安徽省宿州市埇桥区城区协作区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份安徽省宿州市埇桥区城区协作区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共40分）
1. 如图，是一种氮气弹簧零件的实物图，可以近似看成两个圆柱对接而成，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列三角函数值是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断根的情况
4. 一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共24张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（ ）
A. 4张B. 18张C. 6张D. 12张
5. 如图，为菱形的对角线，于点E，若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知反比例函数，在下列结论中，不正确是（ ）
A. 图象必经过点
B. 图象过第一、三象限
C. 若，则
D. 点、是图象上的两点，，则
7. 如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 4或6
10. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△BDE∽△DPE；②=；③DP2=PH•PB；④tan∠DBE=2﹣．其中正确的是（ ）
A. ①②③④B. ①②④C. ②③④D. ①③④
二、填空题（共20分）
11. 已知实数，满足，则的值为_____．
12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“十“端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为______cm（保留根号）．
13. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 __．
14. 已知，如图，在平行四边形中，对角线、交于点，的垂直平分线交于点，连接并延长交与点，若，则：
（1）__________填：“”、“”或“”；
（2）__________．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
16. 如图，三个顶点坐标分别为、、．
（1）如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______；
（2）请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
18. 如下图中所示，寻找其中规律，
图1正三角形中共有4个点．图2正四边形中共有个点．
图3正五边形中共有个点．图4正六边形中共有______个点．
正七边形中共有______个点．依次类推……
图正边形中共有______个点．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图，已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，求点到水平线的距离的长．
20. 如图，在Rt中，，是的中点，，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，求四边形的面积；
21. 中国人工智能公司深度求索推出人工智能助手成为全球范围内广泛关注的焦点．某学校为了解学生对的了解程度，随机调查了部分学生，并根据收集到的信息绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下列问题：
（1）求接受随机调查的学生人数，及条形统计图中m的值；
（2）如果该校共有学生1000人，根据上述调查结果，求该校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度总人数大约是多少；
（3）达到“非常了解”程度的学生是2名男生和2名女生，若从这4名学生中随机抽取2人调查具体的使用情况，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
22. 已知：在矩形中，E为中点，作于点F．

（1）如图（1），求证：；
（2）如图（1），若，求值；
（3）如图（2），连结交于G，若，求的值．
23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点D的坐标及的面积；
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．宿州九中教育集团2025—2026学年度学业质量调研试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（共40分）
1. 如图，是一种氮气弹簧零件的实物图，可以近似看成两个圆柱对接而成，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定即可．
【详解】解：从左面看得该几何体的左视图是：
故选D．
【点睛】此题主要考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
2. 下列三角函数值是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，无理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，无理数得概念是解题的关键．分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可．
【详解】解：A、，是无理数，不符合题意；
B、，是分数，为有理数，符合题意；
C、，是无理数，不符合题意；
D、，是无理数，不符合题意；
故选：B．
3. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断根的情况
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况．
【详解】解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
4. 一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共24张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（ ）
A. 4张B. 18张C. 6张D. 12张
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查 已知概率求数量，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键．
根据频率及概率的关系和题意可直接列式计算．
【详解】解：∵一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共24张，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在，
∴（张），
故选：C．
5. 如图，为菱形的对角线，于点E，若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，，得出，因为四边形是菱形，故，，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
故选：B．
6. 已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）
A. 图象必经过点
B. 图象过第一、三象限
