专题21.18 《一元二次方程》全章复习与巩固（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题21.18 《一元二次方程》全章复习与巩固（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题21.18 《一元二次方程》全章复习与巩固（专项练习）
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
2．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2＋bx﹣1＝0的一个根，则2021﹣2a＋2b的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2022 D．2023
3．关于x的方程ax23x21是一元二次方程，则a的取值范围为（ ）
A．a0 B．a＞0 C．a0 D．a＞1
4．用配方法解一元二次方程时，配方后得到的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．已知、、4分别是等腰三角形三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于（ ）
A．6 B．7 C．-7或6 D．6或7
7．一元二次方程的解是（ ）
A． B．， C．， D．无实数解
8．如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图"，四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，若，则AB的长为（ ）

A． B． C．3 D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（ ）

A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
10．已知，是一元二次方程两个根，则的值为（ ）
A． B．． C． D．
11．如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题
12．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____．
13．方程的两个根为、，则的值等于______．
14．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝_____．
15．一元二次方程x2＝2x的解为________．
16．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于_____．
17．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第____象限．
18．已知关于的方程，，均为常数，且的两个解是和，则方程的解是____．
19．已知a，b是方程x2+（m+2）x+1=0的两根，则（a2+ma+1）（b2+mb+1）的值为_____．
20．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，则这个两位数是________．

三、解答题
21．选择适当方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2 （2）3x（x﹣1）＝2﹣2x


22．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．


23． 关于x的方程x2﹣ax+a+1＝0有两个相等的实数根，求的值．


24．如图，在宽为40 m，长为64 m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为2418 m2，则道路的宽应为多少？







25．如图，，，C、B、D在同一条直线上．

（1）若，，连接，求的长．
（2）如图设a、b、c是和的边长，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾股方程”．
①写出一个“勾股方程”；
②判断关于x的“勾股方程”根的情况并说明理由；
③若是“勾股方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．

26．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
，且，
当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）若，则的值是______________；
（2）求证：无论取何值，二次根式都有意义；
（3）若代数式的最小值为2，求的值．


27．某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求的值．



28．如图，在中，，点从点开始沿边向点以/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以/秒的速度移动．

（1）如果、分别从、同时出发，几秒后是等腰三角形？
（2）如果、分别从、同时出发，几秒后的面积等于？
（3）如果、分别从、同时出发，四边形的面积是面积的三分之二？

