有解，
设，因为且，
所以当为奇数时，，
当时，，
综上，的值域为，所以的取值范围为.
故选：D.
6．设有复数，，令，则复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为，
则.又因为，
所以，
所以，
，所以.
，
故选：A
7．在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在中，，
由正弦定理可得：，
所以
即
即
又因为，得：
在中，，，
所以.
故选：C
8．单调递增的等差数列满足，当公差取最小值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，，表示点到原点的距离，表示点到点的距离，表示点到点的距离；
已知，
根据绝对值的几何意义可知，数列中的项应满足，，
因为，由，可得，所以的最小值为，
当时，，，
解不等式可得；解不等式可得，所以.
故选:C．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．的最小值为
C．D．
【答案】ACD
【详解】因为，，且，
对于A选项，由基本不等式可得，可得，
当且仅当时，等号成立，故 A正确；
对于B选项，设，则，
因为对勾函数在上单调递减，
故当时，取最小值，即，
故的最小值为，故B错误；
对于C选项，，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D选项，
，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ACD.
10．已知函数，若有个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】当时，单调递减；
当时，对称轴，且开口向下.
∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
∴，，
函数大致图象如下：
令，即个零点，即
∴，
A选项，作关于对称的函数，如图：
由图可知，∴，A选项正确；
B选项，由对称性可知，∵，∴，
∴，B选项正确；
C选项，当时，，
，则，，
此时，
∵，∴，C选项错误；
D选项，，
∵是方程的两根，∴，
又∵，即，
∴，
令，显然在上单调递增，
∴，D选项正确.
故选：ABD.
11．已知函数，则（ ）
A．B．是的极值点
C．当时，D．当时，
【答案】ACD
【详解】选项A：由题可知：，所以选项A正确；
选项B：由得函数的定义域为，
在上恒成立，所以函数单调递增，没有极值点，所以选项B错误；
选项C：当时，因为，所以，由选项B知，函数单调递增，所以，所以选项C正确；
选项D：因为函数，
所以，
所以，所以.
当时，，即，由选项B知函数单调递增，所以，所以所以选项D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数是减函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为函数是上的减函数，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
13．已知向量满足，且对任意的，都有，则的最大值是 ．
【答案】12
【详解】因为对任意，都有，如图，由图可知，
，又，所以，
又，
所以，即，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值是12．
故答案为：12

14．已知的内角，，对应的边分别为，，，为边上的高，若，则 .
【答案】
【详解】，同理，
故
，
又，则，
由正弦定理可得，
化简得，故.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15．已知函数.
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以方程的两根为，且.
所以，解得.
（2）当时，，
若，不等式转化为，对一切实数都成立，满足题意；
若，不等式转化为即，不满足题意；
当时，由题意可知解得或.
综上所述，实数的取值范围为.
16．已知，函数的最大值为3，最小值为.
(1)求的值；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）依题意，，
由，得，，又，
因此，，
所以，.
（2）由（1）知，则，
即，依题意，不等式在上有解，
因此，不等式成立，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，则，于是，
所以k的取值范围是.
17．如图，在三棱锥中，平面为棱的中点，，.
(1)求二面角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）取中点，连接， ，因为，为 中点，
所以.
因为平面平面，所以， .
在中，，
在中，，
从而，又 为中点，
所以. 故为二面角的平面角，
因为平面 平面，所以，
又，所以，
从而，
所以二面角的余弦值为.
（2）设点到平面的距离为.
因为平面，所以平面.
又平面，所以.
所以.
由，得，即，故，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18．已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围；
(3)设，且，证明：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，
所以为函数的一个正周期，所以可求时的值域，
对求导得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
又，，，，
所以函数的值域为；
（2）记，
，
因为，由，解得，
当时，，因此在区间上单调递减，
所以，即在区间上恒成立，
当时，存在，使得当时，，因此在区间上单调递增，
当时，，即在区间上不恒成立，
故实数的取值范围为.
（3）当时，由（2）得，
对任意的，有，即，
因此（，且），即，
设，，则，
令，，
则，可得在区间上单调递减，
所以，
所以在区间上单调递减，所以，
所以当时，，
可得当且时，，
所以，
因此，.
19．有一个不断分裂的细胞，每秒钟分裂次，每次分裂生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，生成个细胞的概率为，原来的细胞分裂后消失，分裂出的新细胞下一秒继续分裂且各个细胞间相互独立.假设多个细胞每次个数的变化只进行整体考虑，不分开考虑每个细胞.记个细胞分裂次后共有个细胞的概率为.
(1)求、；
(2)求；
(3)已知：若和均为离散型随机变量，则.证明：.
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，
若第二次分裂出现个细胞，有两种情况：
第一种情况：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞分裂成个；
第二种情况：第一次个细胞分裂成个，第二次个细胞各分裂成个.
所以；
若第三次分裂出现个细胞，有两种情况：
第一种情况：第二次个细胞分裂成个细胞；
第二种情况：第二次个细胞每个细胞各分裂为个.
所以.
（2）第次分裂后只有个细胞，则这次分裂中，有次由个细胞分裂成个细胞，有次由个细胞分裂成个细胞；
设第次由个细胞分裂成个细胞，后面的次都是由个细胞分裂成个细胞；则
；
则.
（3）记分裂次后细胞个数为，令，
设表示第次分裂后生成的第个新细胞，经过第次分裂后增加的细胞个数，
即分裂产生个细胞时，分裂产生个细胞时，
分裂产生个细胞时，可得；
可知，
得；
可知，；
得，
求得，
得，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，即，
易知，
当时，，
即，
所以，
累加可得
，