福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学八年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学八年级上学期期末考试数学试卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，满分150分）
一、选择题：每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求；选对得4分，选错或不答的得0分．
1. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟，芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定；解题时只要明确用科学记数法可以表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定即可．
【详解】解：对于来说前面有个，
；
故选：B
2. 若二次根式有意义，则可取的值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得出的取值范围，继而得出答案．
【详解】解：若二次根式有意义，则，
解得，
在四个选项中符合的是2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
3. 下列各根式中，不能与合并的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．原式各项化简，找出与不是同类项的即可．
【详解】解：A、原式=，与能合并，故A不合题意；
B、原式，与能合并，故B不合题意；
C、原式，不能与合并，故C合题意；
D、与能合并，故D不合题意，
故选：C．
4. 计算的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选：B
5. 若等腰三角形的两边长分别是2和10，则它的周长是（ ）
A. 14B. 22C. 14或22D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】按2或10分别是腰分类讨论，然后再验证三边能否构成三角形．
【详解】解：当2为等腰三角形的腰时，此时三角形三边分别为2、2、10，显然不能构成三角形，故舍去；
当10为等腰三角形的腰时，此时三角形三边分别为10、10、2，能构成三角形，此时三角形的周长为2+10+10=22，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义及构成三角形的条件，属于基础题，注意分类讨论．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查单项式除以单项式、积的乘方和幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，运用相关知识求出各行苦瓜结果后再进行判断即可．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，故不符合题意；
B. ，原选项计算错误，故不符合题意；
C. ，原选项计算错误，故不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意；
故选：D
7. 已知是完全平方式，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式子，熟悉掌握完全平方式子的结构是解题的关键．
根据完全平方式子的特点推导即可．
【详解】∵是完全平方式，
∴，
∴，
故选：C．
8. 如图，在中，，，是的角平分线．若点D到的距离为3，则的长为（ ）
A. 12B. 7.5C. 9D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，含30度角的直角三角形，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．过点作于点，根据角平分线的性质，得到，再由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点，
是的角平分线，，
，
点D到的距离为3，
，
在中，，
，
，
故选：C．
9. 如图，在中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，先根据等腰三角形三线合一的性质可得，则，再由等边对等角得，最后通过三角形的外角性质即可求解，然后再运用角的和差即可解答，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选：．
10. 如图的正方形网格中，像点、点这样网格线的交点称为格点．以为边的等腰三角形的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形的个数（ ）
A. 10个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分AB为底和腰两种情况解答即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
【详解】解：如图所示，分以下情况讨论：
①当AB为等腰底边时，符合条件的点有个：；
②当AB为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个：；
∴点的个数是个，
故选：A．
二、填空题：（每小题4分，共40分）．
11. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了负指数幂的运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据负指数幂的运算法则运算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 在括号内填入适当的整式，使分式值不变：，括号内应填入_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分式运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据分式的运算法则分析求解即可．
【详解】解：∵分母从变成了，
∴分母乘了一个，
∴，
故答案为：．
13. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟悉掌握平方差公式是解题的关键．
利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 计算：_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分式的减法运算，完全平方公式，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．
合并后利用完全平方公式进行因式分解运算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
15. 关于的分式方程的解是正数，则的取值范围_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，解本题时注意考虑分式的分母不为0这一条件．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为正数列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．
详解】解：，
分式方程去分母得：，
∴，
根据分式方程解为正数，得到，
解得，
又∵，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在的延长线上，如果，那么的度数为_____（用含的代数式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】利用轴对称的性质得到，利用全等的性质得到，，，再通过角的等量代换求解即可．
