2025-2026 专题01 一元二次方程（期末复习知识清单+针对训练题）九年级数学上学期人教版（没有答案）

这是一份2025-2026 专题01 一元二次方程（期末复习知识清单+针对训练题）九年级数学上学期人教版（没有答案），共20页。

【清单01】一元二次方程的概念
一元二次方程
【清单02】一元二次方程的解法
解法
【清单03】一元二次方程的判别式
【清单04】二次三项式的因式分解
步骤：
【清单05】一元二次方程的应用题
一般步骤：
【题型一】一元二次方程的定义
【典例1】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）下列方程中关于x的一元二次方程是（ ）
A．ax2+bx+c=0B．x2−2y−1=0C．x2−xx−2−1=0D．x2−2x−3=0
【变式1】（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于x的方程m−1xm+1+mx−1=0是一元二次方程，则（ ）
A．m=1B．m≠1C．m=−3D．m=1或m=−3
【变式2】（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，①3x2+x=20，②2x2−3xy+4=0，③x2−1x=4，④x2=0是一元二次方程的是（ ）
A．①②B．①②④C．①③④D．①④
【题型二】一元二次方程的一般形式
【典例2】（24-25九年级上·福建漳州·期末）方程3x2=2−5x化成一般形式是 ．
【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）方程x2−4x−7=0的一次项系数是（ ）
A．1B．2C．−4D．−7
【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·期末）一元二次方程9x2=5−4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）．
A．9，5，−4B．9，4，−5C．9，−5，4D．9，−4，5
【变式3】（24-25九年级上·广东河源·期末）把一元二次方程x2x−1=4x化成一般式，则a,b,c的值分别是 （ ）
A．1，4，1B．2，−5，0C．3，4，0D．−2，−5，1
【题型三】一元二次方程的解
【典例3】（24-25九年级上·江西南昌·期末）若x=1是方程x2−bx−2=0的一个解，则b的值为（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程x2−x+3=0的一个根，则2019−m2+m的值为（ ）
A．2023B．2022C．2020D．2019
【变式2】（24-25九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程x2−4=0成立的x的值为（ ）
A．1B．2C．4D．16
【变式3】（24-25九年级上·广西北海·期末）若x=1是关于x的一元二次方程x2−mx=0的一个根，则m的值为( )
A．2B．−2C．1D．−1
【题型四】解一元二次方程-配方法
【典例4】（24-25九年级上·河南周口·期末）用配方法解一元二次方程x2−8x+8=0，此方程可变形为（ ）
A．x−42=4B．x+42=4C．x−42=8D．x+42=8
【变式1】（24-25八年级下·云南昆明·期末）用配方法解方程x2+4x−11=0时，若将方程变形为x+m2=n，则m+n=（ ）
A．18B．20C．19D．17
【变式2】（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：x2−4x=96．
【变式3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解方程：x+3x+7=−2．
【题型五】解一元二次方程-公式法
【典例5】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）解方程：3x2−8x+3=0．
【变式1】（24-25八年级下·河北张家口·期末）若x=2+4−4×(−1)2是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A．x2−2x−1=0B．x2+2x−1=0
C．x2+2x+1=0D．x2−2x+1=0
【变式2】（24-25九年级上·北京海淀·期末）解方程：x2−4x−6=0．
【题型六】解一元二次方程-因式分解法
【典例6】（24-25八年级下·北京平谷·期末）解方程：
(1)2x2=3x (2)x2−6x−16=0
【变式1】（24-25九年级上·四川泸州·期末）方程xx+2=3x+2的根是（ ）
A．x=3B．x=−2
C．x1=−2，x2=3D．x1=−3，x2=2
【变式2】（24-25八年级下·广西梧州·期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号maxa,b表示a，b中的较大值，如：max2,4=4，max−2,−4=−2等等；按照这个规定，若max−1,5=x2−3x−5，则x的值是（ ）
A．5B．5或−2C．5或3D．3或0
【变式3】（24-25九年级上·河南商丘·期末）若二次三项式x2+mx−n可以分解为x+3x−7，则方程x2+mx−n=0的两根为（ ）
A．3和7B．−3和−7C．3和−7D．−3和7
【变式4】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）解方程：x2+6x−7=0．
【题型七】用适当的方法解方程
【典例7】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）用适当的方法解关于x的一元二次方程：
(1)x2−2x−1=0 (2)xx−3+x−3=0
【变式1】（23-24九年级上·云南昆明·期末）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)x2+4x=0； (2)2x2+3x+1=0．
【变式2】（23-24九年级上·河南商丘·期末）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)x4x−1=9−x； (2)x2−6x−16=0．
【变式3】（23-24九年级上·重庆綦江·期末）用适当方法解下列方程：
(1)x2−6x−3=0； (2)2x−22=3x−2．
【题型八】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况
【典例8】（25-26九年级上·河南·期末）关于x的一元二次方程x2−2x=−1的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【变式1】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）一元二次方程3x2+4x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程x2+kx−2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【变式3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：m*n=m2−mn−3，例如：2*3=22−2×3−3=−5，则关于x的一元二次方程x*3=1的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．没有实数根
C．有实数根D．有两个不相等的实数根
