浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2025-2026学年高一上学期12月联考数学卷试卷（Word版附解析）

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命题学校：金陵高中 审题学校：昌硕高中
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求解方程与不等式得集合，再由交集定义即得.
【详解】因，
，
则.
故选：D.
2. 若，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次根式的性质求解.
【详解】，，，
.
故选：B.
3. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性和零点存在定理即可判断.
【详解】因函数与均在上为增函数，则在上为增函数,故该函数至多有一个零点，
又,由零点存在定理，可得该函数的零点所在的区间为.
故选：B.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用作差法得，当且仅当时等号成立，根据充要条件的判定方法即得结论.
【详解】由，可知当且仅当时等号成立，
故由可得，即；充分性成立；
而由只能推得，如，满足，但不满足，即必要性不成立.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 是第（ ）象限角
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】C
【解析】
【分析】利用终边相同的角求解.
【详解】，与的终边相同，
的终边在第三象限，是第三象限角.
故选：C.
6. 函数的大致图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性及其图象与轴交点个数，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
，即函数为奇函数，排除C选项，
由得或，即函数的图象有且只有三个交点，排除AB选项，
故选：D.
7. 设，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性，对数函数的单调性及中间值法求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：C.
8. 已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由和得到，整理得到，构造函数，从而得到，即在上是单调递增函数，由是定义在上的偶函数，得到是偶函数，再结合已知可将原不等式转化为，然后利用函数的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】，，
，，
，
设，，
，在上是单调递增函数，
是定义在上的偶函数，，
是偶函数，
，，
，，
，
，
是偶函数，，
转化为，
在上是单调递增函数，
转化为，，，
满足的实数的取值范围为.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C. “”是“”充分不必要条件
D. 命题“”是真命题
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由立方根可判断；对于B，利用配方法可确定恒成立；对于C，先解不等式，再根据充分不必要条件判定即可；对于D，解出方程即可判断．
【详解】对于A，由，故成立，故A正确；
对于B，，
不等式的解集为，故B正确；
对于C，不等式，解得或，
“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，方程，解得，
则命题“”是假命题，故D错误．
故选：ABC．
10. 对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数有且只有个不动点
B. 函数有且只有个不动点
C. 函数有个不动点
D. 函数有个不动点
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用方程法可判断A选项；由可得，利用函数的单调性结合可判断B选项；数形结合可判断CD选项.
【详解】对于A选项，由，即，解得或，
所以函数有个不动点，A错；
对于B选项，由，可得，
令，其中，
由于函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
又因为，故函数有且只有个零点，
故函数有且只有个不动点，B对；
对于C选项，由可得，
作出函数、的图象如下图所示：
由图象可知，函数、的图象有两个交点，
故函数有个不动点，C对；
对于D选项，作出函数、的图象如下图所示：
由可得，
当时，，
由可得，即，解得，
即直线与曲线的图象相切于点，
结合图形可知，直线与函数的图象有三个公共点，
所以函数有个不动点，D对.
故选：BCD.
11. 如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（ ）
A.
B. ，
C. 的解集为
D. 的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据二次函数图象的开口方向可判断A选项；利用二次函数的最值可判断B选项；利用二次函数的对称轴方程得出，结合一次不等式的解法可判断C选项；根据二次函数过点得出，利用二次不等式的解法可判断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可知，函数的图象开口向下，则，A错；
对于B选项，因为二次函数的对称轴为，则该函数在处取得最大值，
即，，B对；
对于C选项，因为二次函数的对称轴方程为，即，可得，
由得，即，解得，
故的解集为，C错；
对于D选项，因为二次函数与轴交于点，
则，可得，
不等式即为，即，解得，
故不等式的解集为，D对.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据弧长及扇形面积公式计算求解即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为的弧所对的圆心角为，所以，所以，
则该弧所在的扇形面积为.
故答案为：.
13. 若函数在区间上的最小值为4，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题中条件得到在区间上是单调递增函数，则在处取最小值，求出最小值为，变形为，则，
利用基本不等式求解即可.
【详解】，，在区间上是单调递增函数，
在处取最小值，且最小值为，
，，，
，
等号成立，
当且仅当，即，解得，
的最小值为.
