福建省泉州市第五中学八年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省泉州市第五中学八年级上学期1月期末数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上．
（第Ⅰ卷 选择题 共40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）
1. 如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查数轴与实数、无理数大小比较等知识点，正确转化为算术平方根的形式是解题的关键．
根据数轴上的点处于3和4之间，即和之间，然后逐一判定比较即可．
【详解】解：A、由 ， 故该选项不符合题意；
B、由 ， 故该选项不符合题意；
C、由 ， 故该选项不符合题意；
D、由 ， 故该选项符合题意．
故选D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算和合并同类项，根据同底数幂乘除法计算法则，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解判断即可．
详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3. 空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是（ ）
A. 折线统计图B. 条形统计图C. 直方图D. 扇形统计图
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了统计图的选择，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．利用折线统计图，扇形统计图，频数分布直方图，以及条形统计图表示的意义判断即可．
【详解】解：根据题意可知，为直观介绍空气中各成分的百分比，应选择扇形统计图．
故选：D．
4. 如图，在平行四边形中，于点，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由垂直的定义可得∠AED=90°，结合已知条件可求出∠A的度数，进而根据平行四边形对角相等可求出∠C的大小．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵DE⊥AB于E，
∴∠AED=90°，
∵∠EDA=25°，
∴∠A=90°-25°=65°，
∴∠C=65°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、垂直的定义和直角三角形两锐角互余的运用，解题的关键是熟记平行四边形的各种性质．
5. 如图，已知，再添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，并会灵活选用合适的方法解答是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，
A、若添加，满足边边边，能判定，故本选项不符合题意；
B、若添加，满足边边角，不能判定，故本选项符合题意；
C、若添加，满足边角边，能判定，故本选项不符合题意；
D、若添加，满足斜边直角边，能判定，故本选项不符合题意；
故选：B
6. 下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）
①；②；③；④．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了公式法分解因式；分别利用平方差公式和完全平方公式的结构特征逐项判断即可．
【详解】解：①不能用公式法分解因式；
②，能用平方差公式分解因式；
③，不能用完全平方公式分解因式；
④，能用完全平方公式分解因式；
综上，能用公式法分解因式的有2个，
故选：B．
7. 观察图中尺规作图的痕迹，可知线段一定是（ ）
A. 的角平分线B. 的中线
C. 的高线D. 边的中垂线
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得：，
∴线段一定是的高线；
故选：C．
8. 下列命题中，假命题的是（ ）
A. 若，则 B. 等边对等角
C. 平行四边形对角线互相平分D. 全等三角形面积相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是真假命题的判断，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质，乘方运算的含义，根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质，乘方运算的含义逐一判断即可．
【详解】解：当时，满足，但是，
∴若，则是假命题，故A符合题意；
等边对等角是真命题，故B不符合题意；
平行四边形对角线互相平分是真命题，故C不符合题意；
全等三角形面积相等是真命题，故D不符合题意；
故选：A
9. 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为64，中间空缺的小正方形的面积为16，则下列关系式中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据题意可得，再利用完全平方公式即可得到答案．
【详解】解：由题意得： ，
∴（负值舍去），
∴，
由得：，即，
由得：，即，
∴关系式中不正确的是D选项．
故选D．
【点睛】本题考查的是两个完全平方式的特点及变形，掌握以上知识点是解题关键．
10. 如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论：
①； ②；
③； ④．
其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】①直接根据垂直平分线的性质即可判断①；②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F，由等量代换可得，可证明可得即,再结合角平分线的定义即可判断②；③由全等三角形的性质、等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合可得是等腰直角三角形即可判定③；④证明四边形是正方形可得，由等腰三角形的性质可得，然后由勾股定理可得、，进而得到，最后根据平方差和等量代换即可判断④．
【详解】解：①∵是的垂直平分线，
∴，即①正确；
②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴,
∴，
∴,
在和中，
，
∴，即②正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，即，故③正确；
④∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴
，即④正确．
综上， ①②③④正确，正确的有4个．
故选D．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（第Ⅱ卷 非选择题 共110分）
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11. 计算：_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 若，，则的值是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了逆用同底数幂除法法则，掌握逆用同底数幂法则成为解题的关键．
直接逆用同底数幂除法法则即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为3．
13. 如图，于C，于F，．若，，，则的长为_________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．
由全等三角形的性质结合已知条件可得、，进行得到，最后根据即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6．
14. 某同学统计了他上周通话次数及每次的通话时间，并列出频数分布表：
则通话时间超过6分钟频率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要掌握观察频数分布表，考查了频率计算公式，频率等于频数与数据总数的比．根据频率计算公式，频率等于频数与数据总数的比即可求解．
【详解】解：通话时间超过6分钟频率为：
故答案为：
15. 如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是____________cm；
【答案】50
【解析】
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD，
则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长．
∵圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，
∴AB2=302+402=900+1600=2500，
∴AB=50（cm）．
故答案为50.
