江苏省扬州市2025-2026学年上学期九年级数学12月月考模拟测试卷

这是一份江苏省扬州市2025-2026学年上学期九年级数学12月月考模拟测试卷，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每题3分，共24分）
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，0，B．2，，0C．2，3，0D．2，0，3
2．某班开展了法律知识竞赛．现随机抽取5名同学成绩进行分析，依次为：94，97，96，97，95，则这组数据的中位数、众数分别是（）
A．94，97B．97，97C．97，96D．96，97
3．某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明随机选择其中一种营养套餐，则他恰好选到A营养套餐的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．已知是成比例线段，其中，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在平面直角坐标系中，与是以O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的坐标是（ ）
B．C．D．

第5题 第6题 第7题
6．如图，是圆O的直径，弦，，，则圆O的半径是（ ）
A．B．2C．4D．
7．如图1，在中，，，.动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示，则下列正确的是（ ）
A．B．时，为直角三角形
C．D．时，面积最大
8．在平面直角坐标系中，已知抛物线．和是抛物线上的两点．若对于，都有，则的取值范围为（ ）
A．或 B． C．或 D．
二、填空题（每题3分，共30分）
9．抛物线的顶点坐标是 ．
10．一组数据，，，，的众数为 ．
11．计算： ．
12．已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积为，则它的母线长为 ．
13．如图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是 m．

14．如图，四边形是的内接正方形，若是上一点，则 °．

第13题 第14题 第15题
15．如图，在中，是直径，于点，，则的度数为 °．
16．如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为 ．

