浙江省湖州市长兴县2025_2026学年高二数学上学期12月联考试题含解析

这是一份浙江省湖州市长兴县2025_2026学年高二数学上学期12月联考试题含解析，共19页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 已知数列满足，，则， 点P在圆等内容，欢迎下载使用。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知直线l过点，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先得到直线l的斜率，进而求出直线l的方程，求出纵截距.
【详解】直线l倾斜角为60°，则直线l的斜率为，
故直线l的方程为，令得，
故直线l的纵截距为.
故选：D
2. “”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】先求出方程表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件，再进行判断.
【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，
所以，解得，
所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件，
故选：A
3. 已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接用向量的方法计算点到平面的距离可得.
【详解】由，，得.
又因为平面一个法向量为，
所以.
所以点到平面的距离为.
故选：B
4. 已知是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A. 33B. 44C. 55D. 66
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列下标的性质和等差数列前项求和公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：C
5. 在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，求出各点坐标，利用异面直线向量夹角公式进行求解.
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
则，
设异面直线与所成角大小为，
则.
故选：A
6. 已知F为抛物线的焦点，，A为抛物线在第一象限上的点，且满足，则点A的横坐标为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点，再根据，得，列方程求解.
【详解】因为F为抛物线的焦点，所以，
因为A为抛物线在第一象限上的点，所以设，
所以
又，所以，
即，
解得.
故选：C
7. 已知数列满足，，则（ ）
A. 1002B. 1023C. 1024D. 1005
【答案】B
【解析】
【分析】根据规律得到，，，，，由等比数列求和公式和对数运算法则计算出答案.
【详解】因为，，故，，
依次可得，，，，，，
故
故选：B
8. 已知A，B是双曲线上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性求得，利用向量数量积求出，再设出点的坐标，利用双曲线方程及给定面积建立方程求出离心率.
【详解】由，得双曲线上的两点关于原点对称，
令该双曲线的右焦点为，则四边形是平行四边形，，
由，，得，令双曲线半焦距为c，
由，，得，
即，解得，设，则，
消去得，由，得，
因此，整理得，即，
所以双曲线C的离心率.
故选：A
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分.）
9. 点P在圆：上，点Q在圆：上，则（ ）
A. 两圆的位置关系为外切B. 的最大值为12
C. 两圆公切线段长为D. 两圆相交弦所在直线的方程为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由圆的方程明确圆心与半径，利用圆心距与半径差和的大小关系，可得其正误；对于B，根据圆的性质，可得圆上点的位置，可得其正误；对于C，根据圆切线的性质，结合直角梯形的性质以及勾股定理，可得其正误；对于D，联立两圆的方程，作差化简，可得其正误.
【详解】对于A，由圆可知圆心与半径，
圆可知圆心与半径，
因为，且，即，所以两圆相交，故A错误；
对于B，由圆的性质可知，故B正确；
对于C，由过圆心的半径垂直于切线，则公切线的长度为，故C正确；
对于D联立方程可得，即，
两式相减可得，则相交弦所在直线的方程为，故D正确.
故选：BCD.
10. 在长方体中，，分别是棱，上的动点（含端点），且，为棱的中点，则（ ）
A. 若是棱的中点，则平面
B. 若是棱的中点，直线平面
C. 线段长度的最大值为
D. 若为线段的中点，则的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】在长方体中建立空间直角坐标系，写出点坐标，设，得到向量，由求得的值.由题意得，求出，即得到，证明线面垂直得到平面的一个法向量，由向量的数量积证明线面平行，判断A选项；由条件得，利用空间向量是否平行判断B选项；由得值求得的范围即可判断C选项；由题意得到点坐标，然后得到坐标即可求得，借助圆上的点到直线的最小值求得的最小值，判断D选项.
【详解】在长方体中，，，，
如图以为原点建立空间直角坐标系，
则，
∴设，
∵，∴.
若是棱的中点，则，即，∴，
即，
在正方形中，，
又∵平面，平面，∴，
且，平面，平面，
∴平面，即是平面的一个法向量，
∵，即，∴平面，A选项正确；
当是棱的中点时，，，则，
是平面的一个法向量，
∵不存在实数使得，故与不平行，
∴直线与平面不垂直，B选项错误；
，∵，
∴，即，C选项正确；
当为线段的中点时，，
∴，，
则，
∵，
∴，
设直线，点在圆上，
则圆心到直线的距离，∴点到直线的距离，
点到直线的距离，
∵，
∴，D选项错误.
故选：AC.
11. 已知椭圆，，是左右焦点，在椭圆的上半部分（含端点）上存在n个点，，…，，（，），是右顶点，是左顶点，使得，，…，成为公差是的等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A. 的周长为16
B. 当时，n的最大值为14
C. 当时，
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据椭圆标准方程，结合焦点三角形的性质，可得其正误；对于B，根据椭圆顶点与焦点坐标，利用等差数列的通项公式以及单调性，可得其正误；对于C，利用裂项相消，可得其正误；对于D，由题意构造函数，利用导数求得最值，可得其正误.