C. 若，则
D. 点、是图象上的两点，，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数（为常数，）的图象与性质，包括图象经过的点、所在象限、函数的单调性等．根据反比例函数性质逐个选项分析即可．
【详解】A．当时，，所以图象必经过点，正确，故本选项不符合题意；
B．，，所以图象过第一、三象限，正确，故本选项不符合题意；
C．当时，，因为反比例函数图象在每一个象限内随的增大而减小，所以若，则，错误，故本选项符合题意；
D．，，所以图象过第一、三象限，即、同号，所以，则，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
7. 如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断．
【详解】解：，
当时，，故A不合题意；
当时，，故C不合题意；
当时，，故D不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
8. 如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数和比例系数几何意义得到，，然后利用面积相减即可，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点，
∴，，
∴的面积为，
故选：．
9. 如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 4或6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，一元二次方程的应用，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
当点P在上运动时，面积逐渐增大，当点P到达点B时，结合图象可得面积最大为6，得到与的积为24；当点P在上运动时，面积逐渐减小，当点P到达点C时，面积为0，此时结合图象可知点P运动路径长为10，得到与的和为10，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】解：由图可知，，，
，，
，
整理得，
解得或，
当时，，，与矛盾，舍去，
，
，
故选：C．
10. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△BDE∽△DPE；②=；③DP2=PH•PB；④tan∠DBE=2﹣．其中正确的是（ ）
A. ①②③④B. ①②④C. ②③④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠PCD=30°，于是得到∠CPD=∠CDP=75°，证得∠EDP=∠PBD=15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正确由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到故②错误；由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到，PB=CD，等量代换得到PD2=PH•PB，故③正确；过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，求得∠PCD=30°，根据三角函数的定义得到CM=PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，由平行线的性质得到∠EDP=∠DPM，等量代换得到∠DBE=∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM===2﹣，故④正确．
【详解】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，
∵∠PBD=∠PBC﹣∠HBC=60°﹣45°=15°，
∴∠EBD=∠EDP，
∵∠DEP=∠DEB，
∴△BDE∽△DPE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴，故②错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴，
∴PD2=PH•CD，
∵PB=CD，
∴PD2=PH•PB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，
设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴CM=PN=PB•sin60°=4×=2，PM=PC•sin30°=2，
∵DE∥PM，
∴∠EDP=∠DPM，
∴∠DBE=∠DPM，
∴tan∠DBE=tan∠DPM===2﹣，故④正确；
故答案为①③④．
故选：D．
考点：相似形综合题．
二、填空题（共20分）
11. 已知实数，满足，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式求值，由可得，将其代入即可求解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
12. 黄金分割是汉字结构最基本规律．如图汉字“十“端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点C恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为______cm（保留根号）．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
根据黄金分割的定义得，即可得出结论．
【详解】解：∵点C恰好是线段的黄金分割点，即，，
，解得：，
∵，不符合题意舍去
，
故答案为：．
13. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 __．
【答案】且
【解析】
【分析】根据根判别式和一元二次方程的定义即可求出答案．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
又∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴且，
故的取值范围为：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式．解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式．
14. 已知，如图，在平行四边形中，对角线、交于点，的垂直平分线交于点，连接并延长交与点，若，则：
（1）__________填：“”、“”或“”；
（2）__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键：
（1）证明即可得出结论；
（2）证明，推出，设，列出方程进行求解即可．
【详解】解：在中，，
，
的垂直平分线交于点，
，
∴，
，
，
，
为的一个外角，
，
，
在中，，
在和中，
，
，
故答案为：．
，
，
．
在中，，
，
，
设，则上式可化为，即，
解得或负值，舍弃 ，
经检验是原方程的解，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．首先计算特殊角的三角函数值，零次幂和负指数幂，然后再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
16. 如图，三个顶点坐标分别为、、．
（1）如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______；
（2）请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的．
【答案】（1）点；．
