2024年中考数学（辽宁）第一次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（辽宁）第一次模拟考试（含答案），共35页。试卷主要包含了我国古代有一问题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．学习完“有理数”一章后，小明、小强、小丽、小睿在交流研讨时，小明说“−6的相反数是6”；小强说“13与3互为倒数”；小丽说“0既不是正数也不是负数”；小睿说“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等”，聪明的你判断一下这四位同学谁的观点（ ）是错误的．
A．小明B．小强C．小睿D．小丽
2．我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．3x2−x2=3B．−3a2−2a2=−a2
C．3a−1=3a−1D．−2x+1=−2x−2
5．用配方法解一元二次方程x2−2x−5=0时，将它化为x+a2=b的形式，则2a+b的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．已知关于x的分式方程kx−2−32−x=1有增根，则k的值为（ ）
A．2B．−2C．−3D．3
7．已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=−kx+k的图象大致是图的（ ）
A．B．C．D．
8．我国古代有一问题：某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币，这件衣服值多少枚银币?设这件衣服值x枚银币，下面方程中错误的是( )
A．x+1012=x+27B．7(x+10)=12(x+2)
C．712 (x+10)=x+2D．712 (x+2)=x+10
9．如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，若∠1=15°，则∠2的大小为（ ）
A．25°B．55°C．45°D．35°

