福建省泉州市开发区实验中学九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省泉州市开发区实验中学九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题4分，共10题）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】A. 不能合并，所以A选项错误；
B. ，所以B选项正确；
C. ，所以C选项错误；
D. ，所以D选项错误．
故选：B．
2. 小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两条平行线之间的距离处处相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【答案】D
【解析】
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．
【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点
步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：
M、N就是线段AB的三等分点
故选：D
【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可．
3. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识．
根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可．
【详解】解：如下图，

点即为所求的位似中心．
故选：D．
4. 用配方法解方程时，配方后所得的方程是（ ）
A. B.
C. D. ．
【答案】C
【解析】
【分析】先移项，再配方，即可得出选项．
【详解】解：x2−8x +3=0，
移项得，x2−8x=−3，
两边加上16得，x2−8x +16=−3+16，
配方得，(x−4)2=13，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是熟悉配方法的过程，熟练进行计算．
5. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定方法依次判断即可．本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
A.若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故A选项正确，不符合题意；
B. 若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故B选项正确，不符合题意；
C. 若添加，则不能得出，故C选项错误，符合题意；
D. 若添加，则根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似” 可得，故D选项正确，不符合题意；
故选：C
6. 在数轴上表示实数a的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A. 2B. 4C. D. 2a
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值和二次根式，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴原式；
故选：A．
7. 如图， 的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，延长到，连接，根据题意和图形，可以得到和长，然后即可求得的值．
【详解】解：延长到，连接，如图：

由题意可得，，，
∴．
故选：B．
8. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．求出，过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，，
在中，，
如图，过点B作垂直底面于点D，
，
，
∴，
∴，
点O为跷跷板的中点，
∴，
是的中位线，
，
故选：D．
9. 已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，且这个直角三角形的斜边上的中线长是，则k的值是（ ）
A. 8B. C. 8或D. 4或
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要查了一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，直角三角形的性质，完全平方公式的应用．设三角形的两条直角边的长分别为a，b，利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再由直角三角形的性质，可得这个直角三角形的斜边的长为，然后根据勾股定理，可得，即可求解．
【详解】解：设三角形的两条直角边的长分别为a，b，
∵三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，
∴，
∵这个直角三角形斜边上的中线长是，
∴这个直角三角形的斜边的长为，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴．
故选：B
10. 已知关于x的一元二次方程．下列说法中正确的有（ ）
①若，则方程有一个根是1；
②若方程的两根为和2，则有成立；
③若c是方程的一个根，则有成立；
A 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
当时，，则方程有一个根是1；可判断①的正误；由方程的两根为和2，可得，即，可判断②的正误；由c是方程的一个根，可得，即，由，可得，则，可判断③的正误．
【详解】解：当时，，
∴方程有一个根是1；正确，故①符合要求；
∵方程的两根为和2，
∴，即，正确，故②符合要求；
∵c是方程的一个根，
∴，即，
∵，
∴，
∴，正确，故③符合要求；
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共6小题）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式里的被开方数不小于0，依此即可解答．
【详解】解：由题可知：，
解得：，
故答案为：．
12. 已知，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意得到，再把代入所求式子中约分即可得到答案．
详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
14. 小明沿坡比为的山坡向上走了13米．那么他沿着垂直方向升高了________米．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了坡比，勾股定理，
先根据坡比的定义得，再设则，根据勾股定理列出方程，求出解即可.
【详解】解：根据题意，可知，
设则，根据勾股定理，得
，
即，
解得，
∴，
所以他沿着垂直方向升高了5米.
故答案为：5.
15. 如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，求正切值，等边对等角，结合题意，由正方形的性质可知，则，，再根据即可求解，熟练理解相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：在正方形中，，，
∴，
由题意可知，则，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，中，点D、点E分别是的中点，与交于点O．若，那么的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，也考查了平行线的性质．解题的关键是证明三角形相似．
连接，根据、分别是的中点，可得，从而得到，进而得到，由，证明，得到，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
分别是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
详解】解：
．
18. 如图，四边形四边形，分别求的长及的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，四边形内角和定理，
根据相似三角形的性质可得，再代入求值，然后根据四边形内角和定理得出答案.
【详解】解：∵四边形四边形，
∴.
∵
∴
解得，
∴.
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：