【详解】对于A，由椭圆，则，所以，
所以焦点三角形的周长，故A正确；
对于B，由A可得，即，
由等差数列的公差，则，
整理可得，由，则，解得，所以的最大值为，故B错误；
对于C，由，则，所以
，故C正确；
对于D，由题意可得，，，则，
令，求导可得，
令，由，解得，此时，即，符合题意，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知数列满足，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件直接对前项的和进行并项求和可得结果.
【详解】由，所以，
所以.
故答案为：
13. 若圆与直线交于A，B两点，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先由圆的方程和直线的方程得圆心距及弦长，进而在三角形中用余弦定理可得角的值.
【详解】由圆，得圆心，半径.
所以圆心到直线的距离，
由圆的弦长公式，又因为，
由余弦定理，又因为在三角形中，所以.
故答案为：
14. 点是抛物线上一点，过焦点的直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若为的中点，，，点在以为直径的圆上，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，得到，，由勾股定理得到方程，求出，，由焦半径公式和圆的性质将所求式子转化为求的最小值，数形结合得到当四点共线时，取得最小值，并求出最小值.
【详解】过点作⊥轴于点，准线与轴交于点，
因为若F为AK的中点，，所以，故Rt≌Rt，
则，故，
则，将代入中，得，即，
又，由勾股定理得，
即，解得，，
过点作⊥准线于点，则，
要想求的最小值，即求的最小值，
又Q在以为直径的圆上，设圆心为，则，
直径，半径，连接，
故，所以，
故当四点共线时，取得最小值，
最小值为.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知圆C过曲线与坐标轴的交点.
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求出曲线与坐标轴的交点，再用待定系数法求出圆的方程；
（2）分斜率不存在和存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线方程.
【小问1详解】
令，则，令，则，解得或，
所以圆C过点，
设圆C的方程为，
所以，解得，
所以圆C的方程为，即；
【小问2详解】
由（1）可知圆C的圆心坐标为，半径，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，
此时圆心到直线的距离为，不符合条件；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即
此时圆心到直线的距离为，
解得或，
所以直线l的方程为或.
16. 已知抛物线的准线方程为，焦点为F，是抛物线上的一点，O为坐标原点.
（1）求抛物线C的方程及；
（2）已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点恰为重心，求直线l的斜率k.
【答案】（1），；
（2）3.
【解析】
【分析】（1）利用给定的准线方程求出即可求解.
（2）设出点的坐标，利用三角形重心坐标公式求出，再利用点差法求出斜率.
【小问1详解】
抛物线的准线方程为，则，解得，
抛物线的方程为，由是抛物线上，得，解得，
所以抛物线C的方程为，.
【小问2详解】
设，由点为的重心，得，
解得，由点在抛物线上，得，
两式相减，得，即，
所以直线l的斜率.
17. 已知数列满足：，，数列的前n项和满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据累加法求数列的通项公式，根据的关系求数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求和.
【小问1详解】
由题可知：，
所以
，
所以；
当时，，
当时，，满足上式，
所以；
【小问2详解】
；
则，
，
所以
所以.
18. 如图，在四棱锥中，F为棱上一动点（不包含端点），，，.

（1）证明：平面；
（2）若F是靠近点D的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若O是三棱锥外接球的球心，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，利用余弦定理及勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理得证.
（2）由（1）的信息以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解.
（3）由（2）中坐标系，确定球心的位置，利用空间两点间距离公式求出点坐标，再设出点坐标，利用空间两点间距离公式列式求出最小值.
【小问1详解】
在四棱锥中，连接，由，及余弦定理，
得，，则，
由，，得是正三角形，，而，
，则，又平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）得平面平面，在平面内过点作，
而平面平面，则平面，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
由，得，，
设平面的法向量，而，
则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
由（1）知，是的斜边，则其中点是外接圆圆心，平面，
设，由，得，
解得，点，令，
，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
19. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右顶点分别为C和D，O为原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆依次相交于不同于D，C的A，B两点.
（ⅰ）求面积的最大值；
（ⅱ）若直线BD与AC交于点G.求证：点G在定直线上.
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆离心率公式求出即得.
（2）（ⅰ）设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理列出三角形面积表达式，再利用基本不等式求出最大值；（ⅱ）由（ⅰ）的信息求出直线方程并联立求出交点横坐标即可得证.
【小问1详解】
由椭圆的短轴长为2，得，
由椭圆的离心率为，得，解得，
所以所求椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
（ⅰ）显然直线不垂直于轴，设其方程为，设，
由消去得，
由，解得，且，
则的面积为
，
当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.
（ⅱ）由（1）得，由（ⅰ）得，
直线的方程为，直线的方程为，
则
，由，解得，
因此直线BD与AC交点G的横坐标为，
所以点G在定直线上.