第16题 第17题 第18题
17．如图，在中，若，的直径等于4，则的长为 ．
18．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．以下结论：①；②；③；④若为任意实数，则，其中正确的结论有 ．
三、解答题
19．（8分）解方程：(1) (2)
20．（8分）疫情期间，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式：网上自测，网上阅读，网上答疑，网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了 名学生；在扇形统计图中，的值是 ，对应的扇形圆心角的度数是
(2)请补全条形统计图；
(3)若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式的学生人数．
21．（8分）在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标；
(2)以原点为位似中心，在第三象限内画出的
一个位似，使它与的位似比为2：1．
22．已知关于的一元二次方程．
(1)当时，求该一元二次方程的解；
(2)若方程有两个不等实数根且满足，求的值．
23．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．
求证：；(2)求证：．
24．如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角，求铁塔的高度（精确到）（参考数据）
25．某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个．
(1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率；
(2)若此种头盔的进价为300元每个，测算在市场中，当售价为400元每个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元每个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？
26．如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，交于点，且平分．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，
①求的直径；②求阴影部分的面积．
27．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点．
(1)请直接写出点，点的坐标；
(2)点是第二象限抛物线上一点，若是等腰三角形，求点坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移，得到抛物线，抛物线的顶点的对应点是点，两抛物线交于点，过点作一条直线与两个抛物线分别交于，两点（点在点左边），试探究点Q，E，F的横坐标，，之间的数量关系，并说明理由．
28．在中，，点D为斜边上的动点（不与点A，B重合）．
(1)【操作发现】如图①，当时，把线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，．和有什么关系？请写出你的探究过程；（温馨提示：关系包括数量关系和位置关系）
(2)【探究证明】如图2，当时，把线段绕点C逆时针旋转后并延长为原来的两倍，记为线段．在点D的运动过程中，探究线段与线段的关系；（温馨提示：关系包括数量关系和位置关系）
(3)【问题解决】如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点，且，，，请直接写出线段长的最大值及此时点P的坐标．
《江苏省扬州市2025-2026学年上学期九年级数学期末模拟测试卷2（范围：九上、九下）》参考答案
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式，直接识别二次项系数、一次项系数和常数项，即可作答．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是2，，0，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了求中位数与众数；中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间的值；众数是数据中出现次数最多的值．
【详解】解：将数据从小到大排序：，，，，．
数据个数为，是奇数，
中位数是第个数，即．
出现次，其他数字均出现次，
众数为．
因此中位数和众数分别为和．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查概率公式，直接利用概率公式求解．
【详解】解：∵ 总共有4种套餐，小明随机选择一种，
∴ 总可能数为4，
∵ 选到A套餐的有利数为1，
∴ 概率为．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查比例线段的计算，根据比例线段得出对应比例关系是解题的关键．根据成比例线段的定义，有 ，从而 ，代入已知值计算出的值即可．
【详解】解：∵ ， ，，是成比例线段，
∴，即 .
∵，
∴ ,
解得，
即线段d的长度为
故选：B．
5．C
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或根据位似图形的概念得到，根据点B、D的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：与是以O为位似中心的位似图形，
，
∵，，
与的相似比为，
点B的坐标为，
点D的坐标是，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
先根据垂径定理得到，，再利用圆周角定理得到，然后根据含度的直角三角形三边的关系结合勾股定理求解．
【详解】解：如图，记于点E．
∵弦直径，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵在中，，
即，
∴．
故选：C
7．C
【分析】观察图像可知，当时，点P与点B重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出m的值为8，故A选项错误；根据图像当时，此时，，过P点作于D点，根据面积公式求得，证明，列出比例式求得，进而可得 ，故C选项正确；当时，可得，， ， ．由列出比例式求得，，则可得，．由勾股定理的逆定理可得不是直角三角形，故B选项错误；求出S与t的关系式为，则可得当时，，故D选项错误．
本题考查动点的函数图像，相似三角形的判定和性质，从函数图像中有效的获取信息，是解题的关键．
【详解】解：观察图像可知，当时，点P与点B重合，
∵动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出发，
∴，
∵，
∴，
故A选项错误；
由图像可知，当时，此时，，
过P点作于D点，如图，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴P点是的中点，
∴，
∴，
故C选项正确；
当时，，， ， ，
∵，
∴，
解得，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴不是直角三角形，
故B选项错误；
由题意得，，
∵，
∴，
解得，
∴，
当时，，
故D选项错误．
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．先确定对称轴，再分、两种情况，分别根据二次函数的性质列不等式求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
∴①若，则时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
对于，，都有，
，
，
，
，
，
；
②当时，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
设抛物线上的点关于直线的对称点为
对于，，都有，
，
．
综上，或．
故选：A．
9．
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据抛物线的解析式为进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴此函数的顶点坐标为．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了众数的定义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，通过比较各数据出现次数即可确定众数．
【详解】解：数据，，，，中，出现次，出现次，出现次，出现次，
因此出现次数最多，故众数为．
故答案为．
11．1
【分析】本题考查了绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算，正确的运算是解题的关键．
先计算绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂，然后进行加减运算．
【详解】解：原式 =
，
故答案为：．
12．6
【分析】本题考查圆锥的侧面积公式，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
根据圆锥侧面积公式，已知底面半径，面积，代入求出的值即可．
【详解】解：∵圆锥侧面积公式 ，
由底面半径 ，侧面展开图的面积 ，
得，
解得 ，
故答案为：．
13．3
【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度问题，牢记坡度的定义是解题的关键．根据题意可得∶在中，，从而可得，进行计算即可解答．
【详解】解：滑坡的坡度是，
在中，．
，
．
故答案为：3．
14．45
【分析】连接，，根据同弦所对的圆周角与圆心角的关系求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
∵正方形内接于，
∴=，
∴．
故答案为45．
15．23
【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握其定理是解题的关键．
根据可求出，根据余角的性质，求得，再根据圆周角定理，求出的度数即可．
【详解】解：
故答案为：23．
16．/
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据相似三角形的判定和性质解题即可．
【详解】解：在与中，
∵，，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵、分别是与对应角、的平分线，
∴，
∴．
故答案为：
17．2
【分析】本题考查圆周角定理和直角三角形的性质，熟练运用圆周角定理是解题关键．
根据圆周角定理可得，结合是直径，故是含的直角三角形，从而．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
在直角中，，
∴．
故答案为：2．
18．①②③
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①；由抛物线与x轴交点及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得时，进而判断②；当时，，求出，再根据抛物线与轴的交点位置可判断③；根据二次函数最值即可判断④，即可得出结论．
【详解】解：根据图象可得，，，
对称轴为，
，即，
，故①正确；
根据二次函数的图象与轴交于点，
可得二次函数的图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，故②正确；
根据二次函数与轴的交点在与之间，可得，
当时，，
即，
，
解得，故③正确；
当时，有最大值，
因此对于任意实数，，
∴，故④错误；
∴正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解法，公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可；
（2）根据公式法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可．
【详解】（1）解：
，
∴；
（2）解：，

