内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.下列各题的四个选项中只有一个正确，请将正确答案填入下表）
1．（3分）下列图标不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列计算中正确的是（ ）
A．（x2）2＝x5B．x3﹣x2＝x
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．﹣x2•x＝﹣x3
3．（3分）长度分别为3，1，x的三条线段能组成一个等腰三角形，x的值可以是（ ）
A．1B．3C．1或3D．不存在
4．（3分）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，获得了诺贝尔物理学奖，石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×10﹣9B．3.4×10﹣11C．3.4×10﹣10D．34×10﹣11
5．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数是（ ）
A．110°B．105°C．100°D．95°
6．（3分）如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AB＝DC，AC＝DBB．AB＝DC，∠ACB＝∠DBC
C．BO＝CO，∠A＝∠DD．AB＝CD，∠A＝∠D
7．（3分）在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB≠AC，使△ACD是等腰三角形，则下列作法中（ ）
A．②③B．①②C．①③D．①②③
8．（3分）已知a﹣b＝5，ab＝3，则（a+1）（b﹣1）的值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
9．（3分）如图，CD是△ABC的中线，点E和点F分别是CD和AE的中点，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．4C．3D．2
10．（3分）已知，则＝（ ）
A．12B．14C．8D．16
二、填空题（共7小题，每小题2分，共14分.将最后结果填写在横线上）
11．（2分）因式分解：xy2﹣4x＝ ．
12．（2分）若分式的值为0，则x＝ ．
13．（2分）计算：＝ ．
14．（2分）若am＝4，an＝3，则am﹣n的值为 ．
15．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，在AD上取一点E，连结CE，若∠ECD＝20°，则∠B＝ ．
16．（2分）某星期日，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家和小新家到中山公园的距离分别是4km和10km，小新骑共享单车前往．已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15min到达．若设小明步行的速度为x km/h ．
17．（2分）如图，在等边三角形ABC中，BD是中线，Q分别在AB，AD上，动点E在BD上，则PE+QE的最小值为 ．
三、解答题（共4道小题，每题5分共20分）
18．（5分）计算：（3x﹣2）（2x+3）+（x﹣1）2．
19．（5分）解方程：+＝﹣1．
20．（5分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC
21．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2
四、（本题8分）
22．（8分）如图所示，在△ABC中：
（1）下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是 （将序号按正确的顺序写在横线上）．
①分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，两弧交于点P；
②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M；
③画射线BP，交AC于点D．
（2）能说明∠ABD＝∠CBD的依据是 （填序号）．
①SSS．②ASA．③AAS．④角平分线上的点到角两边的距离相等．
（3）若AB＝18，BC＝12，S△DBC＝30，过点D作DE⊥AB于点E，求S△DBA．
五、（本题8分）
23．（8分）如图，已知线段AB和点C，若点C在线段AB上，CB＝CE，∠DCA＝∠ECB，BD相交于点P．
（1）求证：∠A＝∠D；
（2）若∠DCA＝60°，求∠DPA的度数．
六、（本题8分）
24．（8分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
七、（本题12分）
25．（12分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
【新知应用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110° ；若∠B＝70°，则∠A＝ ．
【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，若连接CA，则CA平分∠BCD．
某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE＝BC，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程．
【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，CA平分∠BCD吗？请说明理由．
2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市扎兰屯市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.下列各题的四个选项中只有一个正确，请将正确答案填入下表）
1．解析：解：A．是轴对称图形；
B．是轴对称图形；
C．是轴对称图形；
D．不是轴对称图形．
故选：D．
2．解析：解：A、（x2）2＝x4，原式计算错误，不符合题意；
B、x3与x2不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、（a﹣b）7＝a2﹣2ab+b5，原式计算错误，不符合题意；
D、﹣x2•x＝﹣x3，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3．解析：解：∵长度分别是3，1，x的三条线段能组成一个三角形，
∴7﹣1＜x＜3+2，
即2＜x＜4，
∴x的值可以是2．
故选：B．
4．解析：解：0.00000000034＝3.6×10﹣10．
故选：C．
5．解析：解：∵∠BAC＝80°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，
在△ABD中，∠B＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣（∠B+∠BAD）＝95°．
故选：D．
6．解析：解：A、添加条件AB＝DC，结合条件BC＝CB，不符合题意；
B、添加条件AB＝DC，结合条件BC＝CB，符合题意；
