安徽省淮北市三校2026届高三第一次联合诊断性考试数学试卷（附答案解析）

这是一份安徽省淮北市三校2026届高三第一次联合诊断性考试数学试卷（附答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
2．若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．若定义在上的奇函数在上是增函数，且，则的解集为（ ）
A．B．或
C．或D．或
5．已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．在 中，内角 ，， 所对的边分别是 ，，，已知 ，且 ，，则 的面积是（ ）
A．B．C．D． 或
二、多选题
9．已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（ ）
A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得
B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C．若，，则
D．若所在直线两两共面，则共面
10．已知为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．为递增数列B．为递减数列
C．当时，的值最大D．当时，的值最大
11．下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则
B．函数的零点所在区间是
C．函数且的图象过定点
D．函数的定义域为，则的定义域为
三、填空题
12．设等比数列的前项和为，公比，若，则 ．
13．已知，为锐角，，，则 .
14．已知函数，若在其定义域上没有零点，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知．
(1)求的最小正周期和对称轴方程；
(2)已知的内角C满足，且点D在线段AB上，求CD的长．
16．设正项数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和，求证：
17．已知分别为锐角三个内角的对边，满足.
(1)求角的大小；
(2)若的面积，求的取值范围.
18．如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点M为的重心，AM的延长线交BC于点N，连接．设，，．
(1)用，，表示；
(2)证明：．
19．已知函数的图象关于坐标原点对称．
(1)求方程的解；
(2)若对任意的，都存在，使得成立，求的取值范围；
(3)若函数在区间上的最大值为，求的值．
《安徽省淮北市三校2026届高三第一次联合诊断性考试数学试卷》参考答案
1．B
【分析】先利用复数的乘方运算及除法运算计算z，再求解复数的共轭复数.
【详解】由题意有：，
所以.
故选：B.
2．C
【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解： 或，
，
，
故选：C
3．D
【分析】根据投影向量的数量积表达式结合向量的坐标运算得结论即可.
【详解】因为，
所以在方向上的投影向量为.
故选：D.
4．C
【分析】找到临界点，由函数的奇偶性与单调性求解即可.
【详解】由是奇函数，且定义域为，则， ，则，
又因为其在内是增函数，则有：
当或时，，
当或时，，
的解集为或，
故选：C
5．C
【分析】化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由为正实数，且，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
6．A
【详解】根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=，
∴，
∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，
∴．

考点：棱锥与外接球，体积．
【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．
7．A
【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断即可.
【详解】由，所以．
故选：A．
8．D
【详解】分析：由题意得，分和两种情况求解，然后结合三角形面积公式可得结果．
详解：∵，
∴．
①当时，为直角三角形，且．
∵，，
∴．
∴．
②当时，则有，
由正弦定理得．
由余弦定理得，
即，
解得．
∴．
综上可得 的面积是 或 ．
故选D．
点睛：在判断三角形的形状时，对于形如的式子，当需要在等式的两边约去时，必须要考虑是否为0，否则会丢掉一种情况．
9．ACD
【分析】根据空间向量基本定理逐一判断.
【详解】由空间向量基本定理知：仅当不共面时，才能作为基底，即，A错；
若是空间的一个基底，则不共面，
若共面，则，，
显然无解，即不共面，故也是空间的一个基底，B对；
若，，在空间中不一定平行，C错；
若所在直线两两共面，如四面体中共顶点的侧棱所在直线，即不一定共面，D错.
故选：ACD.
10．BCD
【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解.
【详解】由，得，即，所以，
又，所以，
设的公差为，所以，所以，
所以为递减数列，故A错误，B正确；
由上知，，所以，
所以与均是的最大值，故C，D均正确.
故选：BCD.
11．CD
【分析】利用作差法可判断A选项；利用零点存在定理可判断B选项；利用指数函数的基本性质可判断C选项；利用抽象函数求定义域的原则可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，，
则，
无法判断的符号，故无法判断的符号，A错；
对于B选项，因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为，，故函数在区间上无零点，B错；
对于C选项，对于函数且，，
即函数的图象恒过定点，C对；
对于D选项，因为函数的定义域为，则对于函数，有，解得，
故函数的定义域为，D对.
故选：CD.
12．
【分析】由，求得的值，从而可得公比，利用等比数列求和公式求解即可.
【详解】因为数列是等比数列，所以，，
所以是方程的两根，所以或，
所以公比或，所以或，
又，所以，所以
所以.
故答案为：.
13．
【分析】由和两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，为锐角，所以，，
所以，所以.
因为，所以，，
因为，所以，
，
所以..
，
故答案为：
14．
【分析】注意到，从而可得在定义域内恒成立，进一步可得，从而可得恒成立，故只需求出的最大值即可.
【详解】因为在上连续，又，
所以要使无零点，需使在其定义域上恒成立．
于是原问题转化为，求的取值范围．
当时，，不合题意；
当时，
，
，
，
，
，
当时，恒成立，
下面讨论的情况，
令，所以在上单调递增，又由式得
，所以，即恒成立．
令，令得．
因为当时，，所以在上单调递增；
因为当时，，所以在上单调递减，
所以是的极大值点，
，所以，即．
综上所述，的取值范围为．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键通过分析得出恒成立，由此即可顺利得解.
15．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用数量积的坐标表示及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求解.
（2）由（1）及已知求出，再利用诱导公式及等腰三角形性质求解.
【详解】（1）由，
得，
所以的最小正周期为，
由，得，
所以图象的对称轴为.
（2）在中，由，得，即，
而，即，则，，
由，得，而，
所以
16．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式；
（2）由（1）及裂项相消法求，即可证.
【详解】（1）当时，由，得，，得，
又，，且，作差得，
所以，，则且，
故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为；
（2）
∴.
又，所以.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简可得,结合辅助角公式即可求解；
（2）由三角形面积公式化简得，由正弦定理可得,化简后结合的范围即可求解.
【详解】（1）,
由正弦定理得：，
因为在中，
所以，
又因为，可得，即，
又因为在锐角中,
可得；
（2）因为，可得，
由正弦定理得，
又，
所以，
在锐角中
所以,
，
，
所以的取值范围为
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据空间向量的运算求得正确答案.
（2）通过计算来证得.
【详解】（1）因为为正三角形，点M为的重心，所以N为BC的中点，
所以，，
所以．
（2）设三棱柱的棱长为m，
则，
所以．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题设可得，进而可得，，再解方程即可；
（2）由题设可得，进而结合函数的单调性分，，三种情况讨论求解即可；
（3）令，，由题设可得在上的最大值为，而，进而分，，三种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为函数的图象关于坐标原点对称，
所以，即，
整理得，所以，解得，所以，
由，则，
令，得，解得或（舍），
所以，解得.
（2）若对任意的，都存在，
使得成立，
则，
因为与在上单调递增，所以在上单调递增，
所以，
所以，
当时，，解得；
当时，，不符合题意；
当时，，解得.
综上所述，的取值范围是.
（3）令，因为与在上单调递增，
则在上单调递增，
所以，
所以，，
令，，
依题意可得在上的最大值为，
又，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得；
当时，在上单调递增，
所以，解得（舍）；
当时，在上单调递减，
所以，解得（舍）.
综上所述，的值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
C
C
A
A
D
ACD
BCD
题号
11









答案
CD