浙江省“南太湖”联盟2024-2025学年高一上学期第二次联考（12月）数学试卷(含答案)

这是一份浙江省“南太湖”联盟2024-2025学年高一上学期第二次联考（12月）数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若全集,,，则( )
A.B.C.D.
2．若，则( )
A.1B.5C.8D.27
3．若，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．下列说法中正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，，则
D.若，则
5．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是( )
A.
B.
C.
D.
6．向高为H的水瓶内注水,一直到注满为止,如果注水量V与水深h的函数图象如图所示,那么水瓶的形状大致是( )
A.B.C.D.
7．已知定义在R的奇函数满足①；②，且，则的解集为( )
A.B.
C.D.
8．已知实数a,b,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题是真命题的是( )
A.，B.，
C.，D.，
10．下列四个函数中，定义域与值域相同的是( )
A.B.C.D.
11．关于函数，实数，满足，且，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若，则
D.若，则
三、填空题
12．已知某扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为____
13．，恒成立，则实数m的取值范围是____.
14．已知，对正整数k，如果满足：为整数，则称k为“好数”，由区间内所有“好数”组成的集合记为A，则集合____.
四、解答题
15．化简求值：
(1)
(2)
16．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)已知，求实数m的取值范围.
17．如图，建立平面直角坐标系，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在二次函数的图像上，其中k与发射的方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.
18．已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)若实数a，b满足，求的取值范围.
19．我们知道函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
(1)由上述信息，若的图像关于点成中心对称图形，证明：；
(2)已知函数，写出图象的对称中心，并求的值.
(3)若函数具有以下性质：
①定义域为，
②在其定义域内单调递增，
③，都有.
函数，求使不等式成立的实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，，所以，
又，所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：因为，，所以.
故选：C.
3．答案：A
解析：因为，所以，满足充分性.
当，时，满足，不满足，所以不满足必要性.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．答案：D
解析：对于A，令，，但，故A错误；
对于B，令，，但，故B错误；
对于C，令，，，，
所以，，
所以，故C错误；
对于D，，
又，所以，，
所以，即，故D正确.
故选：D.
5．答案：C
解析：在间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为和，所以阴影部分的区域在间的范围是，
所以终边在阴影部分区域的角的集合为.
故选：C.
6．答案：B
解析：解：当容器是圆柱时,容积,r不变,V是h的正比例函数,其图象是过原点的直线,选项D不满足条件;
由函数图象可以看出,随着高度h的增加V也增加,但随h变大,每单位高度的增加,体积V的增加量变小,图象上升趋势变缓,
容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小,
A、C不满足条件,而B满足条件.
故选：B．
7．答案：A
解析：因为，且，，
不妨设，则，
所以，即，
令，则，故在上单调递减，
因为为定义在R上的奇函数，所以，
故定义域为R，且，
则为偶函数，
因为，所以，
所以由，得，即，
所以，则，解得或.
故选：A
8．答案：D
解析：因为，所以，，
设,,，
则a是与的图像交点的横坐标，
b是与的图像交点的横坐标，
在同一坐标系中，作出、与的大致图像，如图，
结合图像可知，.
故选：D.
9．答案：BC
解析：对于A，当时，，当且仅当时，等号成立；
当时，则，
当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为，
所以不存在使得，故A错误；
对于B，当时，可得，所以，，故B正确；
对于C，因为，
所以命题，为真命题，故C正确；
对于D，当时，，所以命题，为假命题，故D错误.
故选：BC.
10．答案：AC
解析：对于A，易得的定义域为，
而，则，即其值域也为，故A正确；
对于B，的定义域为R，且，即值域为，
故B错误；
对于C，易得的定义域为，
而，则其值域也为，故C正确；
对于D，，而，
显然当时，，则的值域必与不相同，故D错误；
故选：AC.
11．答案：ABD
解析：因为，
当时，则，当时，则，
所以的图像如下所示：
对于A，因为实数，满足，且，
即与的图像有两个交点，由图可知，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
因为，所以等号不成立，即，则，
所以，即，因为，所以，故B正确；
对于C，当时，则，即，又，即，
所以，即，
又，所以，所以，
则，
又，
所以，
所以，即，故C错误；
对于D，由C选项知，
所以当时，所以，所以，
所以，即，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为扇形的半径为4，弧长为，
所以该扇形的圆心角为.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为，恒成立，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为，
所以
=
=，
因为为整数，
所以区间内的“好数”为7,25,79.
所以集合，
故答案为：
15．答案：(1)4;
(2)2.
解析：(1)；
(2)
.
16．答案：(1)或;
(2)或.
解析：(1)或，
当时，，
所以或；
(2)因为，所以，
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
综上实数m的取值范围为或.
17．答案：(1)5千米;
(2)飞行物的横坐标a不超过千米时，炮弹可以击中它
解析：(1)因为，令，
得，不合题意舍去，另一个根为，
又，
当且仅当时，等号成立，
所以炮的最大射程为5千米；
(2)飞行物的横坐标a不超过千米时，炮弹可以击中它，理由如下：
因为飞行物的横坐标a，即，
所以，即，
因为炮弹可以击中，所以关于k的方程有正根，
所以，所以，
此时，
所以飞行物的横坐标a不超过千米，炮弹可以击中它.
18．答案：(1)奇函数，证明见解析；
(2)在R上单调递增，证明见解析；
(3).
解析：(1)由得，解得，
所以函数的定义域为，
又，所以为奇函数；
(2)的定义域为R，对任意的，且，
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在R上单调递增；
(3)由(，)，
所以，即，整理得，
所以
，
因为，令，则，
令，，
又在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，；当时，，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
19．答案：(1)证明见解析;
(2)，-8094;
(3).
解析：(1)设，
由已知得，即，
设，所以，
所以，即；
(2)因为，
所以
，
因为为奇函数，所以，
所以，
解得，
所以图像的对称中心为，
所以，
即，，，
，
所以
；
(3)因为，，
所以，
因为，都有，所以，
所以，
整理得，即，
因为函数的定义域为，
所以的定义域为，
因为在内单调递增，所以在内单调递增，
所以，解得，
所以实数k的取值范围为.