【点睛】此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
16. 定义：对于任意实数x，都有．若，，则将因式分解的结果为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键．
【详解】解：由，得，
，
解得，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合计算，先计算立方根和算术平方根，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，0
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，完全平方公式．根据完全平方公式，单项式乘多项式进行化简，再将值代入求解即可．
【详解】解：
，
当，，
．
19. 如图，在中，E、F分别是、边上的一点（不与端点重合），．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由平行四边形得到，，，结合，根据平行线的性质得到，即可证明全等．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20. 学校倡导“爱妈妈，从小勤做家务”，要求学生周末帮妈妈做家务的平均时间不得少于1小时．为了解学生周末做家务的情况，学校组织团支部成员家访，对部分学生周末做家务的时间进行调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图．请你根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）这次家访中共调查了多少名学生？
（2）请求出扇形统计图中“1.5小时”所占的圆心角度数；
（3）试说明本次被调查的学生周末做家务的平均时间是否达到要求．
【答案】（1）50 （2）
（3）被调查的学生周末做家务的平均时间达到要求
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
（1）根据周末做家务“1小时”的人数和所占的百分比解答；
（2）用乘周末做家务“1.5小时”的百分比即可；
（3）计算出平均时间后分析即可．
【小问1详解】
解：人，
答：这次家访中共调查50名学生；
【小问2详解】
解：，
答：图中“1.5小时”所占的圆心角度数为；
【小问3详解】
解：0.5小时有人，
则2小时的有：人，
∴周末做家务的平均时间为，
∴被调查的学生周末做家务的平均时间达到要求．
21. 阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在中，，求证：．
证明：假设，
①若，则在上取点D，连接，使．
∵，
∴；
在上取点E，使，则，
即：，
∴．
这与已知相矛盾，
∴假设不成立；
②若，
…
综上，．
（1）上述证明过程采用方法是_________（填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法； B．反证法．
（2）请你补充②中所缺失的部分．
【答案】（1）B （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，反证法：
（1）根据证明过程即可得到答案；
（2）根据等角对等边可得，这与已知相矛盾，据此可得结论．
【小问1详解】
解：由证明过程可知，上述证明过程采用的方法是反证法，
故选：B；
【小问2详解】
证明：若，
∴，这与已知相矛盾，
综上，．
22. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，当点B恰好落到边上的点D时，得到，延长到点P，使得，联结．
（1）根据题意，补全图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若D为的中点，求证：P、B、C三点在同一条直线上．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先作，以为圆心为半径画弧与射线交点即为点，连接并延长，以为圆心，为半径画弧与射线相交，交点即为点，再连接；
（2）连接，先证明，得到，再根据旋转的性质以及等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理证明，则，那么，即可证明．
【小问1详解】
解：如图，即为所作：
【小问2详解】
证明：连接，如图：
当D为的中点，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线．
【点睛】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，旋转的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识点，正确作图是解题的关键．
23. 设a、b、c、d均为正整数，分别表示千位、百位、十位和个位上的数字，一个四位数就可以记作为：．若一个四位数满足，我们就称该数是“密码数”．
已知一个“密码数”满足：，（k为正整数）．
（1）填空：_________，_________；
（2）求满足条件的“密码数”x的最大值．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，新定义运算，二元一次方程组的应用，理解题意，将其转化为实数的运算是解题关键．
（1）由题意可知，，，（为正整数），可得，再转化为方程组解题即可；
（2）由条件可得，可得，再结合方程的解的含义可得的值，从而可得答案．
【小问1详解】
解：设“密码数”，
由题意可知，，，（为正整数），
，
，，，且、为正整数，
或或，
符合题意的解为：．
【小问2详解】
解：，，，
，
∵（k为正整数），且，，
∴，
∴或，
当时，，
此时密码数为：，
当时，，
此时密码数为：；
满足条件的“密码数数”的最大值为，
故答案为：．
24. 图1是一种长为a，宽为b的长方形，对角线长为c．将这样四个形状和大小完全相同的长方形拼成如图2所示的大正方形，设中间阴影部分的面积为．

（1）请用含a、b的代数式表示；
（2）如图2，若正方形的面积为34，，求图1中长方形的周长；
（3）将9个图1这样的长方形按图3形式摆放，形成一个大长方形，设图3中阴影部分的面积为．若，，求图1中长方形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）28
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，勾股定理：
（1）用图2中最大的正方形面积减去四个图1中长方形面积即可得到答案；
（2）根据正方形面积计算公式和勾股定理可得，由（1）可得，据此求出的值，进而利用完全平方公式求出的值，据此可得答案；
（3）图3中阴影面积等于最大的长方形面积减去9个图1中长方形面积，据此可得，再结合即可求出的值．
【小问1详解】
解：由题意得，；
【小问2详解】
解：∵正方形面积面积为34，，
∴，，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴图1中长方形的周长为；
【小问3详解】
解：由题意得，，，
∴， ，
∴，
∴，
∴图1中长方形的面积为28．
25. 如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、．
（1）求证：；
（2）将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P．
①求证：四边形是平行四边形；
②若，试求线段和之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，，即可证明；
（2）①如图，记的交点为，先求解，证明，再结合平行线的判定与平行四边形的判定可得结论；②设，求解，如图，过作于，求解，从而可得结论．
【小问1详解】
解：∵为等边三角形，，
∴，，
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
证明：如图，记的交点为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由对折可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形四边形是平行四边形；
②，理由见解析：
∵为等边三角形；
∴设，
∵，
∴，，
∵，
∴，
由对折可得：，
∵四边形四边形是平行四边形；
∴，
∴，
如图，过作于，而，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
通话时间x（分钟）
通话次数（频数）
26
14
7
2
1