【详解】解：∵关于的对称点恰好落在的延长线上，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在四边形中，，则，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，四边形的内角和等知识点，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17. 计算
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算和整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式分别根据二次根式除法运算法则、零次幂、算术平方根以及绝对值的代数意义化简各项后再进行加减运算即可；
（2）原式根据单项式乘以多项式以及完全平方公式将括号展开后再合并即可．
【小问1详解】
解：
．
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解分式方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）原方程无解
【解析】
【分析】本题主要考查解分式方程，注意：解分式方程一定要检验．
（1）方程两边同乘以，化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可；
（2）方程两边同乘以，化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可
【小问1详解】
解：，
，
，
检验：当时，，
原方程的解为；
【小问2详解】
解：
解得，
检验：当时，
原方程无解
19. 先化简，再求值：，其中，
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式，
，
，
当时，
原式，
20. 如图，四边形中，，，
（1）求的长度；
（2）求证：．
【答案】（1）；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质．
（1）根据可得，根据可证，根据全等三角形对应边相等可求AD的长度；
（2）根据可知，根据内错角相等，两直线平行可证结论成立．
【小问1详解】
解：，
，
在和中，
，
；
小问2详解】
证明：如下图所示，
由（1）可知，
，
．
21. 如图，某市的两条道路经过旅游景点和，为了当地发展，要在围成的内的某区域修建一个度假村，按照设计要求，使度假村到景点和景点距离相等，且到两条道路和的距离也相等；请用无刻度的直尺和圆规，找出修建的度假村的位置（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查应用作图，分别作出的平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为满足条件的点M．
【详解】解：如图，平分线与线段的垂直平分线的交点即为所求的度假村的位置．
22. 为了进一步丰富校园文体活动，某中学准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元．
（1）求：足球和排球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？
【答案】（1）足球的单价是80元，排球的单价是65元；
（2）学校最多可以购买70个足球．
【解析】
【分析】（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量=总价÷单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买个足球，利用总价=单价×数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元；
【小问2详解】
解：设学校可以购买m个足球，则可以购买个排球，
依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为70．
答：学校最多可以购买70个足球．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23. 我们约定，关于的代数式、，在代数式成立的范围内，都有（为常数），则称代数式、互为“差值代数式”，为“差值”．例如：，，，∴、互为“差值代数式”，“差值”为；根据该约定，解答下列问题：
（1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．（在括号中填写“是”或“不是”）
①与（ ） ②与（ ）
③与（ ） ④与（ ）
（2）已知关于的整式，，若、互为差值代数式，且“差值”为，求的值．
【答案】（1）①不是；②是；③是；④是
（2）或0
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到了二次根式及绝对值的非负性，代数式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用，分别代数运算判断即可；
（2）列出的式子运算即可．
【小问1详解】
解：①：，当时，，当时，，故①不是；
②：，故②是；
③：，故③；
④：，故④是；
故答案为：①不是；②是；③是；④是；
【小问2详解】
解：依题意得：，
，
解得：或0．
24. 等边中，分别是上的动点，以为边作等边；
（1）当点在上时，
①如图1，求证：；
②如图2，和的延长线交于，若，求证：为中点；
（2）如图3，若点、在运动过程中，始终满足，试探究的度数是否发生变化？若不变，求出的度数并直接写出时，的值．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据等边三角形的性质，三角形的外角的性质，利用，即可得证；
②等边对等角，结合全等三角形的性质，推出，即可得证；
（2）过点做分别交于点M、N，易得为等边三角形，进而得到，同法（1）可得，等边对等角，结合三角形的外角，求出，利用含30度的直角三角形的性质结合等边三角形的判定和性质，推出，即可得出结果．
【小问1详解】
解：等边和等边中，
，
，
和中
，
；
②，，
，
，
，
，
，
，
为中点；
【小问2详解】
的大小不变，
过点做分别交于点M、N，
，
为等边三角形，
，
即，
同法（1）可得：
，
，
，
（为中点），
，
，
当时，
则：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
25. 平面直角坐标系中，Aa,0，，若a、b满足．
（1）试判断的形状并写出判断过程；
（2）如图1，点在第一象限，，点在轴正半轴，，、交于点，若，，求点到的距离；

（3）是第一象限一动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接，求点运动过程中的最小值（用含有的代数式表示）．

【答案】（1）等腰直角三角形，见解析
（2）12 （3）
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论和数形结合的数学思想．
（1）利用非负数的性质求得a、b的值，即可得出答案；
（2）过点做于点，根据证明得，再证明即可得出结论；
（3）分、在的同侧和异侧两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：，
，且，
∴，
，
，
是等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：过点做于点，
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，

又，
，
【小问3详解】
解：如图1当、在的同侧时，分别过、点作轴，轴，如图，
∵
∴
又
∴，
又
∴
∴
设，
，，
,
解得，
点在垂直轴的直线上运动，
，
如图，当B、Q在AP的异侧时，同理可得，
解得，
点在垂直轴的直线上运动且，
，