2022-2023学年河南省高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．满足，且中的集合M的个数是（    ）

A．16 B．24 C．28 D．30

【答案】B

【分析】讨论元素与集合的关系，结合元素1、2、3与集合的可能情况求集合的个数.

【详解】若时，则1、2、3可能属于，而5不属于，故集合共有种可能；

若时，则1、2、3可能属于，而4不属于，故集合共有种可能；

若时，则1、2、3可能属于，故集合共有种可能；

综上，集合M的个数是24.

故选：B

2．集合或，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．

【详解】，

①当时，即无解，此时，满足题意．

②当时，即有解，

当时，可得，

要使，则需要，解得．

当时，可得，

要使，则需要，解得，

综上，实数的取值范围是．

故选：A．

3．已知，，且，则的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．8

【答案】C

【分析】根据条件,变形后，利用均值不等式求最值.

【详解】因为，

所以.

因为，，

所以，当且仅当，时，等号成立，

故的最小值为4.

故选：C

4．已知不等式的解集是则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的解集可得对应方程的解，从而可求出的值，再解不含参数的一元二次不等式即可得解．

【详解】∵不等式的解集是，

∴是方程的两根，

∴，解得.

∴不等式为，

解得，

∴不等式的解集为.

故选：A.

5．设，则的值是（    ）

A．4 B．2 C．0 D．

【答案】A

【分析】由分段函数解析式，结合有，即周期为2，得即可求值.

【详解】由题设，.

故选：A

6．已知函数，若，恒有，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】函数恒成立问题，直接求最值利用二次函数的性质可得；或利用参变分离法，利用基本不等式求最值即得.

【详解】解法一：若，恒有，只需，

设函数在上的最小值为，则

（1）当，即时，，即，所以；

（2）当，即时，，即，所以此时不满足题意；

（3）当，即时，，所以，即，得，则.

综上，实数的取值范围为.

故选：B.

解法二：若，恒有，即对任意恒成立，

所以对任意的恒成立，而，当且仅当，

即时取等号，所以.因此，实数的取值范围是.

故选：B.

7．若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意条件和，可对此式子赋值验证选项，即可完成求解.

【详解】由已知可得函数的定义域为，满足①，且，

对于选项A，可令，代入①式，得，得，所以A选项是正确的；

对于选项B，可令，代入①式，得，得，所以B选项是正确的；

对于选项C，可令，代入①式，得，而得，可令代入①式，得，整理得，所以C选项是错误的；

对于选项D，可令，代入①式，得，而得，可令代入①式，得，整理得，所以D选项是正确的.

故选：C.

8．已知函数，若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用函数的解析式判断出函数关于点对称，从而将对任意恒成立，转化为对任意恒成立，再利用导数判断函数的单调性，利用单调性去掉“”，从而得到对任意恒成立，进行参变量分离后再利用换元法以及基本不等式求解最值，即可得到的最小值．

【详解】因为函数，

所以，

则函数关于点对称，

所以，

故对任意恒成立，

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，

因为，则函数在上单调递增，

所以对任意恒成立，

令，则，

所以对任意恒成立，

因为，

当且仅当，即时取等号，

所以，

则实数的最小值为．

故选：．

【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.

二、多选题

9．对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（    ）

A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件

C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件

【答案】CD

【分析】根据等式或不等式的性质结合，结合充分必要条件的定义即可求解.

【详解】对于A,根据等式的性质，由可以推出，

当时，推不出，

所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误;

对于B，如，但，所以推不出，

如，但，所以推不出，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误;

因为若则一定成立，但若则不一定成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确;

由得，，由可推出，不能推出，

所以是的充分不必要条件，即”是“”的充分不必要条件，

故D正确;

故选:CD.

10．已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】ABC

【分析】利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得求a的范围，即知其可能值.

【详解】由开口向上且对称轴为，

∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则，解得，

∴的可能值A、B、C.符合.

故选：ABC.

11．已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．当时，

B．函数的最小值为

C．函数在上单调递减

D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或

【答案】ABD

【分析】得到函数，作出其图象逐项判断.

【详解】由题意得：，其图象如图所示：

由图象知：当时，，故A正确；

函数的最小值为，故正确；

函数在上单调递增，故错误；

方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；

故选：ABD

12．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（    ）

A．浮萍每月的增长率为3

B．浮萍每月增加的面积都相等

C．第4个月时，浮萍面积超过

D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则

【答案】CD

【分析】先根据图象，代入点，求出函数解析式，进而求出前3个月的浮萍面积，判断出AB选项，

计算出第4个月的浮萍面积，判断出C正确；

解出，从而得到，D正确.

