贵州省贵阳市七校2026届高三上学期联合考试（二）数学试卷含解析（word版）

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【解析】
1. B=x∣x3=x={0,−1,1} ,故 A∩B={−1,0} ,故选 C.
2. 当 α=3π2 时, fx=csx+3π2=sinx 为奇函数,所以 “ α=3π2 ” 是函数 “ fx=csx+α ” 为奇函数的充分条件，若 fx=csx+α 为奇函数，则 f−x=cs−x+α=csx−α=−csx+α=−fx ,化简得 csα=0,α=π2+kπ ,所以 “ α=3π2 ” 是函数 “ fx=csx+α ” 为奇函数的不必要条件,故选 A.
3. ∵ 向量 OZ1=m,1 ,向量 OZ2=1,−m 对应的复数分别是 z1,z2 , ∴z1=m+i,z2=1−mi ,又 ∵z1z2=2m+1−m2i=2,∴2m=2,1−m2=0, 解得 m=1 ,故选 B.
4. 因为 Psinθ,csθ 是角 5π3 的终边上一点,所以 cs5π3=sinθ=12,sin5π3=csθ=−32 , 则 tanθ=sinθcsθ=−33 ,故选 D.
5. 将二项式展开,其中含有 x3 的项分别是 1⋅C63x23−1x3 和 x3⋅C64x22−1x4 ,这两项系数之和为 −20+15=−5 ,故选 C.
6. 由题意可知 a1=1,a2=a1+2=1+2,a3=a2+3=1+2+3,⋯,an=an−1+n=1+2+3+⋯ +n ,故 an=1+2+3+⋯+n=nn+12 ,所以 1an=2nn+1=21n−1n+1=2nn+1 ,故选 B.
7. 设 PF2=m ,则 PF1=4m ,由双曲线定义: PF1−PF2=2a ,即 4m−m=2a,m=23a , PF1=83a,PF2=23a ,在 △F1PF2 中,由余弦定理: F1F22=PF12+PF22−
2PF1PF2cs120∘ ,即 2c2=8a32+2a32−2⋅8a3⋅2a3⋅−12 ,化简得 4c2=283a2 , c2=73a2 ,则 e=ca=73=213 ,故选 A.
8. 因为 fx 是定义在 R 上的函数且满足 f1+x=f1−x ,则 fx 关于 x=1 对称. 又 f2+x 是奇函数,则 f2−x=−f2+x,fx 关于 2,0 对称,且当 0≤x≤1 时, fx=x2 ,可以画出 fx 的图形,则 gx=fx−lgx+1 的零点个数转化为 fx 与 y=lgx+1 的交点个数,如图 1,
图 1
一共有 10 个交点,故选 D.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
【解析】
9. f−x=−xsin−x=xsinx=fx ,所以 fx 为偶函数, A 选项正确; f′x=sinx+xcsx , 在 0,π2 上 sinx>0、xcsx>0 ,所以 f′x>0 ,所以函数单调递增, B 选项正确; x∈−π2,0 时, f′x0 ,所以 x=0 是极小值点, C 选项正确; fx+2π=x+2πsinx+2π=x+2πsinx≠fx ,所以 D 选项错误,故选 ABC.
10. 通过抛物线的定义可得,动点 M 的轨迹是焦点为 F1,0 ,准线是 x=−1 的抛物线方程. 对于 A ,所给出的抛物线的标准方程正确; 对于 B ,当线段 AB 长度最小时,垂直于 x 轴, 此时长度应为 4,错误; 对于 C ,若 AB 中点 C 的纵坐标为 2,则 AB 斜率存在,设 Ax1,y1 , Bx2,y2 ,则 y12=4x1,y22=4x2, 两式作差得 y12−y22=4x1−x2 ,所以直线 AB 的斜率为 1,错误; 对于 D ,设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,若点 G 的坐标为 −1,0 ,当 AB 斜率存在时,设直线 AB 为 x=my+1 ,联立 x=my+1,y2=4x, 得 y2−4my−4=0 ,则 y1+y2=4m,y1y2=−4 , kAO+kBO=y1x1+1+y2x2+1=y1y124+1+y2y224+1=y1y24+1y1+y2y124+1y224+1=0 ,当 AB 斜率不存在时, y1+y2=0 ,此时 kAO+kBO=0 , D 正确,故选 AD.
