湖北省荆州市荆州中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷（含答案）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知函数为偶函数，则
A. B. C. D.
2.已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，B两点，点M为线段AB的中点，若点M的横坐标为p，，则( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
3.的展开式中，x的系数为
A. B. C. D.
4.已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体棱长为a，若点A，B， C，D在该圆锥的侧面上，点在该圆锥的底面上，则( )
A. 2B. C. 1D.
5.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则
A. B. C. D.
6.对数的第一位小数的值为
A. 4B. 5C. 6D. 7
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9.若复数，则( )
A.
B.
C. z在复平面内对应的点位于第四象限
D. 复数满足，则的最大值为
10.已知函数为R上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有
A. 图象关于直线对称B.
C. 的最小正周期为4D. 对任意都有
11.已知数列的通项公式，前n项和为，则
A. 数列为等差数列B. ，使得
C. 当时，取得最小值D. 数列的最大项的值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知，则 .
13.甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种用数字作答
14.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.若一个声音的数学模型是函数，则的最小正周期是 ，的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.本小题13分
某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.
现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立.
(1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；
(2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列.
16.（本小题15分）
已知正项数列的前项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求.
17.（本小题15分）
已知函数
(1)若在处的切线斜率为，求；
(2)若恒成立，求的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，四棱锥中，，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，动点在内含边界且
①求动点的轨迹的长度；
②设直线与平面所成角为，求的取值范围.
19.本小题17分
如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，
求与的标准方程；
过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合）
点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值上述各点均不重合