沪科版（2024）数学八年级下册 第17章 一元二次方程 小结·评价（课件）

第17章 一元二次方程小结 · 评价知识体系一元二次方程解法根的判别式直接开平方法配方法公式法因式分解法根与系数的关系应用回顾与思考 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程.ax2 + bx + c = 0（a，b，c 为常数，a ≠ 0）一般形式：举一反三训练1. 方程 (2x + 1)(x – 3) = x2 + 1 化成一般形式为_______________，二次项系数、一次项系数和常数项分别是____________. x2 – 5x – 4 = 01，– 5，– 4举一反三训练2. 已知 2 是关于 x 的一元二次方程 kx2 + (k2 – 2)x + 2k + 4 = 0 的一个根，则 k 的值为_____. – 3直接开平方法配方法公式法因式分解法把方程化为 (x + n)2 = p 的形式 (mx + n)2 = p (m ≠ 0，p ≥ 0) 适用于一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程提公因式法公式法十字相乘法思 考解一元二次方程的方法中，哪些体现了化归的思想方法？ “化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法.配方法：将一元二次方程配成完全平方式，转化成可直接开平方求解的方程.因式分解法：将一元二次方程因式分解，转化成两个一元一次方程.举一反三训练1. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上 4 的是（ ）A. x2 – 2x = 5 B. 2x2 – 4x = 5C. x2 + 4x = 5 D. x2 + 2x = 5C举一反三训练2. 用适当的方法解下列方程：（1）x2 + 6x + 7 = 0；（2）2x2 – 3x – 5 = 0；（3）x2 + 4x = 5(x + 4).解：（1）移项，得 x2 + 6x = –7 配方，得 x2 + 2×3x + 9 = –7 + 9 则 (x + 3)2 = 2 开平方，得所以原方程的根是（2）2x2 – 3x – 5 = 0；（3）x2 + 4x = 5(x + 4).（2）∵ a = 2，b = – 3，c = – 5，∴ b2 – 4ac = (– 3)2 – 4×2×(– 5) = 49 > 0.代入求根公式，得所以原方程的根是（3）移项，得因此，有 x – 5 = 0 或 x + 4 = 0.所以原方程的根是x2 + 4x – 5(x + 4) = 0.提取公因式，得(x – 5)(x + 4) = 0.3. 对于实数 p，q，我们用符号 min{p，q}表示 p，q 两数中较小的数，如 min{1，2} = 1，min{– 2，– 3} = – 3. 若 min{(x – 1)2，x2} = 1，则 x 的值为________. 2 或 – 1① (x – 1)2 = 1，且 (x – 1)2 < x2② x2 = 1，且 x2 < (x – 1)2 举一反三训练1. 根的判别式2. 根与系数的关系Δ = b2 – 4ac当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程没有实数根.举一反三训练1. 若关于 x 的一元二次方程 ax2 + 2x – 1 = 0 有两个不等的实数根，则 a 的取值范围是（ ）A. a ≠ 0 B. a > – 1 且 a ≠ 0C. a ≥ – 1 且 a ≠ 0 D. a > – 1B举一反三训练2. 关于 x 的一元二次方程 3x2 – 2x + m = 0 有两根 x1，x2，其中一根 x1 = 1，则这两根之积为（ ）D举一反三训练3. 已知关于 x 的方程 x2 – 2x + 2k – 1 = 0 有实数根. （1）求 k 的取值范围；（2）设方程的两根分别是 x1，x2，且试求 k 的值.解：（1）根据题意，得 Δ = (–2)2 – 4×1×(2k – 1) = 8 – 8k.因为方程有实数根，所以 Δ ≥ 0，即 8 – 8k ≥ 0. 解得 k ≤ 1.所以当 k ≤ 1 时，方程有实数根.（2）因为 x1，x2 是方程的两根，所以 x1 + x2 = 2，x1x2 = 2k – 1 .步骤：审、找、列、解、验、答几种常见类型面积问题数字问题变化率问题循环问题商品利润问题可化为一元二次方程的分式方程举一反三训练1. 某超市一月份的营业额为 200 万元，一、二、三月份的总营业额为 1000 万元，设平均每月营业额的增长率为 x，则由题意列方程为（ ） A. 200 + 200×2x = 1000 B. 200(1 + x)2 = 1000 C. 200 + 200×3x = 1000 D. 200[1 + (1 + x) + (1 + x)2] = 1000D2. 某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若以每千克 50 元销售，一个月能售出 500 kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 kg，针对这种水产品情况，商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应为多少？解：设销售单价应为 x 元，则月销售量为 [500 – 10(x – 50)] kg. 根据题意，得 (x – 40)[500 – 10(x – 50)] = 8000解方程，得 x1 = 60，x2 = 80.因为月销售成本想要不超过 10000 元，即 40×[500 – 10(x – 50)] ≤ 10000 解得 x ≥ 75.所以 x1 = 60 不合题意，所以 x = 80.答：销售单价应为 80 元.自评与互评请同学们各写一个一元二次方程，大家互相讨论，看看应该选择哪种方法解答，并说明选择的理由.“方程是反映现实世界数量关系的一个数学模型”，请编制一道可以利用一元二次方程解决现实问题的题目，并解决它. 列方程解应用题，方程往往有多种列法，你认为产生多种列法的思路是如何形成的？你有几种列法？