【题型九】根据一元二次方程根的根的情况求参数
【典例9】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤1B．m1
【变式1】（24-25九年级上·广东梅州·期末）若一元二次方程 x²+mx+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2B．±2C．±8D．±2
【变式2】（24-25八年级下·重庆江北·期末）若关于x的一元二次方程x2+x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>14B．k≥14C．k0）．
(1)当t为何值时，PQ的长度等于10cm？
(2)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【变式2】（22-23九年级上·广东东莞·期末）在△ABC中，∠C=90°，AC=32，BC=16，一动点P从点C出发沿C→B方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿A→CC方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，△PCQ是等腰直角三角形？
(2)当S△PCQ=14S△ABC时，求t的值；
(3)在运动过程中，线段PQ能平分△ABC的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【题型一】根据一元二次方程根的情况求参数
1．（22-23九年级下·辽宁本溪·开学考试）如果关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0有两个实数根，那么k的取值范围是 ．
2．（24-25九年级上·四川成都·期末）若关于x的一元二次方程mx2−2x+3=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【题型二】一元二次方程应用-增长率问题
1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）某商店销售美味的靖远羊肉，去年第二季度的总利润达13902元，4月的利润为4200元．设该商店5，6月销售羊肉利润的月平均增长率为x，则可列出方程为（ ）
A．42001+x2=13902B．42001+x+42001+x2=13902
C．42001+x%2=13902D．4200+42001+x+42001+x2=13902
2．（24-25九年级上·重庆·期末）据报道，某人工智能科技公司2023年的年利润为500万元，由于其在技术研发和市场拓展方面的持续投入，该公司的年利润逐年增长，到2025年的年利润预计将达到720万元，设该公司这两年年利润的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5001+x2=720
B．5001+2x2=720
C．5001+x+5001+x2=720
D．500+5001+x+5001+x2=720
【题型三】一元二次方程应用-几何面积问题
1．（25-26九年级上·北京·开学考试）列方程解决实际问题：
某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
(1)BC=_________米（用含x的代数式表示）；
(2)若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽AB．
2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用34m长的栅栏围一个矩形羊圈ABCD和一个边长为1m的正方形狗屋CEFG（图中阴影部分为羊的活动范围）．设AB=xm．
(1)BC的长为___________m；（用含x的代数式表示）
(2)若羊的活动范围的面积为95m2，求AB的长；
(3)羊的活动范围的面积能否为130m2？若能，求出此时AB的长；若不能，请说明理由．
【题型四】一元二次方程应用-经济问题
1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为180件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件．
(1)请写出y与x的函数关系式．
(2)商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？
2．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）2024“夏爽中原老家河南”全省户外运动旅游产品宣传推广活动在新乡八里沟景区启动，现场发布了徒步、蹦极、露营、戏水等河南省户外运动产品主题旅游线路．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以任满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．
(1)填表（不需化简）：
(2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用）
【题型五】一元二次方程应用-动态几何问题
1．（22-23九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为xs，求：

(1)当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
(2)当x为何值时，△PBQ的面积为5cm2；
(3)当x为何值时，△PDQ为等腰三角形．
【题型一】一元二次方程的解法——直接开平法
·适用方程形式：当方程可化为或（）的形式时，可直接通过开平方求解.
·求解方法：
（1）若，则（时无实数根）；
（2）若，则，再解一元一次方程.
【题型二】一元二次方程的解法——配方法
在方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式；
【题型三】一元二次方程的解法——因式分解法
把ax²+bx+c=0可化成(ax+b)(cx+d)=0，口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
【题型四】一元二次方程的解法——公式法
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：x=−b±b2−4ac2a；
4）最后求出x1，x2。
【题型五】一元二次方程根的判断
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③时，方程无实数根，反之亦成立
【题型六】一元二次方程的根与系数关系
根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
【题型七】一元二次方程的应用-变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b
【题型八】一元二次方程的应用-握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。
赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。
【题型九】一元二次方程的应用-每每问题
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量
入住的房间数量
房间价格
总维护费用
提价前
60
200
60×20
提价后
__________
__________
__________