福建省泉州市泉州五中八年级下学期月考数学试题（一）（解析版）-A4

这是一份福建省泉州市泉州五中八年级下学期月考数学试题（一）（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题；等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分．)
1. 边长为3cm的菱形的周长是( )
A. 6cmB. 9cmC. 12cmD. 15cm
【答案】C
【解析】
【详解】∵由菱形的性质可得：菱形的各边长相等，
∴边长为3cm的菱形的周长是：3×4=12（cm）．
故选C．
2. 若分式有意义，则的取值范围是( )
A. x=0B. C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件，由，解答即可．
【详解】解：根据题意得：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0时分式有意义．
3. 如图，丝带重叠的部分一定是（ ）

A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 都有可能
【答案】A
【解析】
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质，利用平行四边形的面积公式得到一组邻边相等是解题关键．
4. 在矩形中，、相交于点，若的面积为2，则矩形的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出，即可求出矩形ABCD的面积.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，对角线、相交于点
∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD
∴
∴矩形的面积为
故选：C
【点睛】此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的面积四等分，由此可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键.
5. 下列关于矩形的说法中正确的是（ ）．
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 对角线互相平分的四边形是矩形
D. 矩形的对角线互相垂直且平分
【答案】B
【解析】
【详解】A．对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B．矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
故选B．
【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质．
6. 下列分式是最简分式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分子，分母没有公因式的分式是最简分式，根据最简分式的含义逐一分析判断即可．
【详解】解：A． 是最简分式，故A符合题意；
B．，不是最简分式，故B不符合题意；
C．，不是最简分式，故C不符合题意；
D．，不是最简分式，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的约分，最简分式的含义，掌握“最简分式的含义”是解本题的关键．
7. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM＝AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM．
【详解】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF为矩形，
∵M 为 EF 中点，
∴M 也是 AP中点，即AM＝AP，
故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，
由，可得AP＝，
AM＝AP＝；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键．
8. 如图，平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（ ）

A. 35°B. 45°C. 50°D. 55°
【答案】A
【解析】
【分析】结合题意，根据菱形的性质，得AB＝BC，结合等腰三角形和三角形内角和的性质，推到得，从而完成求解.
【详解】∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠ABC＝180°-∠A＝70°，
∵E，F分别为AB，BC中点，
∴BE＝BF，
∴ ，
∵PE⊥CD，AB∥CD，
∴PE⊥AB，
∴∠PEB＝90°，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形的性质，从而完成求解.
9. 已知，则代数式的值为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式的减法，分式的化简．
由得，即，代入式子化简即可解答．
【详解】∵
∴，
∴，
∴．
故选：B
10. 如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．
【详解】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝2，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝2，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，
∠DC'C＝30°，DC'＝2，
∴DM＝1，C'M＝DM＝，
∴BM＝BD−DM＝3−1＝2，
在Rt△BMC'中，
BC'＝，
∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，
∴DH＝3×，
∴DH＝，
∵∠DCB＝∠DBC'，
∴点D到BC的距离为．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．
二、填空题；
11. 约分：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的约分化简，根据分式的基本性质，进行约分即可．
【详解】解：；
故答案为：．
12. 已知正方形ABCD的对角线AC＝，则正方形ABCD的周长为_____．
【答案】4
【解析】
【详解】解：根据锐角三角函数可计算正方形的边长=，
∵正方形四边相等，
∴正方形的周长为1×4=4.
13. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____．
【答案】10
【解析】
【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可．
【详解】解：∵DEAC，CEBD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
14. 分式和 的最简公分母为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．观察两个分式的分母，利用公因式即可求解．
【详解】解：的分母为：，
的分母为：，
两个分式的最简公分母为：．
故答案为：．
15. 如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为______________.

【答案】3
【解析】
【分析】由四边形ABCD是菱形，OB=4，根据菱形的性质可得BD=8，在根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得AC=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得OH的长.
【详解】∵四边形ABCD是菱形，OB=4，
∴OA=OC，BD=2OB=8；
∵S菱形ABCD=24，
∴AC=6；
∵AH⊥BC，OA=OC，
∴OH=AC=3.
故答案为3.
【点睛】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式（菱形的面积等于两条对角线乘积的一半）求得AC=6是解题的关键.
16. 如图，点为正方形对角线上一点，连接，连接并延长交于点，过点作交于点，交于点，连接、，下列说法中正确的是 ___________ ．
①；②当时，；③；④
【答案】①②③④
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．①过点作于，于，证，即可；②证即可；③将顺时针旋转，得到，证是等腰直角三角形即可；④过点作于，过点作于，证，得，得，利用面积和差转换可得．
【详解】解：①四边形是正方形，
，，，
，
，
，
过点作于，于，
四边形是矩形，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
②取和的交点为，
由①可知，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
若，
则，
，故②正确；
③将顺时针旋转，得到，
，，
，
，
，
，，三点共线，
，
是等腰直角三角形，
，
，故③正确；
④过点作于，过点作于，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由①得，
，，
，
由①可知，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②③④．
三 、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式减法和除法计算：
（1）根据同分母分式减法计算法则求解即可；
（2）先把除法变成乘法，然后约分即可．
【小问1详解】
解：
；
小问2详解】
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中：
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的乘除混合运算法则进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
把代入原式得：．
19. 若，求的值．
【答案】5
【解析】
【分析】设，得到，进而可解答；
本题主要考查成比例线段的应用，掌握相关求解方法是解题的关键．
【详解】解：设，
∴，
∴．
20. 如图所示，在中，，平分，于，于，求证：四边形是正方形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．本题的关键是要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．根据有三个角是直角的四边形是矩形判定四边形是矩形，再根据正方形的判定方法即可得出结论．
【详解】证明：平分，，，
，，
又，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形．
21. 如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接．
（1）若，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长是
【解析】
【分析】本题考查矩形判定及性质，全等三角形判定及性质，勾股定理等．
（1）根据题意得，继而得，即可得到本题答案；
（2）利用矩形性质可知，再判定，利用勾股定理即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长是．
22. 用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使．