方程有两个不相等的实数根，
即 ．
20．(1)50，，
(2)见解析
(3)该校最喜欢方式的学生约有400人
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，也考查了用样本估计总体．
（1）用的人数除以的百分比即可；用的人数除以样本容量即可；用的人数除以样本容量得到百分比再乘以；
（2）用样本容量减去、、的人数，求出的人数补全统计图即可；
（3）用2000乘以的百分比即可．
【详解】（1）解：（人），
，即
故答案为：50，，
（2）（人），
补全条形统计图如下：
（3）（人）
答：该校最喜欢方式的学生约有400人．
21．(1)图见解析，
(2)见解析
【分析】本题考查坐标与位似图形，掌握位似图形的性质，是解题的关键．
（1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的对应坐标；
（2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可．
【详解】（1）解：点的位置，如图所示，由图可知：；
（2）如图，即为所求．
22．(1)，
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系等知识，解题的关键是∶
（1）把代入方程，如何根据因式分解法求解即可；
（2）先根据根的判别式求出m的取值范围，再根据根与系数的关系得出，，再把变形为，整体代入得出关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：当时，原方程为，
，
或，
∴，；
（2）解：∵方程有两个不等实数根，
∴，
∴，
由根与系数的关系，得，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
又，
∴．
23．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 即可；
（）由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．铁塔的高度为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作于E，由题意可知，，解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于E，
由题意可知：，，
在中，，
在中，，
∴，
答：铁塔的高度为．
25．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔的实际售价应定为每个元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
设该品牌头盔的实际售价为每个元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意得：，
，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）设该品牌头盔的实际售价为元/个，
，，
尽可能让顾客得到实惠，
答：该品牌头盔的实际售价应定为每个元．
26．(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形的面积等，正确作出辅助线是解题的关键．
（）连接，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，得到，即可求证；
（）①连接，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解；②连接，可得是等边三角形，即得，得到，再根据解答即可求解；
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴直线是的切线；
（2）解：①如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∵平分，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴的直径是；
②如图，连接，
由（）知，，
∴四边形是直角梯形，
又由①可得，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
27．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）将代入抛物线，即可得到其与轴交点，将二次函数转化为，即可得到其顶点坐标；
（2）分别以两点为圆心，以长为半径画圆，交抛物线于，作的垂直平分线交抛物线于点，交于点，结合点是第二象限抛物线上一点， 那么当点只有在点位置时，才符合题意使得是等腰三角形，过作轴，过点作轴，然后证明在的垂直平分线上，接着求得点坐标，求得直线表达式，联立直线与抛物线，即可得到点；
（3）先求得直线：，不妨设，那么抛物线的表达式为，联立两抛物线，求得，再设直线的表达式为：，分别联立直线和抛物线，得到， ，那么，结合，即可得到三者关系．
【详解】（1）解：将代入，得，解得，
∴，
∵，
∴其顶点坐标为，
∴点坐标为；
（2）解：∵，，是抛物线的顶点，
∴，
过作轴，过点作轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
分别以两点为圆心，以长为半径画圆，交抛物线于，作的垂直平分线交抛物线于点，交于点，如图所示：

∵点是第二象限抛物线上一点，
∴当点只有在点位置时，才符合题意题意使得是等腰三角形，
∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴在线段的垂直平分线上，
设直线的表达式为，代入，，
，解得，
∴直线的表达式为，
联立，解得，
∵点是第二象限抛物线上一点时，
∴点的横坐标，
∴，
∴；
（3）解：设直线的表达式为，代入，，
，解得，
所以直线的表达式为，
不妨设，那么抛物线的表达式为，
联立，解得，
∴，
∴
设直线的表达式为，代入，
那么有，
∴，
∴直线的表达式为：，
联立直线和抛物线，
，
整理得，
∴，
联立直线和抛物线，
，
整理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的平移，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
28．(1)，，理由见解析
(2)，，理由见解析
(3)的最大值为，
【分析】本题考查几何变换综合应用，等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）证明，即可得，，然后结合三角形内角和定理可出，则；
（2）证明，可得，，故，然后结合三角形内角和定理可出，则；
（3）连接，把线段绕点P顺时针旋转得到，连接，，证明，得出，则线段的最大值就是线段的最大值，根据，得当N、A、B三点共线，且N在的延长线上时，最大，即最大，最大值为，如图，过P作轴于H，根据直角三角形的性质求出，即可求解．
【详解】（1）解：，，
理由：线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：，，
理由：，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，把线段绕点P顺时针旋转得到，连接，，
则，，
，，
又，
，
，
，，
，
又
，
当N、A、B三点共线，且N在的延长线上时，最大，即最大，最大值为，
如图，过P作轴于H，
，
．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
B
D
A
B
C
C
C
A