江苏省盐城市五校联盟2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷含解析（word版）

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注 意 事 项：
1.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
2.答题前务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.
3.作答非选择题必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解绝对值不等式可求得集合，由交集定义可得结果.
【详解】由得：，即，.
故选：D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式，再利用充分条件和必要条件的概念进行判断.
【详解】不等式等价于，即，解得或，
因为集合是集合的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
3. 已知，则（ ）
A. B. C. 6D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】由换底公式性质求得，根据性质求解.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：B.
4. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论，即可结合判别式求解.
【详解】当时，不等式为，此时解集不为空集，不符合题意，
当时，若解集为空集，则，解得，
当时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意，
综上可得,
故选：C
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式进行化简，再结合齐次式将正弦、余弦转化为正切计算，即可得到答案.
【详解】由诱导公式得，
又，则.
故选：C.
6. 已知，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用将原式化为，进而结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4.
故选：D.
7. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性，结合已知条件，对不等式进行分类讨论并求解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减，
所以，在上单调递增.
所以当时，；当时，；
当时，；当时，.
不等式可变形为或，
①，解得；②，解得，
综上，不等式的解集为.
故选：D.
8. 已知函数为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的性质得出，可求出的值，推导出函数是以为周期的周期函数，结合周期性可得出的值.
【详解】因为函数为上的奇函数，则，
当时，，则，解得，
故当时，，
对任意的，，可得，
故，所以函数是以为周期的周期函数，
因为，，
所以，，
所以.
故选：C.
二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分.
9. 已知函数，若，求实数的值（ ）
A. 0B. -2C. 2D. 1
【答案】AC
【解析】
【分析】分和两种情况求解即可.
【详解】因为，
当时，解得，符合题意；
当时，解得，又，所以.
综上所述或.
故选：AC.
10. 下列函数中，满足对任意，的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可知，在上单调递增，结合选项分析判断.
【详解】由题意可知，上单调递增，
对于C选项，在上单调递减，
对于ABD选项，在上均单调递增.
故选：ABD.
11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 是奇函数
C. 函数在上单调递增
D. 不等式的解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A，由赋值法可判断选项正误；对于B，由A分析结合赋值法可得，据此可判断选项正误；对于C，由单调函数定义结合B选项分析可判断单调性，即可判断选项正误；对于D，由C选项分析结合题意可判断选项正误.
【详解】对于A，令，可得，
令，可得，
再令，可得，故A正确；
对于B，令，则，
又定义域关于原点对称，则为偶函数.
又时，，则，不为奇函数，故B错误；
对于C，取任意，其中，
则，
因，则，
从而，则在上单调递增，
又为偶函数，则在上单调递减，故C错误；
对于D，由C分析可得：
或，
解得：，故D正确.
故选：AD
第Ⅱ卷（主观题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题纸相应位置上．
12. 若幂函数为偶函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数的定义得，解出，并根据为偶函数，进行检验，得到的值.
【详解】因为为幂函数，则，解得或.
当时，，为奇函数，不符合题意；
当时，，为偶函数，符合题意，所以.
故答案为：.
13. 若命题“”是假命题，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用命题的否定为真命题，可求得的取值范围.
【详解】显然其否定为真命题，于是，可知的取值范围是，
故答案为：.
14. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为，且小正方形与大正方形面积之比为，则__________．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】设大正方形和小正方形的边长分别为和，根据条件，可得，平方得，再求出即可.
【详解】设大正方形和小正方形的边长分别为和a，
则，所以．
所以，即，
解得或（舍去），又，
所以，所以.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，，
（1）求；
（2）若全集，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据被开方式大于等于0确定集合，再由交集定义求解；
（2）根据补集定义求解.
【小问1详解】
根据题意，，
则；
【小问2详解】
全集，
所以.
16. 已知函数.
（1）当时，求的值；
（2）求的解集；
（3）若，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入求值即可.
（2）利用指数函数的性质解不等式.
（3）根据函数解析式解方程即可.
【小问1详解】
由题意.
【小问2详解】
由
所以所求不等式的解集为.
【小问3详解】
由，
由.
所以方程的解为：.
17. 求值：
（1）若，求；
（2）．
【答案】（1）；
（2）11.
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即得.
（2）利用对数的运算性质求解即可.
【小问1详解】
由两边平方，可得，即；
由，可得；
故；
【小问2详解】
.
18. 函数．
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若对于恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数运算整理得，再根据二次函数性质求最值即可；
（2）令，将问题转化为对恒成立，进而分和，结合不等式性质和基本不等式求解即可.
【小问1详解】
解：因为
所以
因为，，
所以当时，有最小值；当时，有最大值.
所以函数的值域为
【小问2详解】
解：令，由得，
所以对于恒成立等价于对恒成立，
当时，恒成立；
当时，恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围为.
19. 已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，
（1）若，其中．
（i）求，的解析式；
（ii）若对于任意，都有，求实数a的取值范围.
（2）若函数在上单调递减，求不等式的解集.
【答案】（1）（i），；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）将替换为，再利用奇偶性得出关于的方程组求解；
（ii）令，结合单调性定义得出在上单调递增，再分、、三种情况讨论；
（2）将不等式化为，结合的奇偶性和单调性求解.
【小问1详解】
（i）因，则，
因是奇函数，是偶函数，则，
则，得，；
（ii），即，
令，则在上单调递增，
当时，在上单调递增，符合题意；
当时， 开口向上，且对称轴，显然在上单调递增，所以；
当时，开口向下，且对称轴，则由题意，得，
又，所以；
综上，故实数a的取值范围为；
【小问2详解】
，则 ，
又定义域为R，关于原点对称，则是偶函数，
因在上单调递减，则在上单调递增，
等价于，即，
则，即或，得或，
故不等式的解集为.