26春人教版2024八年级下册数学21.2.3 三角形的中位线 课件

三角形的中位线R·八年级数学下册四边形学习目标1. 理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 通过对三角形中位线的观察、测量获得猜想，进一步 验证猜想，提高学生合情推理能力和逻辑思维能力．3. 能熟练运用三角形的中位线定理进行证明和计算， 逐步提高学生分析问题和解决问题的能力．新课导入如图，将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友，要求每人分得的形状和大小必须完全相同，该如何分？探索新知 如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE . 像 DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 .∵D，E 分别是边 AB，AC 的中点∴DE 为△ABC 的中位线∵DE 为△ABC 的中位线∴D，E 分别是边 AB，AC 的中点一个三角形有三条中位线.思考：1. 一个三角形有几条中位线？自己试着画一画．分别是DE、DF、EF2. 三角形的中位线和中线一样吗？不一样.三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段.三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段， 观察下图，你能发现 △ABC 的中位线 DE 与边 BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？两条线段的关系位置关系数量关系分析： DE与BC的关系自己画一个三角形量一量 观察下图，你能发现 △ABC 的中位线 DE 与边 BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？∠B =∠ADE 位置关系数量关系DE∥BC同位角相等，两直线平行BC = 6cmDE = 3cm猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．中位线倍长构造全等三角形平行四边形F 如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点. 求证：DE∥BC，且 DE = BC.【思路分析】  证明：如图，延长DE到F，使EF = DE，连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵AE=CE，∠ADE=∠CEF，DE = FE， ∴△ADE≌△CFE. ∴∠A =∠ECF，AD = CF. ∴CF∥AB. ∵BD = AD， ∴CF = BD. ∴四边形DBCF是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DF∥BC（平行四边形的定义）， DF = BC（平行四边形的对边相等）. ∴ DE∥BC，DE= BC.F 如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点. 求证：DE∥BC，且 DE = BC. 证四边形 ADCF 是平行四边形【思路分析】证明：如图，延长 DE 到点 F，使 EF = DE，连接 FC，DC，AF .∵AE = EC，DE = EF，∴四边形 ADCF 是平行四边形.又 D 是 AB 的中点，∴四边形 DBCF 是平行四边形. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.归纳小结几何语言：三角形的中位线定理：可用于证明两直线平行、线段的相等或倍分关系. 提示：例 6求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形.已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点.求证：四边形 EFGH 是平行四边形.证明：连接 AC .∵AH = HD，CG = GD，∴四边形 EFGH 是平行四边形.如图，在 ▱ABCD 中，E 是 AD 的中点，点 F 在 BA 的延长线上， 且 AF ＝ AB，连接 EF，BD.（1）请用无刻度的直尺作出△ABD 中 与 AB 平行的中位线 EG (不写作 法，保留作图痕迹)；G解:如图，EG 即为所求．（2）在（1）的基础上，判断四边形 AGEF 的形状，并说明理由．四边形 AGEF 是平行四边形．理由如下:∵EG 是△ABD 的中位线，  又 EG∥AF，∴四边形 AGEF 是平行四边形．G思维拓展如图，在四边形ABCD中，AB = CD，M，N， P分别是AD， BC，BD的中点，∠ABD = 20°，∠BDC = 70°，求∠PMN的度数．解：∵M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线.∴PM = AB，PN = DC，PM∥AB，PN∥DC.∵AB = CD，∴PM = PN.∴△PMN是等腰三角形.∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD =∠ABD = 20°，∠BPN =∠BDC = 70°.∴∠MPN =∠MPD+(180°−∠NPB) = 130°.∴∠PMN =(180°−130°)÷ 2 = 25°．思维拓展如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD = 12，AC = 16，E，F分别为 AB，CD 的中点，求 EF 的长．G解：取BC边的中点G，连接EG ， FG．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线.又BD = 12，AC = 16，AC⊥BD，∴EG = 8，FG = 6，EG⊥FG.∴∴EG∥AC,FG∥BD,练 习1. 如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点. 以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？ 为什么它们是平行四边形？解：如图，连接 DE，EF，FD. 能在图中画出 3 个平行四边形，分别是▱BEFD，▱DECF，▱DEFA.理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.【选自教材第65页 练习 第1题】2. 如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是 OB，OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形.证明：∵BD，CE 是 △ABC 的中线，∴D，E 分别是 AC，AB 的中点，∴DE 是 △ABC 的中位线.∵F，G 分别是 OB，OC 的中点，∴FG 是 △OBC 的中位线，∴四边形 DEFG 是平行四边形.【选自教材第65页 练习 第2题】3. 如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点C，连接 AC 和 BC. 怎样利用三角形的中位线定理测出 A，B 两点间的距离？解：如图，分别取 AC，BC 的中点 D，E，连接 DE，并量出 DE 的长，则 AB = 2DE.根据：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（方法不唯一）【选自教材第65页 练习 第3题】课堂小结这节课有什么收获呢？三角形中位线定理定义课后作业请完成对应课时作业。