新疆乌鲁木齐市第四十一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份新疆乌鲁木齐市第四十一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了、单选题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

一 、单选题
1.下列方程中，属于一元二次方程的是()
A.x²-3x+2=0 B.x²-xy=0 C.ax²+bx+c=0 D.2(x-1)=x
2. 抛物线：对称轴是()
A. 直线x=-1 B. 直线x=-3 C. 直线x=3 D. 直线x=1
3.如果关于x 的一元二次方程(m-3)x²+3x+m²-9=0, 有一个解是0,那么m 的 值 是 ( )
A.3 B.-3 C.±3 D.0 或-3
4. 若关于x 的一元二次方程x²+3x-k=0 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 ( )
A. B. D.
5. 已知关于x的一元二次方程x²+bx+c=0, 其中b,c 在数轴上的对应点如图所示，则这个 方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
6. 如图，某小区计划在一块长为32m, 宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩 余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m². 若设道路的宽为xm, 则下面所列方程正确 的是( ).
A.(32-2x)(20-x)=570 B.32x+2×20x=32×20-570
C.(32-x)(20-x)=32×20-570 D.32x+2×20x-2x²=570
试卷第1页，共5页
7. 一元二次方程x²-6x-8=0 配方后可化为()
A.(x-3)²=17 B.(x-3)²=14 C.(x-6)²=44 D.(x-3)²=1
8.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线y=5x², 则原 抛物线解析式为()
A.y=5(x+2)²+3 B.y=5(x+2)²-3
C.y=5(x-2)²+3 D.y=5(x-2)²-3
9.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折 竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断 后的竹子高度为多少尺?”(备注：1丈=10尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意， 可列方程为( )
A.x²+4²=(10-x)² B.(10-x)²+4²=x²
C.x²+(10-x)²=4² D.x0x)=4²
10. 设a,b 是方程x²+x-2026=0 的两个实数根，则a²+2a+b 的 值 是 ( )
A.2026 B.2025 C.2024 D.2027
二、填空题
11.方程x(x-1)=0 的一个根是x=0, 则另一个根是 .
12. 二次函数y=(x-3)²+4 的顶点坐标是_ .
13.将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线的函 数关系表达式是
14.科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠 了132件，那么全组共有 名学生.
15. 关于x 的方程(2-a)x²+5x-3=0 有实数根.则整数a 的最大值是
16.如图是一张长12cm, 宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩 形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积24cm²是的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的 边长为_ cm.
试卷第2页，共5页
三 、解答题
17. (1)解不等式组： ,并在数轴上表示出解集.
(2)解方程： x²-4x+2=0
(3)解方程：2(x-3)²=x²-9.
18. (1)已知实数a 满足a²+a-2=0,5
(2)某商场销售某种冰箱，每台标价为3000元.若商场连续两次降价，每次降价的百分率 相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率.
19. 如图所示，VABC中 . ∠B=90ZAB=6cm,BC=8cm, 点 P从点A开始沿AB边向B以 1cm/s 的速度移动，点Q 从 B点开始沿BC 边向点C 以 2cm/s的速度移动，如果点P,Q 分别 从A,B 同时出发，当其中某一个点到达终点时，另外一点也随之停止.
(1)经几秒，使△PBQ 的面积等于8cm²?
(2)经几秒，P、Q 两点间的距离是 √53cm?
20. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一 个1米的门，墙的最大可用长度为30米.
(1)如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；
(2)羊圈的总面积能为500平方米吗?若能，请求出边AB 的长；若不能，说明理由.
21. 已知关于x 的一元二次方程x²-(m+3)x+m+1=0
(1)求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程一根为3,以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长.
22. 先阅读，再解决问题.
阅读：材料一配方法可用来解一元二次方程.例如，对于方程x²+2x-1=0 可先配方
(x+1)²=2, 然后再利用直接开平方法求解方程.其实，配方还可以用它来解决很多问题.
材料二对于代数式3a²+1, 因为3a²≥0,所以3a²+1≥1, 即 3a²+1有最小值1,且当a=0 时，3a²+1取得最小值为1.
类似地，对于代数式-3a²+1, 因为-3a²≤0, 所以-3a²+1≤1, 即-3a²+1 有最大值1,且 当a=0 时，-3a²+1取得最大值为1.
解答下列问题：
(1)填空：①当x= 时，代数式2x²-1 有最小值为. ;
②当x= 时，代数式-2(x+1)²+1 有最大值为 _ ·
(2)试求代数式2x²-4x+1 的最小值，并求出代数式取得最小值时的x 的值 .
(要求写出必要的运算推理过程)
23. 某超市经销一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y ( 千 克)与销售单价x (元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如 表所示：
(1)求y (千克)与x (元/千克)之间的函数表达式；
销售单价x(元/千
克 )
40
45
55
60
销售量y(千克)
80
70
50
40
(2)若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得 的利润为800元，则每天的销售单价应为每千克多少元?