故答案为：.
14. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的组成，分别考虑函数在每段上的单调性，列出相应不等式，求解后合并求交即得.
【详解】依题意，函数在上单调递增即当和时，均为增函数，且.
当时，，作出该函数的大致图象如下：
由图知，要使函数在时单调递增，需使，即；
当时，要使单调递增，需使；
再由可得，解得.
综上，可得实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算公式求解；
（2）利用对数的运算公式求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
16. 已知函数是定义在上的偶函数，且．
（1）求、的值；
（2）判断函数在区间上的单调性，并证明；
（3）解不等式．
【答案】（1），
（2）增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义可求得的值，由可得出的值，即可得解；
（2）化简函数的解析式，任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；
（3）根据偶函数的性质将所求不等式变形为，结合函数在上的单调性与定义域可得出关于的不等式组，解之即可.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的偶函数，
则，即，即，
可得，可得，
可得对任意的恒成立，所以，故，
又因为，解得，故，.
【小问2详解】
由（1）可知，当时，，
任取、且，
则
，
因为，所以，，则，
所以，故函数在上为增函数.
【小问3详解】
因为函数是上偶函数，且是上的增函数，
由可得，
则有，解得.
综上所述，不等式的解集为.
17. 已知对数函数的图象过点，并与函数的图象关于直线对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若，.
（i）求值域；
（ii）若，对于，都有恒成立，求满足条件的的取值范围．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）设且，根据可求出的值，可得出函数的解析式，再根据两个函数图象关于直线对称可得出函数的解析式；
（2）①求出函数的解析式，利用配方法可求得函数的值域；
②由题意可知，存在，使得，即，即，使得，结合函数单调性可求得的取值范围.
【小问1详解】
根据题意，设且，
由题意可得，则，解得，即，
因为函数与函数的图象关于直线对称，故.
【小问2详解】
（i）由（1）可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，故函数的值域为；
（ii），
，对于，都有恒成立，即，
所以，存在，使得，即，
可得，即，使得，
因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
故，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
即函数在上值域为，
综上所述，实数的取值范围是.
18. “浙”作为城市篮球联赛正在浙江各地如火如荼地进行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．“浙”各参赛队在赛前通常会准备地方特色的礼包，现有一家工厂在省内专项生产销售特色礼包，已知生产这种礼包的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入万元．其中与之间的关系为： ，通过市场分析，工厂决定每千件礼包售价定为12万元，且该厂年内生产的此款礼包能全部销售完．
（1）求出年利润（万元）关于年产量的（千件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润．
【答案】（1）
（2）当年产量为42千件时，年利润最大，最大年利润为80万元.
【解析】
【分析】（1）根据利润=总收入-固定成本-可变成本，代入计算即可.
（2）根据二次函数的性质及基本不等式分别求出每段函数的最值，进行比较得到整个分段函数的最大值.
【小问1详解】
由利润计算可知，，
当时，；
当时，，
综上，年利润函数解析式为
.
【小问2详解】
当（）时，，为开口向下的二次函数，
对称轴为，此时（万元）.
当（）时，
又，当且仅当，即时取等号，
此时（万元）.
又，因此当千件时，年利润最大，最大年利润为80万元.
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，我们也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域都为，且是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数e是自然对数的底数，）
（1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
（2）求证：；
（3）函数在区间上的值域是，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】(1)根据，函数为上的奇函数，为上的偶函数得联立方程组即可求解；
（2）由（1）得函数和的解析式代入即可得证；
（3）由（1）知，函数为上的单调增函数， 函数在区间上的值域是，得关于的方程有两个互异实根，令，方程有两个互异正根，根据一元二次方程根的分布即可求解.
【小问1详解】
函数为上的奇函数，为上的偶函数，且，
即
解得.
函数均为上的增函数，
函数为上的增函数，合乎题意.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
，
.
又，则.
由（1）知，函数为上的单调增函数.
函数在区间上的值域是，
即
关于的方程有两个互异实根.
令方程有两个互异正根.
解得.
【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，需要用换元法等进行化简转化，如本题转化为一元二次方程，根据一元二次方程根的分布求解．