（2）答案见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
（1）由位似变换定义∶位似中心为对应顶点连线所在直线的交点，可确定位似中心．有对应边长比可求出和位似比；
（2）位似变换有两种∶正向位似，反向位似．题给为反向位似，还存在满足（1）中条件的正向位似，即位似中心，画出另一个位似变换得到的．
【小问1详解】
解：作图连接，，交与点，
故位似中心为点．
和位似
位似比为对应边长之比，即和位似比．
由勾股定理得∶，．
故位似比．
故答案为：点，．
【小问2详解】
解：画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的．
位似中心点，与位似比为，绘图如图（连接，，．取其中点为，，，连接得到）
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔每个售价应定为50元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【小问1详解】
解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
小问2详解】
解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
18. 如下图中所示，寻找其中规律，
图1正三角形中共有4个点．图2正四边形中共有个点．
图3正五边形中共有个点．图4正六边形中共有______个点．
正七边形中共有______个点．依次类推……
图正边形中共有______个点．
【答案】，，
【解析】
【分析】本题考查图形的规律型问题，根据题目找到规律是解题关键．根据图形归纳出第个图形中点的个数，再代入可得答案．
【详解】解：图1为正三角形中共有4个点，；
图2为正四边形中共有个点，；
图3为正五边形中共有个点，；
图4为正六边形中点的个数为，
正七边形中点的个数为，
图为正边形中点的个数为．
故答案为：，，．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图，已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，求点到水平线的距离的长．
【答案】点C到水平线l的距离的长为dm
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解三角形及利用三角形等面积法求解，作出辅助线是解题关键．延长交于点，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解．
【详解】解：延长交于点，连接，
在中，，，
，，
，
，
，
，
答：点到水平线的距离的长为．
20. 如图，在Rt中，，是的中点，，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，求四边形的面积；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形三边的关系、直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）先根据斜边的中线性质得到，则可证明，然后根据菱形的定义可判断四边形为菱形；
（2）先利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，，再根据三角形面积公式计算出，则利用是的中点得到，接着根据菱形的性质得到，然后计算即可；
【小问1详解】
证明：，是的中点，
，
，．
，
四边形菱形；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
是的中点，
，
四边形为菱形，
，
四边形的面积．
21. 中国人工智能公司深度求索推出人工智能助手成为全球范围内广泛关注的焦点．某学校为了解学生对的了解程度，随机调查了部分学生，并根据收集到的信息绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下列问题：
（1）求接受随机调查的学生人数，及条形统计图中m的值；
（2）如果该校共有学生1000人，根据上述调查结果，求该校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是多少；
（3）达到“非常了解”程度的学生是2名男生和2名女生，若从这4名学生中随机抽取2人调查具体的使用情况，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）50人，
（2）人
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频数除以所占百分比等于样本容量，各频数之和等于样本容量计算即可；
（2）利用样本估计总体的思想，计算解答即可；
（3）画树状图，求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得 (人)，
(人)．
【小问2详解】
解：该校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是 (人)，
答：校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是660人．
【小问3详解】
解：根据题意，有女生2名，男生2名．
画树状图如图，共有12种等可能情况，一男一女的可能性有8种，
故一男一女的概率是
【点睛】本题考查了样本容量，频数的计算，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解题的关键．
22. 已知：在矩形中，E为的中点，作于点F．

（1）如图（1），求证：；
（2）如图（1），若，求的值；
（3）如图（2），连结交于G，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）8
（3）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）通过证明两对角相等，来证明；
（2）先根据矩形的性质得到，，再根据中点的意义求得的长，然后根据相似三角形的性质列出比例式，从而可求得；
（3）先证明，再列出比例式，再设，从而可得，，再证明，列出比例，进而求得．
【小问1详解】
证明：四边形矩形，

，
，
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
四边形是矩形，，
，，
为的中点，
，
，
，
；
【小问3详解】
延长交于点，

，
，，
，
，
设，，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点D的坐标及的面积；
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点D的坐标为，
（3）点Q的坐标为或
【解析】
【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可．
【小问1详解】
解：作轴于点，
∵为等边三角形，，
∴，，
∴，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C，
∴点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为，
∵，
∴点A的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），经检验，是原方程的解，
∴点D的坐标为，
∴；
【小问3详解】
解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称，
∴，，
∴，
∴，
当轴时，
，，
∴，
∵点D的坐标为，
∴点Q的坐标为；
当时，
，，
∴，
∵点D的坐标为，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键．