河南省2025_2026学年高一数学上学期期中测试试卷含解析

这是一份河南省2025_2026学年高一数学上学期期中测试试卷含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，得到集合，从而得到交集.
【详解】，所以．
故选：B．
2. 命题“，是无理数”的否定是（ ）
A. ，不是无理数B. ，是无理数
C. ，不是无理数D. ，是无理数
【答案】A
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定形式判定选项即可.
【详解】命题“，是无理数”为全称量词命题，
该命题的否定为“，不是无理数”.
故选：A.
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知求得的范围，得到的定义域，再由题意列关于的不等式组求解.
【详解】因为定义域为，
即，则，
对于函数，由，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D.
4. 若实数a，b，c满足，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】利用特殊值可判断ABC，做差可判断D.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，时不能做分母，故C错误；
对于D， 因为，所以，所以，所以，故D正确.
故选：D.
5. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】将代入计算，即可排除A，由函数的奇偶性即可判断BD，然后分别验证函数的奇偶性以及单调性即可判断C
【详解】A选项：时，，故A错误；
B选项：记，则，故为奇函数，不符合题意，故B错误；
C选项：记，则，故为偶函数，当时，，
此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故C正确；
D选项：记，则，
故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误.
故选：C
6. 已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先可以根据函数是定义域为R的偶函数判断出函数的对称轴，再通过在上单调递减判断出函数在上的单调性，进而由列出不等式求解即可．
【详解】因为函数是定义域为R的偶函数，
则函数关于轴对称，
所以函数关于对称，
又因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，
因为，
所以，即，
化简得，，
解得，
故选：A．
7. 关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程两根的大小关系，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可.
【详解】，
当时，原不等式的解集为空集，不符合题意；
当时，原不等式的解集为，
因为原不等式恰有两个整数解，
所以这两个正整数一定为，因此；
当时，原不等式的解集为，
因为原不等式恰有两个整数解，
所以这两个正整数一定为，因此，
综上所述：实数的取值范围为或，
故选：D
8. 已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的奇偶性的性质结合条件求出函数的解析式，再根据，可得函数在上递减，再根据函数的单调性分和列不等式求的取值范围.
【详解】因为函数是奇函数，是偶函数，
所以，，
又，
则；
∴，若对任意，都有，
即成立，
令，则函数在区间上单调递减；
当时，，则函数在区间上单调递减，符合题意．
当时，为二次函数，图像关于对称．
因为函数在上递减，
所以或，解得：或．
综上：a的取值范围是．
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列比较大小正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据指数函数与幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以A正确；
对于B，由幂函数在上单调递增，可得成立，所以B不正确；
对于C，由指数函数为单调递减函数，可得成立，所以C正确；
对于D，由，所以，所以D不正确.
故选：AC.
10. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A. ，B. 的值域为
C. 若，则D. 若，且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由，，判断A；由指数函数的单调性判断BC；由偶函数的性质判断D.
【详解】对于A，∵过原点，∴，∴①，
又∵时，，
∴时，，由题，图象无限接近直线，则②，
由①②知，，故A正确；
对于B，由，，得，
，，故B正确；
对于C，由图知，在上单调递减，因为，则，故C错误；
对于D，∵函数为偶函数，∴，
又∵.，∴，∴，∴，故D正确．

故选：ABD
11. 已知定义在上的函数，满足，且，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 为奇函数D. 的图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】取可知A正确；取，结合A中式子可知B错误；令可求得为偶函数，分别令、可证得D正确；取，，结合D的结论可证得C正确.
【详解】对于A，取，则，A正确；
对于B，若恒成立，则，恒成立，显然不合题意，
不恒等于，
令，则，，
将代入A中式子可得：，即，
，B错误；
对于D，令，则，即，
为定义在上的偶函数，；
令，则，
令，则，即，
，的图象关于点对称，D正确；
对于C，取，，则，
由D知：，，
为奇函数，C正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数是幂函数，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，确定幂函数的解析式，再求函数值.
【详解】设，则，所以.
故，
所以.
故答案为：
13. 已知，若实数且，则的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】先证明为奇函数，由可得，利用基本不等式常数代换技巧求解的最小值.
【详解】函数，定义域为R，
，则为奇函数，
若实数且，函数单调递增，
则有，即，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
14. 已知点在函数的图象上，且有最小值，则常数的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】分别画出函数和的图象，再根据条件求解.
【详解】设，，分别绘制，的草图如下：
其中有最小值，且；
无最小值，且，.
因为函数有最小值，所以；
点在的图象上，所以.
综上.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）化简：；
（2）已知（且），求的值；
（3）化简：．
【答案】（1）28；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）由根式的运算与幂的运算法则计算；
（2）由幂的运算法则计算出与后可得；
（3）根据对数的运算法则及换底公式计算可得．
【详解】（1）；
（2）（且），
则，，
所以；
（3）．
16. 已知集合，，全集.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合；
（2）由题意可知，集合为集合的真子集，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，集合，全集，则或，
又因为集合，故.
【小问2详解】
若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集，
当时，，解得；
当时，由题意可得，解得，
检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意；
当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
17. 2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为.
（1）求的表达式；
（2）为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？
（3）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】（1）；
（2）至少5分钟； （3）时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元.
【解析】
【分析】（1）当时，，当时,,由题可求出,即可得到答案.
（2）由（1）知，结合基本不等式和函数单调性即可求出的净收益最大值.
【小问1详解】
由题知，当时，；
当时,,
因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为人，
此时发车时间间隔为3分钟时的载客量为人，
，解得，
此时，
所以.
【小问2详解】
依题意，
当时，，满足题意；
当时，，即，
解得，所以列车发车间隔时间至少5分钟，列车载客量至少达到524人.
【小问3详解】
由（1）知
时，当且仅当等号成立，
时
当上,单调递减,则
综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元.
18. 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数，的值；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，求解即可；
（2）由函数单调性可得在上单调递减，再将问题转化为对任意恒成立，再设，根据二次不等式恒成立问题列式即可.
【小问1详解】
在上为奇函数，故，即，解得，故.
又，；解得.
故，.
【小问2详解】
；
增大时，增大，减小，减小；
在上单调递减；
为奇函数，由得，；
又在上单调递减；
，该不等式对于任意恒成立；
对任意恒成立；
设，则对于任意恒成立；
设，△；
应满足：；
解得；
的取值范围为．
19. 定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．
（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；
（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求最小值．
【答案】（1）见解析； （2）； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值．
【详解】（1）任意,,
因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数．
（2）.
因为是“距”增函数，所以恒成立，
因为,所以在上恒成立，
所以，解得，因为,所以.
（3）因，，且为“2距”增函数，
所以时，恒成立，
即时，恒成立，
所以，
当时，，即恒成立，
所以, 得;
当时，，
得恒成立，
所以,得,
综上所述，得.
又，
因为,所以，
当时，若，取最小值为；
当时，若，取最小值
因为在R上是单调递增函数，
所以当，的最小值为；当时的最小值为，
即 .
【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题．