安徽省宿州市埇桥区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份安徽省宿州市埇桥区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版），共31页。试卷主要包含了 计算等内容，欢迎下载使用。
本卷共八大题计23小题满分150分
一．选择题：（本大题共10题，每小题4分，满分40分）
1. 计算：（ ）
A. 1B. C. D.
2. 由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
3. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A. B. C. 或D. 无法确定
5. 在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（ ）
A B. C. D.
7. 某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）．
A. 9mB. 10mC. 11mD. 12m
8. 如图所示，已知抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C. 当时，的取值范围是
D.
9. 如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. ∠DCF＝∠DFCD.
10. 如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知α锐角，且，则α=___________．
12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _____________．
13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是_________．
14. 已知直线经过抛物线的顶点，且当时，，则①a与b的关系是 _____；②当时，x的取值范围是 _____．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
16. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求该函数表达式；
（2）当气球内气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 在中，，是边上的高，，求和．
18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中：
（1）将先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到；
（2）以图中的点O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（3，0）、点B（0，3），顶点为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求∠OBM的正切值．
20. 如图，一艘渔船在海面上航行，准备要停靠到渔港C，渔船航行到A处时，测得渔港C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘渔船调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东67°方向航行30海里到达渔港C．求的距离．（结果精确到0.1海里．参考数据：（，，，）
六、（本题满分12分）
21. 某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）教育局抽取的初中生有___________人，扇形统计图中m的值是___________；
（3）已知平均每天完成作业时长在“”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是___________；
（4）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有___________人．
七、（本题满分12分）
22. 如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值，并求此时P点坐标．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，点是四边形边上一动点．且，，过点B作交延长线于点，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点．
①若．求证：；
②若．求的值．
安徽省宿州市埇桥区教育集团2024—2025学年度第一学期期末质量检测
九年级数学试卷
本卷共八大题计23小题满分150分
一．选择题：（本大题共10题，每小题4分，满分40分）
1. 计算：（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决此题的关键．构选含有角的直角三角形，然后利用正切的定义解答即可．
【详解】解：如图，作，使，，
∴，
∴，
故选：A．
2. 由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从左边向右边看的图形即可．
【详解】解：从左边向右边看，一个长方形里面有一条线段，且为实线，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图知识，左视图是从物体的左边向右边看的视图．
3. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
先根据反比例函数的性质得出，再解不等式即可得出结果．
【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴，
解得．
故选：A．
4. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A. B. C. 或D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为．
把代入求解，注意的取值范围．
详解】解：把代入得，
解得或，
，
，
故选：B．
5. 在正方形网格中，位置如图所示，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，在网格中判断直角三角形，求角的余弦值等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
取格点D，连接，利用勾股定理可求得、、的长，然后根据勾股定理的逆定理可证得，进而根据余弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图，取格点D，连接，
根据题意得：，，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6. 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，给出的四个条件①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD，从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先确定组合的总数，再确定能判定是正方形的组合数，根据概率公式计算即可．
【详解】一共有①②，①③，①④，②③，②④；③④6种组合数，
其中能判定四边形是正方形有①②，①③，②④，③④4种组合数，
所以能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是，
故选D．
【点睛】本题考查了概率公式计算，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．
7. 某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）．
A. 9mB. 10mC. 11mD. 12m
【答案】A
【解析】
【分析】设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出a、k的值即可．
【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，
∴当x＝2时，y＝9，
即AD＝9m，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题关键是用待定系数法求出函数的解析式．
8. 如图所示，已知抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论错误的是（ ）
A.
B.
C. 当时，的取值范围是
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上，可得，，再根据对称轴可得，即可判断；由抛物线与轴由两个的交点可判断；由对称轴和抛物线与轴的一个交点坐标为，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，又由图象可知时，抛物线位于轴上方，，据此可判断；由对称轴可判断，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上，
∴，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故正确，不符合题意；
∵抛物线与轴由两个的交点，
∴，故正确，不合题意；
∵对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∵时，抛物线位于轴上方，
∴当时，，故错误，符合题意；
∵，
∴，故正确，不合题意；
故选：C．
9. 如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥AC于点F，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. ∠DCF＝∠DFCD.
【答案】B
【解析】
【分析】由△AEF∽△CBF，可得，故A正确，不符合题意；
由三角形的中线的性质可得S△AEF＝S△ADF＝S△CDF，故B错误，符合题意；
过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM＝DE＝BC，得到CN＝NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故C正确，不符合题意；
由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D正确，不符合题意．
【详解】解：A、∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵点E是矩形ABCD的边AD的中点
∴AE＝AD＝BC，
∴AF＝FC，故A正确，不符合题意；
B、∵AF＝FC，
∴S△AFD＝S△CDF，
∵AE＝DE
∴S△AEF＝S△ADF＝S△CDF，
故B错误，符合题意；
C、过D作DM∥BE交AC于N，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF＝DC，
∴∠DCF＝∠DFC，故C正确，不符合题意；
D、设AD＝a，AB＝b，由△BAE∽△ADC，有．
∴b＝a
∵tan∠CAD＝，故D正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角形中线的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定及性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.