第9题图 第10题图
10．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，按如下步骤作图：①分别以点A，C为圆心，以大于12AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②作直线MN，分别交AB，AC于点D，O；③过C作 CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．则四边形ADCE的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．20
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算：(2−5)2= ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A(4,3)，点B在x轴的正半轴上，且OA=AB，将△OAB沿x轴向右平移得到△ECD，AB与CE交于点F．若CF：EF=3：1，则点D的坐标为 ．
13．如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．
14．如图，已知△AOB是一块含有30°角的直角三角板（∠OAB=30°），点A是函数y=6xx>0的图象上点，点B是函数y=kxx>0的图象上一点，则k的值为 ．
15．如图，已知AB=63，点C在线段AB上，△ACD是底边长为6的等腰三角形且∠ADC=120°，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：−22+2−320−4−12−1
（2）解方程：x+1x−1−4x2−1=1．
17．（8分）超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元．
(1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？
18．（9分）近年来，太原市各中小学对劳动教育日益重视，许多学校因地制宜，创造条件，精心设计花样劳动作业，让学生们多参与劳动，形成家校共育，为培养学生的自主意识，提高学生的劳动本领，某校组织全校学生开展了劳动技能大赛，通过以赛促学、以赛促育的方式，感受劳动之趣，体验劳动之美，赛后从中随机抽取了部分学生进行了问卷调查，所有问卷全部收回，并将结果绘制成如图所示的统计图和统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明说频数分布直方图中有一组的数据画错了，你知道是哪一组吗？该组正确的数据应该是多少？
(2)参与本次问卷调查的总人数为______ 名；
(3)若该校共有2800名学生，请估计本次劳动技能大赛中成绩在80分及以上的学生人数；
(4)针对此次劳动技能大赛，请结合上述调查数据，写出一条你获取的信息．
19．（8分）随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，人们使用手机时间、次数急速增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，据相关实验，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）存在一种函数关系．
某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余30%，为了不耽误助农直播卖农产品，他用第一部手机一边充电一边直播（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余20%时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：
(1)求出线段BC对应的函数表达式；
(2)第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？
20．（8分）小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点A处AD=14m，小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高3.5m）建筑物的顶部点B的仰角为4°23'55″，测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点C的仰角为15°．按照安全规定：此时塔吊的底部点M距建筑物的底部点N是4m．利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为32m，但这个高度明显违反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在15∼20m），亲爱的同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．参考数据：sin4°23'55″=170170，tan4°23'55″=113，sin15°=6−24，tan15°=2−3，3≈1.732）
21．（8分）如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，若AB=AD、CB=CD，延长AD至点F，连接FC并延长至点E，恰好使得∠BCE+∠F=90°．
(1)证明：EF为⊙O的切线
(2)连接BD，若⊙O的半径为4，CF=6，求BD的长
22．（12分）根据以下素材，探索完成任务．
23．（12分）【问题探究】
（1）如图1，已知△ABC，点D是BC的中点，连接AD，则S△ABD S△ACD（填“>”“0的图象上一点，则k的值为 ．
【答案】−2
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数k值的几何意义，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过点B作y轴的垂线，垂足为点D，根据反比例函数k值的几何意义得出S△OAC=3，通过证明△OAC∽△BOD，得出S△OACS△OBD=OAOB2=3，进而得出S△OBD=1，则k=1，最后根据函数y=kxx>0的图象位于第四象限，即可求解．
【详解】解：过点A作y轴的垂线，垂足为点C，过点B作y轴的垂线，垂足为点D，
∵点A是函数y=6xx>0的图象上点，
∴S△OAC=12×6=3，
∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，
∴AB=2OB，
根据勾股定理可得：OA=AB2−OB2=2OB2−OB2=3OB，
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴∠ACO=90°,∠ODB=90°,∠AOC+∠OAC=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△OAC∽△BOD，
∴S△OACS△OBD=OAOB2=3，
∴S△OBD=1，则k=2，
∵函数y=kxx>0的图象位于第四象限，
∴k=−2，
故答案为：−2．
15．如图，已知AB=63，点C在线段AB上，△ACD是底边长为6的等腰三角形且∠ADC=120°，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 ．
【答案】9−23
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹．连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于T．证明MJ垂直平分线段CD，推出点M的运动轨迹是直线MJ，当BM⊥MJ时，BM的值最小，求出BM即可．
【详解】解：如图，连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于T，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，
∵四边形EFCD是矩形，点M是DF的中点，
∴点M在对角线DF，EC的交点，
∴MD=MC，
∵MJ⊥CD，
∴DJ=JC，
∴点M的运动轨迹是直线MJ，当BM⊥MJ时，BM的值最小，
∵DA=DC，∠ADC=120°，AC=6，
∴∠A=∠DCA=30°，AH=CH=12AC=3，
∴CD=3×233=23，
∴CJ=DJ=3，
∴CT=CJ32=2，
∵AB=63，AC=6，
∴BT=BC+CT=(63−6)+2=63−4，
∵∠CJT=90°，∠JCT=30°，
∴∠BTM=60°，
∴BM=32BT=(63−4)×32=9−23，
∴BM的最小值为9−23．
故答案为：9−23．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：−22+2−320−4−12−1
（2）解方程：x+1x−1−4x2−1=1．
【答案】（1）1；（2）无解．
【分析】（1）根据平方，零次幂，算术平方根，负整数指数幂分别计算；
（2）方程两边乘以各分母的最小公分母，化为整式方程后求解，最后进行检验．
【详解】（1）−22+2−320−4−12−1
=4+1−2−2
=1；
（2）x+1x−1−4x2−1=1
方程两边同乘x+1x−1，得：x+12−4=x+1x−1，
化简，得：2x=2，
解得：x=1，
检验：x=1时，x+1x−1=0，
∴x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解．
【点睛】本题考查平方，零次幂，算术平方根，负整数指数幂，解分式方程，熟练掌握平方，零次幂，算术平方根，负整数指数幂，解分式方程是解题的关键．
17．超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元．
(1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？
【答案】(1)A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元；
(2)至少购进A种商品100件．
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用：
（1）根据“购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元”列出方程组解答即可；
（2）设购进A种商品a件，则B种商品200−a件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可．
【详解】（1）解：设A甲种商品每件进价x元，B乙种商品每件进价y元，
根据题意，得5y−4x=1020x+10y=160，解得：x=5y=6，
答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元．
（2）解：设A种商品购进a件，则乙种商品200−a件，
根据题意，得10a−30+0.8×10200−a−30−5a−6200−a≥640，
解得：a≥100，
答：至少购进A种商品100件．
18．近年来，太原市各中小学对劳动教育日益重视，许多学校因地制宜，创造条件，精心设计花样劳动作业，让学生们多参与劳动，形成家校共育，为培养学生的自主意识，提高学生的劳动本领，某校组织全校学生开展了劳动技能大赛，通过以赛促学、以赛促育的方式，感受劳动之趣，体验劳动之美，赛后从中随机抽取了部分学生进行了问卷调查，所有问卷全部收回，并将结果绘制成如图所示的统计图和统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明说频数分布直方图中有一组的数据画错了，你知道是哪一组吗？该组正确的数据应该是多少？
(2)参与本次问卷调查的总人数为______ 名；
(3)若该校共有2800名学生，请估计本次劳动技能大赛中成绩在80分及以上的学生人数；
(4)针对此次劳动技能大赛，请结合上述调查数据，写出一条你获取的信息．
【答案】(1)C组画错了，该组正确的数据应该是36人
(2)150
(3)1680名
(4)本次劳动技能大赛中成绩不低于90分的学生占40%（答案不唯一）
【分析】（1）分别用频数分布直方图中各组数据除以频数分布表中频率，不相等的哪组就是出错的组，再求出正确数据即可；
（2）用正确的一组频数除以其频率即为参与本次问卷调查的总人数；
（3）用本次劳动技能大赛中成绩在80分及以上的频率乘以2800即可作出估计；
（4）写出一条信息即可．
【详解】（1）解：根据各组所占频率，可求出总人数，
A组：60÷0.4=150，
B组：30÷0.2=150，
C组：48÷0.24=200，
D组：24÷0.16=150，
∴出错的是C组，该组正确的数据应该是150×0.24=36 (人)，
答：C组画错了，该组正确的数据应该是36人；
（2）解：由（1）知：参与本次问卷调查的总人数为150名，
（3）解：2800×(0.2+0.4)=1680 (名)，
答：估计本次劳动技能大赛中成绩在80分及以上的学生人数为1680名；
（4）解：答案不唯一，比如：本次劳动技能大赛中成绩不低于90分的学生占40%．
【点睛】本题考查频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
19．随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，人们使用手机时间、次数急速增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，据相关实验，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）存在一种函数关系．