参考答案
1．A
【分析】
利用一元二次方程定义进行解答即可．
解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，故此选项不符合题意；
D、不是等式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．A
【分析】
将x＝﹣1代入方程得出a﹣b＝1，再整体代入计算可得．
【详解】
解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣1＝0，
则a﹣b＝1，
所以原式＝2021﹣2（a﹣b），
＝2021﹣2×1，
＝2021﹣2，
＝2019，
故选：A．
【点拨】
本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求解，准确计算是解题的关键．
3．C
【分析】
本题根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得a≠0，即可求得a的取值范围．
【详解】
解:∵ax2-3x+2=1是一元二次方程
∴a≠0
故选C
【点拨】
一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．
4．B
【分析】
根据配方法即可求出答案．
【详解】
解：∵x2+6x-5=0，
∴x2+6x=5，
∴x2+6x+9=5+9，
∴（x+3）2=14，
故选：B．
【点拨】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
5．A
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
当a=3时，，故选项A符合题意；
当a=2时，，故选项B不符合题意；
当a=1时，，故选项C不符合题意；
当a=0时，，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点拨】
本题考查了根的判别式求字母的值，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6．D
【分析】
当a＝4或b＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当a＝b时，即△＝（−6）2−4×（k＋2）＝0，解方程即可得到结论．
【详解】
解：∵a、b、4分别是等腰三角形三边的长，
∴当a＝4或b＝4时， 即：42−6×4＋k＋2＝0，解得：k＝6，
此时，的两个根为：x1=2，x2=4，符合题意；
当a＝b时，即△＝（−6）2−4×（k＋2）＝0，解得：k＝7，
此时，的两个根为：x1=x2=3，符合题意；
综上所述，k的值等于6或7，
故选：D．
【点拨】
本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，进行分类讨论，是解题的关键．
7．C
【分析】
利用因式分解法求解即可得出答案．
【详解】
解：∵x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
故选：C．
【点拨】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
8．B
【分析】
由题意可设，则有，进而可得，然后根据勾股定理可建立方程进行求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，，
∴，四边形AEMH是矩形，
∴AH=EM，HM=AE，
∵，
∴，
由可设，
∴，
∴，
∵BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，
∴，即，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
故选B．
【点拨】
本题主要考查正方形的性质、一元二次方程的解法及勾股定理，熟练掌握利用正方形的性质、勾股定理及方程思想进行求解问题是解题的关键．
9．D
【分析】
先证四边形PMEN是平行四边形，当∠APB=90°时，四边形PMEN是矩形，设DP=x，CP=10-x，再由勾股定理得出方程，分别计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，
∴ME、NE是△ABP的中位线，
∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，
设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，
AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，
x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，
x＝2或x＝8，符合题意；
③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，
x＝5，符合题意；
④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；
故选：D．
【点拨】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
10．A
【分析】
根据根与系数的关系，，在原方程中找到一元二次方程的系数 a、b、c就可以求出的值即可．
【详解】
解：∵，是一元二次方程两个根，
∴由根与系数的关系得，，，
∴，
故选：A．
【点拨】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟悉相关性质是解题的关键．
11．B
【分析】
根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：(风景画的长+2个纸边的宽度)×(风景画的宽+2个纸边的宽度)=整个挂图的面积，由此可得出方程．
【详解】
依题意，设金色纸边的宽为，则：
，
整理得出：．
故选：B．
【点拨】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
12．﹣2
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入x2＋mx＋2n＝0得到4＋2m＋2n＝0得n＋m＝−2，然后利用整体代入的方法进行计算．
【详解】
∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0的一个根，
∴4＋2m＋2n＝0，
∴n＋m＝−2，
故答案为−2．
【点拨】
本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
13．3．
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.
【详解】
解：根据题意得，，
所以===3．
故答案为3．
【点拨】
本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．
14．-或1
【详解】
试题分析：设a+b=x，则由原方程，得
4x（4x﹣2）﹣8=0，
整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，
分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，
解得：x1=﹣，x2=1．
则a+b的值是﹣或1．
考点：换元法解一元二次方程．
15．x1＝0，x2＝2
【详解】
试题分析：移项得x2-2x=0，即x（x-2）=0，解得x=0或x=2．
考点：解一元二次方程
16．0或16．
【分析】
利用韦达定理，把a消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，再求解这个对称的不定方程即可．
【详解】
设两个根为x1，x2，且x1≥x2．
由韦达定理得：，
从上面两式中消去a得：
x1x2+x1+x2=6，∴（x1+1）（x2+1）=7，∴或或，∴a=x1x2=0或16．
故答案为0或16．
【点拨】
主要考查了求解为整数的二次方程的系数问题；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解答本题的关键．
17．四．
【分析】
由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a的取值范围可得出a+1＞0，-a-3＜0，进而可得出点P在第四象限，此题得解．
【详解】
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且．
∴，，
∴点在第四象限．
故答案为四．
【点拨】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
18．，
【分析】
先根据题意得出或，再将变形为：，进而根据或计算即得．
【详解】
∵关于的方程，，均为常数，且的两个解是和
∴或
∵
∴
∴或
∴或
故答案为：，
【点拨】
本题是求解含参一元二次方程，主要考查换元法，解题关键是发现已知方程和未知方程的共同特点．
19．4．
【分析】
可以将代数式（a2+ma+1）（b2+mb+1）变形为含有两根和、两根积的形式，再利用根与系数的关系，将两根和、两根积的值代入即可求得．
【详解】
∵a，b是方程x2+（m+2）x+1=0的两根，∴a+b=﹣（m+2），ab=1，
a2+（m+2）a+1=0，b2+（m+2）b+1=0，∴a2+ma+1=﹣2a，b2+mb+1=－2b，∴（a2+ma+1）（b2+mb+1）=（﹣2a）•（﹣2b）=4ab=4×1=4．
【点拨】
本题主要考查了根与系数的关系以及方程的解的含义，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
20．24
【解析】
分析：分析题目可以知道，本题存在了两个等量关系，即：个位上的数字-十位上的数字=2；十位上的数字×个位上的数字×3=这个两位数的值，根据这两个等量关系，列方程求解．
详解：设个位数字为x，则十位上的数字是（x-2），根据题意得
3x（x-2）=10（x-2）+x，
整理，得3x2-17x+20=0，即（x-4）（3x-5）=0，
解得 x1=4，x2= （不合题意，舍去），
则x-2=4-2=2，
答：这两位数是24．
故答案为：24．
点拨：解决此类问题的关键在于找出，题目中所提到的等量关系，得出方程求解，注意用字母表示数的正确方法．
21．(1)x1＝0，x2＝；(2)x1＝1，x2＝﹣．
【分析】
(1)将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据平方差公式进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,(2) 将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据提公因式法进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,
【详解】
(1)3x﹣1＝±(x﹣1),
即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),
所以x1＝0,x2＝；
(2)3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,
(x﹣1)(3x+2)＝0,
x﹣1＝0或3x+2＝0,
所以x1＝1,x2＝﹣．
【点拨】
本题主要考查因式分解法解一元二次方程,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法.
22．（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．
【分析】

