山东省九五高中协作体2026届高三上学期12月质量检测 数学试卷（含答案）

这是一份山东省九五高中协作体2026届高三上学期12月质量检测 数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（其中为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知等比数列的前项积为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，是函数图像上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
7．设球的体积为，球的内接圆柱（圆柱的上､下底面圆周均在球面上）的体积的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知非零实数，，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．
B．在上单调递增
C．当时，
D．在上有2025个零点
11．在矩形中，，，沿对角线将折起，得到三棱锥，已知，则（ ）
A．二面角的余弦值为
B．三棱锥的体积为
C．直线与所成角为
D．直线，直线，则的最小值为
三、填空题
12．已知中，，，若满足条件的有两个，则的取值范围为 .
13．已知为数列的前项和，若为公差为的等差数列，则的值为 .
14．对任意，方程有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．已知函数，的图象关于轴对称.
(1)求角的值；
(2)角，，锐角满足，求的值.
16．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，．
(1)求证：平面；
(2)已知点是直线与平面的交点，求的值．
17．已知为内一点，满足，.
(1)若，求的值；
(2)求的最小值.
18．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：；
(3)若，其中且，求实数的值.
19．已知集合，设非空集合，记为中的最小元素，为中的元素个数.若集合满足，则称是的一个“膨胀子集”.记的“膨胀子集”的个数为.
(1)请写出的“膨胀子集”以及的含有但不含的“膨胀子集”；
(2)当时，求数列的递推公式（用，表示）；
(3)求的值.
参考答案
1．C
【详解】首先对复数进行化简，
所以的共轭复数是.
故选：C
2．B
【详解】当，即k为偶数时，，
当，即k为奇数时，，
所以集合A中元素为除以6余1的整数和除以6余4的整数，
因为，
所以集合B中元素为除以6余1的整数，
所以，故B正确，A错误；
当，即，当，，即，所以，故C错误；
由得，，为除以6余1的整数和除以6余4的整数，并不是全体整数，故D错误.
故选：B
3．C
【详解】由题意得，，又，，
，即，
故选：C.
4．A
【详解】由，则，所以充分性成立；
反之：若，可得，
即，解得，所以必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
5．B
【详解】设公比为q，由题意得，，
所以，则，即，
又，
将，代入可得，即，
所以，则，
所以.
故选：B
6．A
【详解】因为，是函数图象上两个不同的点，
所以，，故，
因为，由基本不等式可得，
故，故BCD错误，A正确.
故选：A.
7．B
【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，
由球的内接圆柱性质，球心到圆柱底面的距离为，根据勾股定理得.
所以，所以圆柱的体积为.
求导得，当，即时，；当，即时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值为，
而球的体积为，所以.
故选：B.
8．D
【详解】因为函数为奇函数，所以其图像经过原点，即，C错误；
因为为偶函数，所以，可知函数的对称轴为，
所以，而由为奇函数可得，，
即，所以关于点对称，所以，
所以，D正确；
令，则为奇函数，
而为偶函数，满足题意，
但是，所以A,B错误.
故选：D.
9．AC
【详解】∵，∴，∴，A选项正确；
当时，，B选项错误；
∵，∴，C选项正确；
取，则，D选项错误.
故选：AC.
10．ACD
【详解】对于选项A：，故A正确；
对于选项B：当时，，故，
则：，
令，，
当，即时，，即，
故在上单调递减，故B错误；
对于选项C： 当时，，，，
故，
则，
当时，，故
由此可知函数在上连续且单调递增，
当时，；
当时，；
故．故C正确；
选对于项D：求，即，分情况：
1． 当时，，即，得或，得或；
2． 当时，，即，得，得．
综上，的解为．
故在内，，共2025个零点．故D正确．
故答案：ACD．
11．ACD
【详解】对于选项A，作，垂足分别为，设二面角的平面角为，由二面角的定义可知，.
在矩形中，，则，
所以，，所以.
，
所以，所以.故选项A正确；
对于选项B，，
，所以，又,，
所以平面，
又，所以，
，故选项B错误；
对于选项C，，
,
，又，
所以，所以异面直线与所成角为，故选项C正确；
对于选项D，设，
则，
由
，
所以.
，
所以，所以可得.
所以，
，
所以，即的最小值为，故D选项正确.
故选：ACD
12．
【详解】设的内角的对边分别为，
由余弦定理可得，
即，
因为满足条件的有两个，
则且两根之积大于零，即解得，
两根之积为，解得，且两根之和为恒成立，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
13．
【详解】由已知数列为公差为的等差数列，
则，
所以，
当时，，
则，
当时，上式仍成立，
则，
则，
故答案为：.
14．
【详解】由方程，可得，
要使得对任意，方程有且仅有一个实数根，
即有唯一的实数根，
设，即有唯一的实数解，
因为，所以在上为单调函数，且值域为，
当时，，当时，，即的值域为，
又由，要使得为单调函数，则或恒成立，
①若恒成立，即，即恒成立，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以.
②若恒成立，即，即恒成立，
由在上单调递增，在上单调递减，且当时，，
所以函数无最小值，不符合题意，舍去，
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
又因为的图象关于轴对称，所以，所以，
所以，因为，所以.
（2）由（1）得，，所以；
因为，若，则，而，不合题意.
故，则，所以，.
所以，
.
16．(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）因为平面平面，
所以，
又，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，
因为，所以平面；
（2）以点为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，
因为，
所以，
所以；
设平面的法向量为，则
，即，取；
设，
则，
因为点在平面内，所以，
所以，所以，
所以的值为．
17．(1)
(2).
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以，而为锐角，故.
延长交于点，所以.
因为，所以为的重心，所以；
所以.
（2）
设的对边分别为，延长交于点，
由（1）知，是的重心，所以为线段的中点，且.
因为为的中线，故，
在中，由余弦定理有，
在中，由余弦定理有，
而，故，
故即，
所以.
在中，由余弦定理可得，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
18．(1)的减区间为；无增区间.
(2)证明见解析
(3).
【详解】（1）因为，
所以，
设，则，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减；
所以，
所以在上恒成立，
所以的减区间为；无增区间.
（2）设.
设，注意到，
，所以在上单调递增.
所以当时，，则；
当时，，则；
综上，即.
（3）当时，取，则，不成立，故.
下面考虑的情形：
原不等式等价于.
设，注意到，
，
设，注意到，
，注意到，
设
，所以在上单调递增.
①若，则，
故存在，使得，当时，单调递增，
则，故单调递减，
，不合题意；
②若，则，当时，，
所以，故存在，使得，
当时，单调递减，则，
故单调递减，，不合题意；
③若，则，因为在上单调递增，
所以当时，，所以单调递减，则，
故单调递增，，符合题意；
当时，，所以单调递增，则，
故单调递增，，符合题意；
综上.
19．(1)的“膨胀子集”为，的含有但不含的“膨胀子集”为
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，，，
所以的“膨胀子集”为共3个；
则的含有5但不含1的“膨胀子集”为共3个；
（2）由题意可知，集合的“膨胀子集”均为集合的“膨胀子集”；
故集合不含元素的“膨胀子集”的个数为；
下面分析集合含有元素的“膨胀子集”：
①若，则此时，满足题意，共有个；
②若，则设，
将中去掉，剩余的所有元素减去1，得到新集合，
则此时，且中最大元素不超过，
所以为的“膨胀子集”，共有个，
由于任意一个满足条件的都对应一个满足条件的，且任意一个满足条件
的都对应一个满足条件的，所以满足条件的共有个.
所以
（3）由（2）得，
则