24.如图1,抛物线y=(x-1)²+k与 x轴交于A、B两点，与y 轴交于C 点.并且已知A(-1,0),
图 1 备用图
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E 是抛物线的对称轴与直线BC 的交点，点F 是抛物线的顶点，求EF 的长；
(3)设点P 是(1)中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△P=6 的点P? 如果存在，请求 出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
试卷第5页，共5页
《新疆乌鲁木齐市第四十一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷》参考
答案
1.A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义(只含有一个未知数， 并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)是解此题的关键.根据一 元二次方程的定义逐项判断即可求解.
【详解】解：A.方程x²-3x+2=0 是一元二次方程，故本选项符合题意；
B.方程x²-xy=0 是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.当a=0 时，方程αx²+bx+c=0 不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.方程2(x-1)=x 是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意.
故选：A
2.B
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质根据=a(x-h)²+k 的性质进行解答即可.
【详解】解：抛物线 轴是直线x=-3,
故选：B
3.B
【分析】把x=0 代入方程(m-3)x²+3x+m²-9=0 中，解关于m 的一元二次方程，注意m 的取 值不能使原方程对二次项系数为0.
【详解】解：把x=0 代入方程 (m-3)x²+3x+m²-9=0 中，得 m²-9=0,
解得m=-3 或 3 ,
当 m=3 时，原方程二次项系数m-3=0, 舍去， . ∴m=-3
故选：B.
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义 是解题的关键.
4.A
答案第1页，共13页
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
A
A
A
A
C
A
B
【分析】本题考查了根的判别式： 一元二次方程cx²+bx+c=0(a≠0) 的根与△=b²-4ac 有 如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；
当△0, 然后解不等式即可.
【详解】解：根据题意得△=3²-4(-k)>0,
解得
故选：A.
5.A
【分析】计算判别式的值即可判断.
【详解】解：∵b>0,0,
∴有两个不相等的实数根.
故选：A.
【点睛】本题考查了根的判别式： 一元二次方程+bx+c=0,(a≠0) 的根与△=b²-4ac 有 如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的 两个实数根；当△2,
解不等式②得：x>3,
∴原不等式组的解集是：x>3, 它的解集在数轴上表示为：
移项，得x²-4x=-2,
配方，得x²-4x+2²=-2+2²,
答案第6页，共13页
(x-2)²=2,
根据平方根的意义，得 x-2=±√2,
即 ：x-2= √2 或 x-2=- √2, 即 ：x₁=2+ √2,x₂=2- √2;
(3)2(x-3)²=x²-9,
去括号，得2x²-12x+18=x²-9,
移项合并同类项，得x²-12x+27=0, 移项，得x²-12x=-27,
配方，得x²-12x+6²=-27+6², (x-6)²=9,
根据平方根的意义，得 x-6=3 或x-6=-3,
即 ：x₁=9,x₂=3.
18. (1)2;(2)每次降价的百分率是10%
【分析】此题考查了分式的化简求值，一元二次方程的应用，涉及了因式分解法求解一元二 次方程，解题的关键是掌握分式的有关运算法则，并掌握一元二次方程的求解方法.
(1)先将分式进行化简，再由因式分解法解一元二次方程求出a 的值，然后代入求解即可.
(2)设每次降价的百分率为x, 依题意列出关于x 的一元二次方程，求解即可.
【详解】(1)解：
∵a²+a-2=0,
∴a₁=1,a₂=-2
当a=1 时 ，a-1=0, 分母为0,
∴a=1 (舍去),
答案第7顶，共13页
当 a--2 时 , 原;
(2)解：设每次降价的百分率为x, 依题意，得3000(1-x)=2430,
解得x₁=0.1,x₂=1.9 (不合题意，舍去).
答：每次降价的百分率是10%.
19. (1)2或4
(2)3.4
【分析】考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用直角 三角形的面积公式列方程求解.
(1)根据题意表示出BP、BQ 的长，再根据三角形的面积公式列方程即可.
(2)设经过t 秒 ，P 、Q两点间的距离为√53cm, 先根据点的运动表示出PB=(6-t)cm,
BQ=2tcm, 再根据勾股定理PB²+BQ=PQ², 列方程6 -t²+(2+)²=( √53², 解方程即可 求解 .
【详解】(1)解：设经过t 秒，使△PBQ的面积等于8cm,
已知点P 的速度是1cm/s, 则AP =tcm, ∴PB=(6-t)cm,
点Ω的速度是2cm/s, 则BQ=2tcm, ∵∠B=90°,
根据三角形的面积公式，
t²-6t+8=0,
解得t=2 或 4 .
故经过2秒或4秒，能使△PBQ 的面积等于8cm².