10. 如图，为矩形的对角线，已知，．点P沿折线以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作于点E，则的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据矩形的性质、勾股定理可得，再分和两种情况，解直角三角形分别求出的长，利用直角三角形的面积公式可得与间的函数关系式，由此即可得出答案．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点在上，即时，
在中，，
在中，，，
，
；
（2）如图，当点在上，即时，
四边形是矩形，，
四边形是矩形，
，
，
综上，与间的函数关系式为，
观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、二次函数与一次函数的图象，正确分两种情况讨论是解题关键．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知α是锐角，且，则α=___________．
【答案】45°
【解析】
【详解】试题分析：∵sin60°=，α是锐角，且sin（α+15°）=，∴α+15°=60°，解得α=45°．故答案为45°．
考点：特殊角三角函数值．
12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】作CF垂直y轴， 设点B的坐标为(0，a)，可证明（AAS），得到CF=OB=a，BF=AO=3，可得C点坐标，因为E为正方形对称线交点，所以E为AC中点，可得E点坐标，将点C、E的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值．
【详解】作CF垂直y轴于点F，如图，设点B的坐标为(0，a)，
∵四边形是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠FBC=90°
∴∠OAB=∠FBC
在△BFC和△AOB中
∴
∴BF=AO=3，CF=OB=a
∴OF=OB+BF=3+a
∴点C的坐标为(a，3+a)
∵点E是正方形对角线交点，
∴点E是AC中点，
∴点E的坐标为
∵反比例函数的图象经过点C，E
∴
解得：k=4
故答案为：4
【点睛】本题考查了反比例函数与图形的综合应用，巧用正方形的性质求C、E点的坐标是解题的关键．
14. 已知直线经过抛物线的顶点，且当时，，则①a与b的关系是 _____；②当时，x的取值范围是 _____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由，则该直线过点，则抛物线和x轴的交点为和，结合当时，，得到抛物线和直线的大致图象，进而求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
将代入并整理得：，
，
由，则该直线过点，
则抛物线和x轴的交点为和，结合当时，，
则抛物线和直线的大致图象如下图所示，
结合函数图象知，当时，，
∴x的取值范围是：，
故答案为：①②
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，画出函数大致图象是本题解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂的意义等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
先根据二次根式的性质、零指数幂的意义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．
16. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求该函数的表达式；
（2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，应用反比例函数解决实际问题，理解气压和气球体积的关系是解题的关键．
（1）设反比例函数关系式，再将点A的坐标代入即可得出答案；
（2）将代入关系式，求出解，再判断即可．
【小问1详解】
设，
将代入，得，解得，
∴所求函数的表达式为；
【小问2详解】
∵，
∴在第一象限内，p随V的增大而减小．
当时，．
∴为了安全起见，气体的体积应不小于．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 在中，，是边上的高，，求和．
【答案】，；
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，锐角的正弦的定义，利用勾股定理求解 再求解 再利用勾股定理求解 由的正弦等于对边比斜边可得答案.
【详解】解：如图，，是边上的高，，


；
18. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中：
（1）将先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到；
（2）以图中的点O为位似中心，将作位似变换且放大到原来的两倍，得到．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）把、、三点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，顺次连接得到的各点即可；
（2）延长到，使，同法得到其余各点，顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求；
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（3，0）、点B（0，3），顶点为M．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求∠OBM的正切值．
【答案】(1)y=x2﹣4x+3；（2）
【解析】
【分析】（1）先把A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）作MH⊥y轴于H，如图，先把抛物线解析式配成顶点式得到M点坐标，然后根据正切的定义求∠HBM的正切值即可．
【详解】（1）把A（3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c得：，
解得：，
所以y=x2﹣4x+3；
（2）作MH⊥y轴于H，如图，
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴M（2，﹣1）．
∵MH⊥y轴，∴H（0，﹣1）．
在Rt△BMH中，tan∠HBM==，即∠OBM的正切值为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和解直角三角形．
20. 如图，一艘渔船在海面上航行，准备要停靠到渔港C，渔船航行到A处时，测得渔港C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘渔船调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东67°方向航行30海里到达渔港C．求的距离．（结果精确到0.1海里．参考数据：（，，，）
【答案】的距离约为海里
【解析】
【分析】过B作于D，在中，利用正弦函数求得海里，海里，再在中，利用正切函数求出海里即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过B作于D，
由题意可知，，海里，
∴，
∴，
在中，，海里，
∴，
∴海里，海里，
在中，，
∴（海里），
∴（海里）
∴的距离约为海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是___________（填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）教育局抽取的初中生有___________人，扇形统计图中m的值是___________；
（3）已知平均每天完成作业时长在“”分钟9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是___________；
（4）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有___________人．
【答案】（1）抽样调查；
（2）300，30 （3）
（4）3000
【解析】
【分析】（1）根据题目中的“随机抽取几所学校部分初中生进行调查”可以判定是抽样调查；
（2）读图可得，A组有45人，占15%，即可求得总人数；用B组的人数除以总人数再乘100%即可得出答案；
（3）根据概率公式计算即可；
（4）由样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生的比例乘以10000人即可；
【小问1详解】
根据题目中的“随机抽取几所学校部分初中生进行调查”可以判定是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
【小问2详解】
教育局抽取的初中生人数为：（人）
B组人数为：
∴B组所占的百分比为：
∴
【小问3详解】
∵9名初中生中有5名男生和4名女生，
∴从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，恰好抽到男生的概率是
【小问4详解】
样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生占比
∴该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解答本题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】（1）
（2）2；P（-1，0）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．
【小问1详解】
解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）得抛物线的解析式为，
顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，
∵P在线段AB上，
∴，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则
∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，点是四边形边上一动点．且，，过点B作交的延长线于点，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接交于点．
①若．求证：；
②若．求的值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得，，进而可得，，再证即可；
（2）①连接，先证四边形是平行四边形得，，再证四边形是平行四边形，然后证四边形是菱形即可；
②先证得再由得进而证得，则，然后求出即可．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
在和中，
∴；
【小问2详解】
①连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
两边同时除以得：
∴，
解得：或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据相关知识证明和等量代换列式求解是解题的关键．