，
当时，原式=．
20. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是判断．根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”．设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，，
∴．
设正方形零件的边长为，则，．
∵，
∴，
∴，
解得．
∴这个正方形零件的边长是．
21. 如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏东的方向，求船C离海岸线l的距离（即的长）（结果不取近似值）．
【答案】船C离海岸线l的距离为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．
由题意得，则等腰直角三角形，则，解得，由线段和差得到，即可求解．
【详解】解：由题意得，
在中，∵，
，
∴，
在中，∵，
∴
∵，
∴
∴
答：船C离海岸线l的距离为
22. 列方程（组）解应用题
某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
（1）求该商场投入资金的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率
（2）预计该商场七月份投入资金将达到万元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金．
【小问1详解】
解：设该商场投入资金的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴该商场投入资金的月平均增长率；
【小问2详解】
解：（万元），
∴预计该商场七月份投入资金将达到万元．
23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)当方程一个根为时，求的值以及方程的另一个根．
【答案】（1）且；（2），方程的另一个根为
【解析】
【分析】（1）根据题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求解；
（2）根据题意先求出m的值，然后利用一元二次方程根与系数的关系求出另一个根即可．
【详解】解：（1）由题意得：
，且，
解得：且；
（2）把方程一个根为代入方程得：
，解得：，
设另一个根为a，根据韦达定理可得：，
解得：，
∴方程的另一个根为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
24. 【阅读理解】如图1，在四边形的边上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形的边上的“强相似点”．
【解决问题】
（1）如图1，，求证：点E是四边形的边上的相似点；
（2）如图2，在矩形ABCD中，四点均在正方形网格的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形的边上的强相似点E，并说明理由；
（3）如图3，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点E处，若点E恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）作图，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】对于（1），根据三角形的外角的性质可得，再结合，再证明，结论可证；
对于（2），根据题意分两种情况：点E靠近点A时，点E靠近点B时.根据矩形的性质得
，再根据勾股定理的逆定理说明为直角三角形， 然后证明，接下来证明，则答案可得；同理可解答第二种情况；
对于（3），根据强相似点定义得出，可得，再根据折叠的性质得，进而得出，然后根据三角函数值得出，即可得出答案.
【小问1详解】
证明：
∵，
∴.
∵，
∴，
∴点E是四边形的边上的相似点；
【小问2详解】
解：两种情况：点E是靠近点A，边上的强相似点；
∵四边形是矩形，
∴.
∵，
∴，
即为直角三角形，，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴点E是矩形的边上的强相似点；
点E靠近点B，边上的强相似点，如图所示；
同理可得，
∴点E是矩形的边上的强相似点.
【小问3详解】
解：∵点E是四边形的边上的一个强相似点，
∴，
∴.
根据折叠的得,
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形外角的性质，特殊角的三角函数值等，理解新定义与相似三角形之间的关系是解题的关键.
25. 如图，在菱形中，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连结交于点F，平分交于点G．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
（3）若，当的大小发生变化时（），在上找一点T，使为定值，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】对于（1），根据菱形的性质和角平分线的定义得，可得；
对于（2），连接交于点K，交于点L，根据勾股定理求出,由证明，可知，所以，再根据得，接下来可根据，得，可求出，进而得出；
对于（3），过点G作，交于点T，则为定值，连接交于点K，交于点L，由，可知当的大小发生变化时，始终都有，由，可得，所以，同理可得，再证明，利用相似三角形的性质可得.
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴.
∵平分，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接交于点K，交于点L，
∵四边形是菱形，
∴，
∴.
根据勾股定理，得,
∴，则.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：过点G作，交于点T，则为定值，理由如下：
连接交于点K，交于点L，
∵，
∴当的大小发生变化时，始终都有，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例，解直角三角形等，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.
画法
图形
1．以A为端点画一条射线；
2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．