11. 因为圆锥 SO 轴截面是一个等边三角形,所以底面半径 r 等于母线 SA 的一半,侧面积 S=12l弧长R扇形半径=12⋅2πr⋅2r=6π ,所以圆半径 r=3 ，母线 SB=23 ，圆锥 SO 的高为3. A: 若点 E 运动到 AB⏜ 上某一点时,使 SB// 平面 ODE ,则过 SB 的平面 SBA∩DOE=DO ，一定有 SB//DO ，但由题可知 SB 与 DO 并不平行，所以无论点 E 运动到 AB⏜ 上哪一点,都不能使 SB// 平面 ODE, A 选项正确; B : 圆锥 SO 的体积为 V=13πr2h=13π⋅3⋅3=3π ,而当点 E 运动到 AB⏜ 中点时,点 E 离平面 DAO 的距离最大, 为 3 ，此时 VB−DAO=133SDAO=133⋅12⋅2⋅3=1 ，即最大比值应为 13π ， B 选项错误； C: 以 O 为坐标原点建立如图 2 所示空间直角坐标系,则 O0,0,0,E0,3,0,D−33,0,2,S0,0,3,B3,0,0 ,则 OE=0,3,0 , OD=−33,0,2,SB=3,0,−3,DE=33,3,−2 ,故直线 DE,SB 所成角的余弦值为 csθ=DE⋅SBDESB=7223×23=72244 ,故 C 正确; D: 在 C 选项的坐标系中,

图 2
设 n=x,y,z 为平面 ODE 的一个法向量,则 n⋅OE=3y=0n⋅OD=−33x+2z=0 ,令 x=23 ,可得 n=23,0,1 ,记点 S 到平面 ODE 的距离为 d ,则 OS=0,0,3 ,故 d=OS⋅nn=313=31313 ,故 D 错误,故选 AC.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
【解析】
12. 因为 x>m ,则 x−m>0,3x+12x−m=3x−m+12x−m+3m≥23x−m⋅12x−m+3m= 12+3m ,当且仅当 3x−m=12x−m 时,等号成立,即 12+3m=15 ,故 m=1 .
13. 设 AB=a,AD=b ,且 a=b=2,⟨a,b⟩=60∘ ,因为 BE=2EC ,可得 AE=AB+BE= a+23BC=a+23b,AD=b ,所以 AE⋅AD=a+23b⋅b=a⋅b+23b2=2×2×cs60∘ +23×2×2=143.
14. 点 M 移动到点 N 的最短路径为共走 5 格,其中向上走 2 格,向右走 3 格,条数为 C52=10 ,
PB∣A=PABPA=nABnA=C32×C31C52×C31=310.
四、解答题 (共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
解: (1) 由题可知 0.004+0.006+0.02+0.024+0.03+a×10=1 ,
(2 分)
解得 a=0.016 ; (3 分)
上四分位数即为第 75 百分位数,学生成绩在 [40,80) 范围内,频率为 0.004+0.006+0.02+0.024+0.03×10=0.6, (4 分) 第 75 百分位数一定位于 [80,90) 范围内,由 80+0.75− ,可以估计学生成绩的上四分位数为 86.25 . (6 分)
(2)依题意，成绩在 [80,90) ， 90,100 两组内的频率分别为 0.24 和 0.16，
所以 5 人在两组内分别抽取 3 人和 2 人, (7 分)
记 X 为抽取 3 人中成绩来自于[90,100]内的人数,则 X 的可能取值为 0,1,2,
(8 分)
根据古典概型知识,可得 X 的分布列为
PX=0=C33C53=110, PX=1=C32C21C53=610, PX=2=C31C22C53=310,
用表格表示 X 的分布列如下,
(11 分)
X 的均值为 EX=0×110+1×610+2×310=65 .
(13 分)
16. (本小题满分 15 分)
解: (1) f′x=xex , (2 分)
因为 f2=e2,f′2=2e2=k ,所以切点为 2,e2 , (4 分)
且 f′2=2e2=k , (6 分)
所以切线方程为 y−e2=2e2x−2 ,得 2e2x−y−3e2=0 .
(7 分)
(2)设切点坐标为 x0,x0−1⋅ex0 ， (8 分) 因为 y′=xex ,所以切线的斜率 k=x0ex0 ,
所以切线方程是 y−x0−1ex0=x0ex0x−x0 , (10 分)
因为切线过点 Aa,0 ,所以 −x0−1ex0=x0ex0a−x0 ,
即 x02−a+1x0+1=0 , (12 分)
因为过点 Aa,0 可以作曲线的两条切线,所以方程 x02−a+1x0+1=0 有两个不同的根, 所以 Δ=a+12−4>0 ,解得 a>1 或 a