（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】

（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,
x=-1有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0
方程有两不等根
综合①②得不论k为何值，方程总有实根
（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=
∴S=++ x1+x2
=
=
=
=
=2k-2=2，
解得k=2，
∴当k=2时，S的值为2
∴S的值能为2，此时k的值为2．
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
23．-
【分析】
根据根的判别式得到△=（﹣a）2﹣4（a+1）=0，即a2﹣4a=4，再将所求代数式化简为，
然后整体代入计算即可.
【详解】
解：∵关于x的方程x2﹣ax+a+1=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（﹣a）2﹣4（a+1）=0，
∴a2﹣4a=4，
，
∴原式=﹣=﹣．
【点拨】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，解此题的关键在于根据根的判别式得到关于a的方程，再化简所求代数式，然后整体代入求解即可.
24．道路的宽应为1 m.
【解析】
分析：根据题意，设道路的宽为xm，根据矩形的面积找到等量关系，列方程求解即可.
详解：解：设道路的宽应为x m，则(64－2x)(40－x)＝2418，
整理，得x2－72x＋71＝0，
解得x1＝1，x2＝71(不合题意，舍去)．
答：道路的宽应为1 m.
点拨：此题主要考查了一元二次方程几何问题中的应用，分清矩形的特点，确定矩形的面积是解题关键，注意解出来的结果要符合实际情况.
25．（1）（2）①②关于x的“勾股方程”必有实数根，理由见解析．③
【分析】
（1）由Rt△ABC≌Rt△BED，知BD=AC=1，DE=BC= ∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD，再证AB=BE=，∠ABE=90°，利用勾股定理可得答案；
（2）①直接找一组勾股数代入方程即可；②通过判断根的判别式△的正负来证明结论；③利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．
【详解】
解：（1）∵Rt△ABC≌Rt△BED，
∴BD=AC=1，DE=BC= ∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD，
∴AB=BE=，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE=

（2）①当a=3，b=4，c=5时，勾股方程为为
②关于x的“勾股方程”必有实数根，
理由如下：根据题意，得：
∵
∴
即△≥0，
∴勾股方程必有实数根；
③当时，有
即
∵四边形的周长是，
即
∴
∴c=3，
∴
∵

∴
∴=
【点拨】
本题是四边形的综合问题，考查勾股定理的应用、一元二次方程的根的判别式、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）把右边化简，求出a和b的值，进而可求出ab的值；
（2）把被开方数配方，即可证明结论成立；
（3）把所给代数式配方，根据代数式的最小值为2，得出关于k的方程，然后解方程即可．
【详解】
（1）∵，
∴，
∴2a=4，a2+b=-1，
∴a=2，b=-5，
∴ab=
（2）证明：，
又，，
无论取何值，的值都是正数，∴无论取何值，二次根式都有意义．
（3）原式，
，
，
，
．
【点拨】
本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．也考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程的解法．
27．（1）该小区有250套80平方米住宅；（2）的值为50.
【分析】
（1）设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，根据物管费90000元，可列方程求解；（2）50平方米住宅有500×40%=200户参与活动一，80平方米住宅有250×20%=50户参与活动一；50平方米住宅每户所交物管费为100（1- a%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为160（1-a%）元，有50（1+6a%）户参与活动二.根据参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，列出方程求解即可.
【详解】
（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套.
由题意得知：
解得
答：该小区有250套80平方米住宅.
（2）
参与活动一：
50平方米住宅每户所交物管费为100元，有套参与活动一，
80平方米住宅每户所交物管费为160元，有套参与活动二，
参与活动二：
50平方米住宅每户所交物管费为元，有套参与活动一；
80平方米住宅每户所交物管费为元，有50套参与活动二；
由题意得：

令.
化简得：.
解得：（舍去），
（舍去）
答：的值为50.
【点拨】
本题是一元二次方程的综合应用题，数据较多，分析清楚题目中相关数据，根据等量关系列出方程是解题的关键.
28．（1）2秒；（2）3秒；（3）2秒
【详解】
试题分析：（1）由图知，，若要是等腰三角形，则必定是两直角边相等，设好时间后构造方程求解即可；（2）根据直角三角形面积计算公式构造方程求解即可；（3）四边形面积不易计算，但可转化为两个直角三角形和的面积关系，再代入直角三角形面积公式计算.
试题解析：（1）且是等腰三角形 必定是
设经过秒后，则，，，
2秒后是等腰三角形.
（2）
解得（舍）
3秒后的面积等于.
（3）
解得（舍）
2秒后四边形的面积是面积的三分之二.
考点：1.动点的处理；2.直角三角形的性质；3.解一元二次方程.