(2)设经过t秒 ，P、Q 两点间的距离是 √53cm,
由(1)知(6-t)cm,BQ=2tcm, ∵∠B=90°,
根据勾股定理PB²+BQ²=PQ²,
即：(6-t)²+(2+²=( √53)², 整理，得5t²-12t-17=0,
根据求根公
解得：34或 (时间不能为负，舍去),
∴经过3.4秒，P.Q 两点间的距离是√53cm.
20. (1)边AB 的长为15米；(2)羊圈的总面积不能为500平方米，理由见详解
【分析】(1)设AB=x 米，则有BC=(80-4x)m, 然后根据矩形面积公式可列出方程求解；
(2)由(1)可得x(80-4x)=500, 然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解. 【详解】解：(1)设AB=x米，由题意可得：BC=(80-4x)m,
∴x(80-4x)=300,
解得：x=15,x₂=5,
∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时 ，BC=80-4?560m, ∴x=15,
答：边AB 的长为15米；
(2)由(1)可得： x(80-4x)=500,
化简得：x²-20x+125=0,
∴D=20²-4 创1125=- 1000,
则无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)∵方程一根为3 ∴3²-3(m+3)+m+1=0
解得
设方程的另一个根为x, 利用根与系数的关系得
又∵方程两根为等腰三角形两边长
∴当为腰时， ,不能组成三角形；
当3为腰时，3,3, 可以组成三角形，其周长为
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，解题的关键是熟 练掌握一元二次方程根的判别式与解的关系.
22. 0 -1 -1 1
【分析】(1)根据材料二得出的规律，可直接得出答案；
(2)先把代数式2x²-4x+1 变形为2 (x-1)²-1, 再根据2(x-1)²≥0, 得出2(x-1)²-1≥-1, 即可求出代数式取得最小值时的x 的值 .
【详解】(1)根据题意得：
①当x=0 时，代数式2x²-1有最小值为-1;
②当x=-1时，代数式-2(x+1)²+1 有最大值为1; 故答案为0,-1;-1,1. ;
(2):2x²-4x+1=2(x²-2x)+1=2(x²-2x+1-1)+1=2(x-1)²-1,
2(x-1)²≥0,
∴2(x-1)²-1≥-1,
即 2(x-1)²-1 有最小值-1,
当x=1 时，2(x-1)²-1取得最小值-1.
【点睛】考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改 变式子的值.
23.(1)y=-2x+160
(2每天的销售单价应为每千克40元.
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根据题意找出等 量关系是解题关键.
(1)设y (千克)与x (元/千克)之间的函数表达式为y=kx+b, 利用待定系数法即可求 解；
(2)根据题意列一元二次方程，求解取其符合条件的值，即可得到答案.
【详解】(1)解：设y (千克)与x (元/千克)之间的函数表达式为y=kx+b,
则 ,解得：
y (千克)与x (元/千克)之间的函数表达式为y=-2x+160;
(2)解：由题意得：(x-30)(-2x+160)=800,
整理得：x²-110x+2800=0,
解得：x=40,x₂=70,
∵销售单价不低于成本价，且不高于60元， 二x=40
即每天的销售单价应为每千克40元.
24.(1)y=(x-1)²-4 (2)2
(3)点P 的坐标为(1+ √7,3)或(1- √7,3)或(0,-3)或(2,-3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行 求解，是解题的关键：
(1)利用待定系数法求解即可；
(2)首先求出直线BC 的解析式，进而求出E 点坐标，根据抛物线的解析式求出顶点坐标，
两点间的距离公式求出EF 的长即可；
(3)根据,求出yp, 进而求出P点坐标即可. 【详解】(1)解：∵抛物线y=(x-1)²+k 与x 轴交于点A(-1,0),
二(-1-1)²+k=0, 解得k=-4, 二抛物线的解析式为y=(x-1)²-4.
(2)∵y=(x-1)²-4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1, 顶点F 的坐标为(1,-4).
令x=0, 则y=(0-1)²-4=-3, 当y=(x-1)²-4=0 时，解得x=-1,x₂=3 B(3,0),C(0,-3).
设直线BC的解析式为y=kx-3.
把B(3,0)代入，得3k-3=0, 解得k=1, ∴直线BC 的解析式为y=x-3,
∴当x=1 时 ，y=-2, 即点E 的坐标为(1-2);
二EF=|-2-(-4)|=2.
(3)存在.
设点P 的坐标为(x,y).
∵A(-1,0),B(3,0), ∴AB=4,
二y|=3, 二y=±3.
当y=3时 ，(x-1)²-4=3,
解得x₁=1+ √7,x₂=1- √7,
∴点P 的坐标为(1+ √7,3)或(1- √7,3); 当y=-3 时 ，(x-1)²-4=-3,
答案第12页，共13页
解得x₃=0,x₄=2,
∴点P 的坐标为(0,-3)或(2,-3).
综上所述，点P 的坐标为(1+ √7,3)或(1- √7,3)或(0,-3)或(2,-3).
答案第13页，共13页