【详解】由图可知，函数过点，将其代入解析式，，

故，

A选项，取前3个月的浮萍面积，分别为3，9，27，

故增长率逐月增大，A错误；

从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，B错误；

第4个月的浮萍面积为81，超过了80，C正确；

令，，，

解得：，

，D正确.

故选：CD

三、填空题

13．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据充分性和必要性，求得参数的取值范围，即可求得结果.

【详解】因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，

故集合为集合的真子集，故只需.

故答案为：.

14．函数的定义域是__________.

【答案】

【分析】直接列不等式即可求得.

【详解】要使函数有意义，

只需，

解得：

所以函数的定义域是.

故答案为：

15．已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.

【答案】-2(答案不唯一，满足或即可)

【分析】作出y=x和y=的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．

【详解】y=x和y=的图象如图所示：

∴当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，

故当或时，函数在上不是增函数．

故答案为：-2．

16．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是___________

【答案】10

【分析】由题意，设该厂月获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可.

【详解】由题意，设该厂月获利为元，则：

，

当工厂日获利不少于1 000元时，即，

即，

解得：.

故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.

故答案为：10

四、解答题

17．计算

(1)

(2)化简．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数幂的运算法则逐步计算即可；

（2）将根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则化简即可.

【详解】（1）原式

（2）原式=

18．已知全集，集合．

(1)若且，求实数的值；

(2)设集合，若的真子集共有3个，求实数的值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）先化简集合，得到，根据可得到的值，并用进行检验即可；

（2）分和两种情况进行分类讨论，即可得到答案

【详解】（1）由题意，，所以，

若，则或，解得或，

又，所以；

（2）因为，

当时，，此时集合共有1个真子集，不符合题意；

当即时，，此时集合共有3个真子集，符合题意，

综上所述，

19．已知函数

(1)用定义法证明函数在上单调递减

(2)求时，函数的值域

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差，可得答案；

（2）由（1）的单调性，求其最值，可得答案.

【详解】（1）任意取，设，则，

由，，则，，，即，

故，所以函数在上单调递减.

（2）由（1）可知：函数在上单调递减，

，，

故.因此当时，函数的值域为.

20．设函数且是定义域为的奇函数；

（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；

（2）若，且，求在上的最小值．

【答案】（1）增函数，；（2）．

【分析】（1）由，求得，得到，根据，求得，即可求得函数是增函数，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解；

（2）由（1）和，求得，得到，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）因为函数且是定义域为的奇函数，

可得，从而得，即

当时，函数，

满足，所以，

由，可得且，解得，所以是增函数，

又由，可得，

所以，解得，即不等式的解集是．

（2）由（1）知，，

因为，即，解得，

故，

令，则在上是增函数，故，

即，

此时函数的对称轴为，且开口向上，

所以当，函数取得最小值，最小值为，

即函数的最小值为．

21．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益与投入（单位：万元）满足，.设甲合作社的投入为（单位：万元），两个合作社的总收益为（单位：万元）.

（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；

（2）如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大，最大总收益为多少万元？

【答案】(1)88.5万元 (2) 该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元.

【分析】（1）先确定甲乙合作社投入量，再分别代入对应收益函数，最后求和得结果，

（2）先根据甲收益函数，分类讨论，再根据对应函数单调性确定最值取法，最后比较大小确定最大值.

【详解】解：（1）当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，此时两个个合作社的总收益为：

（万元）

（2）甲合作社的投入为万元，则乙合作社的投入为万元，

当时，则，.

令，得，

则总收益为，

显然当时，函数取得最大值，

即此时甲投入16万元，乙投入56万元时，总收益最大，最大收益为89万元、

当时，则，

则，

则在上单调递减，

.即此时甲、乙总收益小于87万元.

又，∴该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元.

【点睛】本题考查利用分段函数模型求函数最值，考查基本分析求解能力，属中档题.

22．已知函数为奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义加以证明；

(3)解关于的不等式．

【答案】(1)；

(2)函数在R上单调递减；证明见解析；

(3).

【分析】（1）根据奇函数的定义即得；

（2）根据函数单调性的定义证明即得；

（3）根据函数的单调性及奇偶性可得，进而即得.

【详解】（1）函数的定义域为R，

因为为奇函数，所以，

所以，

所以，

所以；

（2）函数在R上单调递减；

下面用单调性定义证明：

任取，，且，

则，

因为在R上单调递增，且，

所以，又，

所以，

所以函数在R上单调递减；

（3）因为为奇函数，所以，

由得，，

即，

由（2）可知，函数在R上单调递减，

所以，即，

解得或，

所以t的取值范围为．