浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，.
故选：A.
2. 已知复数，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以复数的虚部为.
故选：A.
3. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】C
【解析】在中，由及正弦定理得，
所以或.
故选：C.
4. 已知向量，且，则（ ）
A. －1B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】向量，由，得，解得，
由，得，所以.
故选：B.
5. 在中，已知，则的面积为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】因为，及和，
所以，解得：，
又因为，所以.
所以.
故选：C.
6. 已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】D
【解析】向量，则，
由与夹角为锐角，得，且与不共线，
因此，解得且，
所以实数的取值范围为且.
故选：D.
7. 为了测量某塔高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为（ ）米.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设铁塔OT的高度为，依题意，，
中，由余弦定理得，
即，解得，
所以铁塔OT的高度为米.
故选：B.
8. 已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的恒成立，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. －1
【答案】C
【解析】由单位向量，且向量的夹角为，得，
由，得，
即，依题意，对任意的，恒成立，
而，当且仅当时取等号，
因此，整理得，所以.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错得得0分．
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，因为，故不是偶函数，故A错误；
对于B，由二次函数性质知，图象关于轴对称，且在区间上单调递增，故B正确；
对于C，因为的定义域为，且，所以函数为偶函数，在区间上单调递增，故C正确；
对于D，，显然在区间上单调递减，故D错误.
故选：BC.
10. 已知复数为的共轭复数，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. 一定是实数
C. 若，则D.
【答案】ABD
【解析】对于A：设，则，
可得，，故A正确；
对于B：令，由，故B正确；
对于C：设，则，，
满足，但，故C错误；
因为，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知平面向量满足，则下列说法正确的为（ ）
A. B. 最小值为
C. 最大值为D.
【答案】ABD
【解析】由，得，
解得，
对于A，，，
又是非零向量，因此，故A正确；
对于B，，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，由，得，
则，即，
当且仅当同向共线时取等号，解，得，故C错误；
对于D，由，得，
则，，而，
因此，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知的周长为，且，则______．
【答案】
【解析】在中，令内角所对边分别为，
由，得，而，
所以.
13. 已知是方程的一个根，则______．
【答案】0
【解析】由是方程的一个根，得是该方程的另一根，
则，，解得，
所以.
14. 已知正实数x，y满足，则的最大值为______．
【答案】1
【解析】因为，所以，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知复数，其中是虚数单位，
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
解：（1）复数为纯虚数，则，无解，
所以实数m的值的集合为空集.
（2）由z在复平面内所对应的点在第二象限，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的值．
解：（1）由正弦定理可得，
又，
所以，
又，
所以，即.
（2）由，又，
解得，
因为，所以，
由余弦定理可得，
即.
17. 已知函数的最大值为1．
（1）求实数a的值；
（2）若在上单调递增，求的值；
（3）在（2）的条件下，若在上恰有2个零点，求实数m的取值范围．
解：（1）函数
，
函数，解得，
所以的值是.
（2）当时，，由上单调递增，得，
解得，而，则，
所以的值是1.
（3）由（1）（2）知，，由，得，
当时，，又函数在上恰有2个零点，
得，解得，
所以实数m的取值范围是.
18. 如图，在中，，线段与线段交于点F．
（1）求的值；
（2）求的值：
（3）若O为内一动点，求的最小值．
解：（1）由可得，，
在中，由可知：，
由余弦定理得：，又因为，
所以由勾股定理可得：，
则以为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，
有：，由可得：，
所以 ，
则.
（2）由图可得：
.
（3）由
，
设中点为，
同理可得
，
所以，
在如图坐标系中，可设，，
则
，
此时，
即点作轴垂线垂足为，点作轴垂线垂足为，
则为的八等分点，为的四等分点，显然此时点在内部，满足题意.
所以取到最小值.
19. 若三角形内一点P满足，则称P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C所对的边，点P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．
（1）若，且，求三角形的布洛卡角的余弦值；
（2）若三角形的面积为S．
①证明：；
②当时，求面积S的大小．
解：（1）如图设，因，
则，由题可得，
则，由余弦定理，可得：
，注意到.
则.
则.
（2）①由图可得，
则要证等式右边等于，
由余弦定理，，
同理可得：，.
则要证等式右边等于左边；
②先证：在三角形中，，当且仅当三角形为等边三角形取等号.
由海伦公式，，其中.
则.
故所证不等式等价于证明：
，
即证：，
即证：，
注意到，
.
则
.
注意到
，
，则，
即，当且仅当三角形为等边三角形时取等号.
当时，由①，，由以上证明不等式取等条件可得，
此时三角形为等边三角形，则.