（1）如图1，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，则 ， ；
（2）如图2，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查特殊四边形的综合应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）证明，得到，，从而得到，推出为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；
（2）证明，得到，，从而得到，作交于，则，，根据含角的性质及勾股定理得出，从而得到．
【小问1详解】
解：在菱形中，，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，理由如下：
四边形是菱形，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
如图，作交于，则，，
在中，，，
，
，
．
23. 《九章算术》勾股章[一五]问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题：如图1，知道一个直角三角形较短直角边（"勾"）与较长直角边（"股"）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“所容正方形”）
其文如下：
题：今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？
答：方三步，十七分步之九．
术：并勾、股为法，勾、股相乘为实，实如法而一，得方一步．
“题”、“答”、“术”的意思大致如下：
问题：一个直角三角形两直角边的长分别为5和12，它的“所容正方形”的边长是多少？
答案：．
解法：
（1）已知：如图1，在中，，若，则“所容正方形”的边长为________．
请说明理由：

（2）应用（1）中的结论解决问题：
如图2，中山公园有一块菱形场地，其面积为19200m2，两条对角线长度之和为400m．现要在这个菱形场地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃四个顶点分别落在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为________m．
【答案】（1）
（2）96
【解析】
【分析】（1）连接，利用等积法解答即可；
（2）如解析图，设菱形的两条对角线分别为，根据菱形的性质可求出，然后判定为正方形，且这个正方形为直角三角形的“所容正方形”，再根据（1）的结论求解．
【小问1详解】
解：连接，如图，设正方形的边长为x，则，
∵在中，，，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
如图，设菱形的两条对角线交于点O，且其长度分别为，
则，
根据题意可得：，
整理得：，
若正方形为在这个菱形场地上修建的正方形花圃，则根据菱形和正方形的对称性可得，则四边形也为正方形，且这个正方形为直角三角形的“所容正方形”，
则由（1）的结论可得：这个正方形的边长m；
故答案为：96．
【点睛】本题考查了勾股定理的拓展、菱形的性质以及正方形的判定和性质等知识，正确理解题意、熟练掌握相关图形的性质、合理利用所求的相关结论作答是解题的关键．
24. 阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”．
（1）若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”；
（2）已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”．
①__________（用含的式子表示）；
②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________；
（3）若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值．
【答案】（1）是，
（2）①；②
（3）c的值为4或16 ．
【解析】
【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键．
（1）先计算，再求出结果即可；
（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案；
（3）计算，整理得：，确定，根据题意求解即可．
【小问1详解】
解：A与B是互为“关联分式”，理由如下：
∵，
∴ ．
∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”；
【小问2详解】
解：①∵，
∴

∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数．x为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
【小问3详解】
，
∵，
∴原式，
∴，即，
∴，
∴，
∵a，b为整数，
∴一定为5的约数，
∴或或1或5，
解得：b=4或0或6或10，
∴或4或10或6，
∴或1，
∴c值为4或16 ．
25. 在矩形中，，为AB上一点，将沿DE折叠，得到．
（1）如图1，若点恰好在CD边上，点在上，且，连接EG．求证：；
（2）如图，若点在矩形内部，延长交CD边于点，延长交边于点，且，，求证：；
（3）若，过点作，垂足为，交于点，若，求关于的函数关系式．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）法一：先证四边形是正方形，设，则，从而得，，利用勾股定理即可得证；法二：连接，证四边形是正方形，得，又证为等腰直角三角形，得，，进而证明，即可得证；
（2）根据折叠的性质可得，，设，在中，由勾股定理求得，设α，则α，证α，即可得证；
（3）证四边形是矩形得．根据平行线的性质及折叠的性质证．从而．，在中，利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：法一：∵四边形是矩形，
∴．

由折叠的性质得，，，
∴四边形是正方形，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
法二：连接，

∵四边形是矩形
∴，
由题意，，，
∴四边形是正方形，
∴
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：根据折叠的性质可得，，
∵，
∴
设，
在中，，
∴
解得，

∴，
∵，
∴，
设α，
∴α
∵，
∴α，
∴α
∴
【小问3详解】
解：如图，

∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∵，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴．
可得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
在中，，
∴．