C、添加条件BO＝CO，可得∠DBC＝∠ACB，可以利用AAS证明△ABC≌△DCB；
D、添加条件AB＝CD，结合∠AOB＝∠DOC可利用AAS证明△AOB≌△DOC得到OB＝OC，不符合题意，
故选：B．
7．解析：解：图①：由题意得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，
∵∠BAC＝90°，AB≠AC，
∴∠B≠∠C≠45°，
∴∠C≠∠CAD，
∴△ACD不是等腰三角形，
故①错误；
图②：由题意得：
CA＝CD，
∴△ACD是等腰三角形，
故②正确；
图③：由题意得：
点D在AC的垂直平分线上，
∴DA＝DC，
∴△ACD是等腰三角形，
故③正确，
所以，上列作法中，
故选：A．
8．解析：解：原式＝ab﹣a+b﹣1＝ab﹣（a﹣b）﹣1，
把a﹣b＝5，ab＝3代入得：原式＝3﹣4﹣1＝﹣3，
故选：B．
9．解析：解：∵F是AE的中点，
∴BF是△ABE的中线，
∴S△ABF＝S△BEF＝，
∴S△ABE＝2S△BEF＝3，
∵D是AB的中点，
∴ED是△ABE的中线，
∴S△ADE＝S△BDE＝S△ABE＝，
∵E是CD的中点，
∴AE是△ACD的中线，
∴S△ACD＝3S△ADE＝3，
∴S△ABC＝2S△ACD＝3，
故选：A．
10．解析：解：方程两侧同时平方得：
∴，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（共7小题，每小题2分，共14分.将最后结果填写在横线上）
11．解析：解：xy2﹣4x，
＝x（y5﹣4），
＝x（y+2）（y﹣7）．
12．解析：解：根据题意得x2﹣1＝4，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣7．
故答案为：﹣1．
13．解析：解：原式＝2+1
＝3．
故答案为：3．
14．解析：解：因为am＝4，an＝3，
所以．
故答案为：．
15．解析：解：设∠ACE＝x，则∠ACB＝x+20°，
∵AE＝CE，
∴∠DAC＝∠ACE＝x，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠B＝∠ACB＝x+20°，∠BAD＝∠DAC＝x，
∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴2x+x+20°+x+20°＝180°，
解得：x＝35°，
∴∠B＝x+20°＝55°，
故答案为：55°．
16．解析：解：根据题意得：．
故答案为：．
17．解析：解：如图，在BC上其一点P'，连接PP'，EP'，
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，
∴直线BD是△ABC的对称轴，点P'与点P关于BD对称，
∴PE＝P'E，
∴PE+QE＝P'E+QE≥P'Q，
∴PE+QE的最小值为线段P'Q的长，
∵AQ＝QD＝1，
∴AC＝2（AQ+QD）＝5×2＝4，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠C＝60°，
∵AQ＝BP'＝2，
∴CP'＝CQ，
∴△CP'Q是等边三角形，
∴P'Q＝CQ，
∵CQ＝AC﹣AQ＝4﹣1＝8，
∴PE+QE的最小值为3，
故答案为：3．
三、解答题（共4道小题，每题5分共20分）
18．解析：解：（3x﹣2）（6x+3）+（x﹣1）6
＝6x2+8x﹣4x﹣6+x7﹣2x+1
＝2x2+3x﹣8．
19.解析：解：方程两边同乘以x2﹣4，
﹣（2+x）（x+2）+16＝﹣（x﹣2）（x+5）
﹣x2﹣4x﹣6+16+x2﹣4＝8
4x＝8
x＝2，
把x＝2代入（x﹣2）（x+8）＝0，
所以x＝2是原方程的增根，
方程无实数根．
20．解析：证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
21．解析：解：
＝3﹣•
＝
＝
＝，
当x＝﹣2，y＝8时．
四、（本题8分）
22．解析：解：（1）作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③；
故答案为：②①③；
（2）由作法得BM＝BN，MP＝NP，
而BP为公共边，
所以△BMP≌△BNP（SSS），
所以∠MBP＝∠NBP，
即∠ABD＝∠CBD；
故答案为：①；
（3）过D点作DF⊥BC于F点，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∴S△DBA：S△DBC＝AB：BC，
∴S△DBA＝＝45．
五、（本题8分）
23．解析：（1）证明：∵∠DCA＝∠ECB，
∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠A＝∠D；
（2）解：设AE与CD交于点H，如图所示：
 
在△DPH中，∠D+∠DHP+∠DPA＝180°，
∵∠A＝∠D，∠AHC＝∠DHP，
∴∠A+∠AHC+∠DPA＝180°，
在△ACH中，∠A+∠AHC+∠DCA＝180°，
∴∠DPA＝∠DCA＝60°．
六、（本题8分）
24．解析：解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，
根据题意，得：+，
解得：x＝2.3，
经检验，x＝2.5是原方程的解，
∴8.2x＝3．
答：A种粽子单价为2元/个，B种粽子单价为2.5元/个．
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，
依题意，得：2m+2.5（2600﹣m）≤7000，
解得：m≤1000．
答：A种粽子最多能购进1000个．
七、（本题12分）
25．解析：【新知应用】解：在△ABC中，
∵AB＝AC，∠A＝110°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣110°）＝35°，
若∠B＝70°，
则∠A＝180°﹣8×70°）＝40°，
故答案为：35°，40°；
【尝试探究】证明：如图2，延长CD到点E，连接AE，
∴∠ADC+∠ADE＝180°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠AED，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB＝∠D，AC＝AD，
∴∠ACD＝∠D，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴CA平分∠BCD；
【拓展应用】解：CA平分∠BCD，理由如下：
如图3，延长DE到点F，连接AF，
∴∠AED+∠AEF＝180°，
∵∠B+∠AED＝180°，
∴∠B＝∠AEF，
∵AB＝AE，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC＝AF，∠ACB＝∠F，
∵BC+DE＝CD，BC＝EF，
∴CD＝FD，
在△ACD和△AFD中，
，
∴△ACD≌△AFD（SSS），
∴∠ACD＝∠F，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴AC平分∠BCD．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
C
D
B
A
B
A
B