浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

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命题学校：昌硕高中 审题学校：孝丰高中
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知直线l过点，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（ ）
A. 1B. C. D.
2. “”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）条件
A 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
3. 已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是等差数列前n项和，若，则（ ）
A. 33B. 44C. 55D. 66
5. 在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知F为抛物线的焦点，，A为抛物线在第一象限上的点，且满足，则点A的横坐标为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
7. 已知数列满足，，则（ ）
A. 1002B. 1023C. 1024D. 1005
8. 已知A，B是双曲线上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分.）
9. 点P在圆：上，点Q在圆：上，则（ ）
A. 两圆的位置关系为外切B. 的最大值为12
C. 两圆公切线段长为D. 两圆相交弦所在直线的方程为
10. 在长方体中，，分别是棱，上的动点（含端点），且，为棱的中点，则（ ）
A. 若是棱的中点，则平面
B. 若是棱的中点，直线平面
C. 线段长度的最大值为
D. 若为线段的中点，则的最小值为
11. 已知椭圆，，是左右焦点，在椭圆的上半部分（含端点）上存在n个点，，…，，（，），是右顶点，是左顶点，使得，，…，成为公差是的等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A. 周长为16
B. 当时，n的最大值为14
C. 当时，
D. 的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知数列满足，，则__________.
13. 若圆与直线交于A，B两点，则__________.
14. 点是抛物线上一点，过焦点的直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若为的中点，，，点在以为直径的圆上，则的最小值为__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知圆C过曲线与坐标轴的交点.
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
16. 已知抛物线的准线方程为，焦点为F，是抛物线上的一点，O为坐标原点.
（1）求抛物线C的方程及；
（2）已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点恰为的重心，求直线l的斜率k.
17. 已知数列满足：，，数列的前n项和满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
18. 如图，在四棱锥中，F为棱上一动点（不包含端点），，，.

（1）证明：平面；
（2）若F是靠近点D的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若O是三棱锥外接球的球心，求的最小值.
19. 已知椭圆短轴长为2，离心率为，左、右顶点分别为C和D，O为原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆依次相交于不同于D，C的A，B两点.
（ⅰ）求面积的最大值；
（ⅱ）若直线BD与AC交于点G.求证：点G定直线上.