福建省福州市仓山区2024-2025学年八年级上学期期末考数学试卷（解析版）-A4

这是一份福建省福州市仓山区2024-2025学年八年级上学期期末考数学试卷（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列几何图形中属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项B、C、D中的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项A中的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：A．
2. 细菌是一种微小的单细胞生物，如大肠杆菌，其直径约为0.000000005米．将数据0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故选：B．
3. 下列式子一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件判断即可．
【详解】解：A、当时，无意义，不符合题意；
B、当时，无意义，不符合题意；
C、当时，无意义，不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
∴一定有意义，符合题意；
故选：D．
4. 如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（ ）
A. A，B，CB. B，C，DC. A，D，ED. A，C，E
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定解决问题．
【详解】解：如图，，是等腰三角形．
故选：A．
5. 如图，点B在线段上，．若，则下列说法错误的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形等知识，由全等三角形的性质推出，求出，，由邻补角的性质得到，由勾股定理求出的长，得出，得出，关键是由全等三角形的性质推出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故A、B不符合题意；
∵，
∴，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴，故D符合题意．
故选：D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法、负整数指数幂、单项式乘单项式、完全平方公式．根据同底数幂的除法法则、负整数指数幂的法则、单项式乘单项式法则、完全平方公式逐项计算判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
7. 如图，在中，，，平分，若，则的长为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、等腰三角形判定和性质等知识，推导出是解题的关键，由，求得，由平分，得，则，而，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：．
8. 下列式子从左到右的变形，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：C．
9. 如图，在中，，分别是边的中线、高线，过点D作于点F，若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的中线和高，熟记它们的定义是解题的关键．
根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵是边的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
10. 已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（ ）
A. 有最大值，且最大值为
B. 有最小值，且最小值为
C. 有最小值，且最小值为
D. 有最大值，且最大值为
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的值，不等式的性质，先根据及得出b的取值范围，进一步得出a的取值范围，再将转化为，据此可解决问题．
【详解】解：因为，，
所以，
解得，
则，
解得，
又因为，且，
所以，
所以有最大值，且最大值为．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 已知三角形的三边长分别是3、4、x，则x的取值范围是 __________．
【答案】##
【解析】
【详解】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：，即，
故答案为：．
12. 因式分解：_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
利用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：．
故答案：．
13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m，n的值，进而可得答案， 熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据等式基本性质将等式的两边同时减去1即可求出结论．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查的是等式的变形，掌握等式的基本性质是解决此题的关键．
15. 甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行用了，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行的路程为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式， 根据题意先表示出甲船的速度，进而得出乙船的速度，据此即可解决问题，熟知速度、路程和时间三者之间的关系是解题的关键．
【详解】解：由题知，
甲船的速度为，
则乙船的速度为：，
∴乙船航行的路程为，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为___．
【答案】
【解析】
【分析】如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T．证明，推出，再证明，，求出，再根据可得结论．
【详解】解：如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T．
在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴当点G与点T重合，且点H在上时，取最小值为，
∴当的值最小时，的长即为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的四则混合运算，先根据完全平方公式、整式的除法的运算法则计算，最后再合并同类项．
【详解】解：
．
18. 如图，点B，M，N，C在同一直线上，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明．证明，即可解决问题．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
∴，
∴．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式除法运算法，是解题的关键．先根据分式除法运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20. 如图，在中，点D在延长线上，延长至点E，连接．设，，若，求证：平分．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形的外角性质, 先利用为的一个外角得到，由于，则可得到，接着利用为的一个外角得到，所以，从而得到结论．
【详解】证明：∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
21. 已知，，均为正实数，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
根据比例的基本性质即可得出结论．
详解】解：∵
又∵
∴，
∴．
22. 编写一个实际情境的应用题，要求这个应用题可以用方程求解．请你写出这个实际情境的应用题，并写出解答过程．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
问题：钢笔的单价比笔记本高3元，其用150元购买笔记本的本数与用180元购买钢笔的支数相同，求钢笔与笔记本的单价？设笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为元，利用数量＝总价÷单价，结合用150元购买笔记本的本数与用180元购买钢笔的支数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即笔记本的单价），再将其代入中，即可求出钢笔的单价．
【详解】问题：钢笔的单价比笔记本高3元，其用150元购买笔记本的本数与用180元购买钢笔的支数相同，求钢笔与笔记本的单价？
解：设笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：笔记本的单价为15元，钢笔的单价为18元．
23. 如图，在中，于点G．点D在外，连接，．
（1）尺规作图：在的右侧求作一点E，连接，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，与相交于点F，求证：相交于一点．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）分别以A，C为圆心，为半径作弧，两弧交于点E，连接即为所求；
（2）如图，设交于点，证明点在的垂直平分线上且在线段上可得结论．
【小问1详解】
解：分别以A，C为圆心，为半径作弧，两弧交于点E，连接，则即为所求，如图：
由作图可知，，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，设交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上且在线段上，
∵，
∴，
∴垂直平分线段，
∵与相交于点，
∴点在的垂直平分线上且在线段上，
∴点，点重合，
∴相交于一点．
24. 在学习整式的乘法运算时，数学老师去借助图形的面积，让同学们更直观的判断和理解整式的乘法运算．
如图是王老师用硬纸卡制作的学具（的正方形A，的正方形B，的长方形C）
（1）王老师在利用学具A、C各一张，组合了如图1的图形，借助图形的面积，可以得出的整式乘法关系式为 ；
（2）王老师在接下来的探究中，给同学们2张A，1张B和3张C硬纸卡，要求同学们将这些硬纸卡全部使用，拼成一个长方形（各个部分不重合且镶嵌）．请在下列的方格纸中画出这个长方形（假设：a的值为2个单位长度，b的值为1个单位长度），并借助图形的面积直接写出整式乘法的关系式．整式乘法的关系式为： ；
（3）王老师在本节课结束后，布置了一道思考题：“如图，用4张C类型的硬纸卡拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则的值是多少？”，请写出求解过程，完成解答．
【答案】（1）；
（2），图见解析；
（3）3，求解过程见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图的应用与设计，整式乘法的应用，解一元二次方程，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）根据矩形的面积公式求解；
（2）画出图形，再根据矩形的面积公式求解；
（3）先表示出和，再代入解方程即可．
【小问1详解】
解：如图1，图形面积可以用面积公式表示为，也可以用正方形A和长方形C的面积和表示为，
则整式乘法关系式为：，
故答案为：
【小问2详解】
解：如下图，图形面积可以用面积公式表示为，也可以用六个图形的面积和表示为，
则乘法关系式为：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：，，，
，
等式可化为：，
，
，
解得：（不合题意，舍去），或，
的值是3．
25. 如图，在等边三角形中，点D，E分别在，上，连接，相交于点F，且．
（1）求证：；
（2）如备用图1，点G在射线上，连接，，且．
①求证：平分；
②如备用图2，连接，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题属于全等三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识点．
（1）证明即可；
（2）①如图2中，过点B作于点M，交的延长线于点N．证明即可；
②证明，，推出，再证明，推出可得结论．
【小问1详解】
证明：如图1中，是等边三角形，
，，
，，
，
，
；
【小问2详解】
①证明：如图2中，过点B作于点M，交的延长线于点N．
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
平分；
②解：如图3中，
，平分，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．