山东九五高中协作体2026届高三上学期12月质检数学试卷含答案（word版）

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1. 10−3+i (其中 i 为虚数单位) 的共轭复数为
A. 3+i B. 3−i C. −3+i D. −3−i
2. 已知集合 A={x∣x=3k+1,k∈Z},B={x∣x=6m+1,m∈Z} ，则
A. A⊆B B. B⊆A C. A∩B=⌀ D. A∪B=Z
3. 在 △ABC 中, AD=13AB+23AC ,则
A. BD=12DC B. BD=2CD C. BD=2DC D. BD=3DC
4. ” sinα2=33 ” 是 “ sinπ2+α=13 ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知等比数列 an 的前 n 项积为 Tn ,若 T4=4,T5=32 ,则 a2025=
A. -2 ​2022 B. 22023 C. ±22024 D. 22025
6. 已知 x1,y1,x2,y2 是函数 y=lg2x 图象上两个不同的点,则
A. 2y1+y22x1+x22
C. 2y1+y22x1⋅x2
7. 设球 O 的体积为 V1 ,球 O 的内接圆柱 (圆柱的上、下底面圆周均在球面上) 的体积的最大值为 V2 ,则 V1V2=
A. 2 B. 3 C. 22 D. 23
8. 已知函数 fx 的定义域为 R,fx+2−1 为奇函数， f2x+1 为偶函数，则
A. f−1=−1 B. f1=1 C. f2=−1 D. f4=1
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分。
9. 已知非零实数 a,b,c 满足 a>b>c ,则
A. 1a−cac
C. a3>b3 D. a+b>c
10. 已知函数 fx=sin2x+2sinx ,则
A. fπ−x=fx
B. fx 在 0,π2 上单调递增
C. 当 x∈−π2,0 时, fx∈−2,0
D. fx 在 0,2024π 上有 2025 个零点
11. 在矩形 ABCD 中， AB=23,BC=2 ，沿对角线 AC 将 △ADC 折起，得到三棱锥 D−ABC ，已知 BD=22 ，则
A. 二面角 D−AC−B 的余弦值为 13
B. 三棱锥 D−ABC 的体积为 42
C. 直线 AC 与 BD 所成角为 45∘
D. M∈ 直线 AC,N∈ 直线 BD ,则 MN 的最小值为 2
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知 △ABC 中, BC=4,cs∠ACB=74 ,若满足条件的 △ABC 有两个, 则 AB 的取值范围为_____.
13. 已知 Sn 为数列 an 的前 n 项和,若 Snn 为公差为 2 的等差数列,则 a2025−a2024 的值为_____.
14. 对任意 k∈R ,方程 lnx+12x2−kx−b=0 有且仅有一个实数根,则实数 b 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 fx=3sinx+θ+csx+θ,θ∈0,π 的图象关于 y 轴对称.
(1)求角 θ 的值；
(2)角 α∈−π2,π2,fα=65 ，锐角 β 满足 csα+β=−1213 ，求 sinβ 的值.
16. (本小题满分 15 分)
如图,在四棱锥 P−ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC , AD⊥CD,PA⊥ 平面 ABCD,PA=AD=CD=23BC,PE=ED,PC=3PF .

(1)求证: AE⊥ 平面 PCD ；
(2)已知点 G 是直线 PB 与平面 AEF 的交点，求 PGPB 的值.
17. (本小题满分 15 分)
已知 G 为 △ABC 内一点,满足 CG=13CA+CB,AG⋅BG=0 .

(1)若 AB=2AG ，求 tan∠GAC 的值；
(2)求 cs∠ACB 的最小值.
18.(本小题满分 17 分)
已知函数 fx=lnx+1x .
(1)求函数 fx 的单调区间；
(2)证明: fx>−12x+1 ；
(3)若 fx>ax ，其中 a>0 且 a≠1 ，求实数 a 的值.
19. (本小题满分 17 分)
已知集合 Sn={1,2,⋯,n}n∈N∗ ，设非空集合 A⊆Sn ，记 minA 为 A 中的最小元素， cardA 为 A 中的元素个数. 若集合 A 满足 cardA>minA ，则称 A 是 Sn 的一个“膨胀子集”. 记 Sn 的“膨胀子集”的个数为 cn .
(1)请写出 S3 的“膨胀子集”以及 S5 的含有 5 但不含 1 的“膨胀子集”；
(2)当 n≥3 时，求数列 cn 的递推公式(用 cn−1 ， cn−2 表示 cn )；
(3)求 l=12026−1l−1cl+c2025 的值.