江苏省南通市重点高中2026届高三上学期12月月考试卷 数学（含答案）

这是一份江苏省南通市重点高中2026届高三上学期12月月考试卷 数学（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间120分钟，满分150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. “”是“”的 ( )
A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充要条件
2. 已知平面向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，则在上的极值为（ ）
A. B. C. D.
5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AA1=3，点D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成角的余弦值为( )
A.32 B.217 C.77D.277
6.已知为锐角，，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则时的最小值为（ ）
A. B. 11C. D. 13
8. 已知是上的偶函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ ）
A.10B.11C.12D. 13
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数的图象与直线相切的有（ ）
A．B．C．D．
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数关于轴对称
B. 曲线的对称轴为，
C. 在区间单调递增
D. 曲线在点处的切线方程为
10. 已知二面角的大小为，，，且，，则（ ）
A. 是锐角三角形B. 异面直线AD与BC不可能垂直
C. 线段AB长度的取值范围是D. 四面体体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 能够说明“设是任意实数．若,则”是假命题的一组整数的值依次为_________________________．
13．若函数为奇函数，则a等于________．
14. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．
（1）求的面积；
（2）求边长及的值．
16.已知数列是等差数列，公差，，数列的前n项和为．
（1）求及；
（2）求数列的前项和．
17．如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
18. 在中，内角所对的边分别为，已知向量，满足，且．
（1）求的值；
（2）若，的面积是，的角平分线交于点．
①求；
②求的值．
19. 已知函数
（1）讨论函数的单调性
（2）若函数的极大值为．
= 1 \* GB3 ①求实数a的值；
= 2 \* GB3 ②令，实数.求证：有两个极小值点，且；
2025～2026学年度第一学期高三年级12月月考
数学参考答案
（时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. “”是“”的 ( D )
A. 充分不必要条件B. 既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充要条件
2. 已知平面向量，满足，则（ A ）
A. B. C. D.
3. 已知集合，，则（ B ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，则在上的极值为（ C ）
A. B. C. D.
5.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AA1=3，点D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成角的余弦值为( D )
A.32B.217
C.77D.277
6.已知为锐角，，则 （ B ）
A. B. C. D.
7. 已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则时的最小值为（ B ）
A. B. 11C. D. 13
8. 已知是上的偶函数，，若在上单调递增，且，，则与函数交点个数为（ A）
A.10B.11C.9D. 21
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数的图象与直线相切的有（ AC ）
A．B．C．D．
10. 已知函数，则（ ABD ）
A. 函数关于轴对称
B. 曲线的对称轴为，
C. 在区间单调递增
D. 曲线在点处的切线方程为
10. 已知二面角的大小为，，，且，，则（ BC ）
A. 是锐角三角形B. 异面直线AD与BC不可能垂直
C. 线段AB长度的取值范围是D. 四面体体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 能够说明“设是任意实数．若,则”是假命题的一组整数的值依次为_________________________．(答案不唯一)
13．若函数为奇函数，则a等于________．
14. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．
（1）求的面积；
（2）求边长及的值．
【小问1详解】
由，且，
则，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
所以．…………………………6分
【小问2详解】
由，
则，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
又，则．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
、
16.已知数列是等差数列，公差，，数列的前n项和为．
（1）求及；
（2）求数列的前项和．
【小问1详解】
，解得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分
所以数列的通项公式为； 。。。。。。。。。。。3分
当时，， 。。。。。。。。。4分
当时， ， 。。。。。。。。。。。。。。6分
验证当时，满足上式 ，
所以数列的通项公式为；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
【小问2详解】
由（1）知．
，
则， .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
两式相减得，。。。。。。。。。12分
所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15分
、
17．如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
17．【解】取中点，由正三棱柱性质得，互相垂直，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，则
．。。。。。。。2分
（1）证明：，
由，得，。。。。。。。4分
由，得，。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
因为平面，所以平面．。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
（2）由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量，
则，
令，得面的一个法向量为，.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
设二面角的值为，
则，所以，二面角的正弦值为．。。。。。。。。。。。。。。。。。。15分
18. 在中，内角所对的边分别为，已知向量，满足，且．
（1）求的值；
（2）若，的面积是，的角平分线交于点．
①求；
②求的值．
【小问1详解】
，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
由正弦定理得，
，则，。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
因为，所以，又，所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
【小问2详解】
①由得， 。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
由余弦定理得，
所以． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
②由得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13分
， 。。。。。。。。。15分
所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。17分
19. 已知函数
（1）讨论函数的单调性
（2）若函数的极大值为．
= 1 \* GB3 ①求实数a的值；
= 2 \* GB3 ②令，实数.求证：有两个极小值点，且；
（1）因为函数的定义域为，且，。。。2分
当时恒成立，在递增。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
当时，在上递增，在上递减。。。。。。。。。。。5分
（2）①由（1）知函数的极大值为，解得；
综上所述：.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
= 2 \* GB3 ②，
则，。。。。。。。。。。。。。。。。8分
可知的定义域为，
构造，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
且当趋近于0或时，趋近于，
可知在内值域为，
令，可得，则，
且，令，解得，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增， 。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
由的单调性和值域可知关于x的方程有2个不同的实数根，不妨设，
因为，则有：
当时，则，可知在内单调递减；
当时，则，可知在内单调递增；
当时，则，可知在内单调递减；
当时，则，可知在内单调递增；
所以有两个极小值点，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15分
又因为，
则，，
所以.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。17分