某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余30%，为了不耽误助农直播卖农产品，他用第一部手机一边充电一边直播（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余20%时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：
(1)求出线段BC对应的函数表达式；
【答案】(1)E=40t+10
(2)当t>1013h时，第二部手机电量超过第一部手机电量
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出线段DF对应的函数表达式为E1=14t+30，根据E>E1，得出40t+10>14t+30，求出t的范围即可．
【详解】（1）解：设线段BC对应的函数表达式为E=kt+bk≠0，
由图象知，经过14,20,214,100，
20=14k+b100=94k+b，
解得：k=40b=10，
∴线段BC对应的函数表达式为E=40t+1014≤t≤214．
（2）解：设线段DF对应的函数表达式为E1=k1t+b1，由图像知，经过0,30,5,100．
30=b1100=5k1+b1，
解得：k1=14b1=30，
∴线段DF对应的函数表达式为E1=14t+30，
方法一：当E=E1时，40t+10=14t+30，
解得t=1013，
由图象可知，当t>1013h时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
方法二：当E>E1时，40t+10>14t+30，
解得t>1013h．
∴当t>1013h时，第二部手机电量超过第一部手机电量．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，利用不等式或图象比较大小的具体知识；考查学生从图象中读取信息的能力，分析图象的能力、将实际问题转化为数学问题的能力．
20．小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点A处AD=14m，小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高3.5m）建筑物的顶部点B的仰角为4°23'55″，测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点C的仰角为15°．按照安全规定：此时塔吊的底部点M距建筑物的底部点N是4m．利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为32m，但这个高度明显违反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在15∼20m），亲爱的同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．参考数据：sin4°23'55″=170170，tan4°23'55″=113，sin15°=6−24，tan15°=2−3，3≈1.732）

【答案】塔吊的高度为：39.5m，塔吊没有违规操作.
【分析】如图，过A作AE⊥BN于E，交CM于F，则AF⊥CM，AD=EN=FM=14，EF=MN=4，AE=DN，∠BAE=4°23'55″，∠CAF=15°，BN=6×3.5=21，可得BE=BN−EN=21−14=7，再分别求解AE，AF，CF，从而可得答案.
【详解】解：如图，过A作AE⊥BN于E，交CM于F，则AF⊥CM，
∵AD⊥DN，BN⊥DN，FM⊥DM，
∴四边形ADNE是矩形，四边形EFMN是矩形，
∴AD=EN=FM=14，EF=MN=4，AE=DN，∠BAE=4°23'55″，∠CAF=15°，BN=6×3.5=21，
∴BE=BN−EN=21−14=7，

∴AE=BEtan∠BAE=7tan4°23'55″=91，
∴DM=DN+MN=AE+MN=95，
∴AF=95，
∴CF=AF⋅tan∠CAF=95×2−3≈25.5，
∴CM=CF+FM=39.5，
∴塔吊的高度为：39.5m，
而39.5−21=18.5m，
∴塔吊没有违规操作.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线，理解仰角的含义是解本题的关键．
21．如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，若AB=AD、CB=CD，延长AD至点F，连接FC并延长至点E，恰好使得∠BCE+∠F=90°．

(1)证明：EF为⊙O的切线
(2)连接BD，若⊙O的半径为4，CF=6，求BD的长
【答案】(1)见解析
(2)BD=19225
【分析】（1）连接AC，根据弧，弦之间的关系，推出AC为⊙O直径，∠ACB=∠ACD，进而得到∠ADC=∠CDF=90°，根据同角的余角相等，得到∠BCE=∠DCF，再根据平角的定义，推出∠ACD+∠DCF=90°，即AC⊥EF，即可得证；
（2）设BD交AC于点H，垂径定理得到AH⊥BD,DB=2DH，勾股定理求出AF的长，等积法求出CD，再用勾股定理和等积法求出DH的长，即可得解．
【详解】（1）证明：连接AC，

∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=AD，CB=CD，
∴AB+CB=CD+AD， ∠ACB=∠ACD，
∴AB+CB为半圆，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDF=90°，
∴∠DCF+∠F=90°，
∵∠BCE+∠F=90°
∴∠BCE=∠DCF，
∵∠BCE+∠DCF+∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACD+∠DCF=90°，即：OC⊥EF；
∵OC为⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）设BD交AC于点H，

则：BH=DH，AH⊥BD，
∵⊙O的半径为4，
∴AC=8，
∵∠ACF=90°,CF=6，
∴AF=AC2+CF2=10，
∵S△ACF=12AC⋅CF=12AF⋅CD，
∴6×8=10CD，
∴CD=4.8，
∵∠ADC=90°，
∴AD=AC2−CD2=6.4，
∵S△ACD=12AC⋅DH=12AD⋅CD，
∴8DH=4.8×6.4，
∴DH=9625，
∴BD=2DH=19225．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是掌握弧，弦，角之间的关系，得到AC是⊙O的直径．
22．根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务一：y=1500x2；任务二：CD=30，这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个；任务三：方案1：较大的抛物线段1条，较小抛物线4条；方案2：较大的抛物线段2条，较小抛物线4条；方案3：较大的抛物线段3条，较小抛物线2条
【分析】任务一：用待定系数法求解即可；
任务二：先求出点D的纵坐标，代入解析式求出点C和点D的横坐标，求出开口宽度，然后可求出每边这样的图案最多可以摆放几个；
任务三：设较大的抛物线段m条，较小抛物线n条，可得40m+30n≤200（m，n为正整数，且m≤5），然后讨论即可．
【详解】任务一：由题意得：AB=200÷5=40m，点B坐标为20,0.8，
设抛物线解析式为y=ax2，将点B20,0.8代入解析式得：0.8=400a
解得a=1500，
∴抛物线解析式为y=1500x2
任务二：ℎ=0.7时，点D的纵坐标为：1.6−0.7÷2=0.45，
当y=0.45时，代入y=1500x2，得0.45=1500x2
解得x1=−15，x2=15，
∴CD=30，
200÷30=623
∴这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个．
任务三：设较大的抛物线段m条，较小抛物线n条，
由以上条件可知：AB=40，CD=30．
40m+30n≤200（m，n为正整数，且m≤5），
①m=1，n=5，（不能对称摆放，舍去）
②m=1，n=4（中间摆1个较大的，左右各摆2个较小的，两边各余20米，符合题意）
③m=2，n=4（中间摆2个较大的，左右各摆2个较小的，两边没有空余，符合题意）
④m=3，n=2（中间摆3个较大的，左右各摆1个较小的，两边各余10米，符合题意）
⑤m=4，n=1（不能对称摆放，舍去）
综上可知，方案1：较大的抛物线段1条，较小抛物线4条；方案2：较大的抛物线段2条，较小抛物线4条；方案3：较大的抛物线段3条，较小抛物线2条；
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键．
23．【问题探究】
（1）如图1，已知△ABC，点D是BC的中点，连接AD，则S△ABD S△ACD（填“>”“