2024-2025武汉东湖高新区八上期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025武汉东湖高新区八上期末数学试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．数学中有许多精美的曲线．以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”，其中一定不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．点P（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，2）
3．中国科学技术大学完成的“祖冲之二号”和“九章二号”量子计算优越性实验入选2021年国际物理学十大进展．人们发现全球目前最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”大约用时仅为0.00000023秒，将数字0.00000023用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．若分式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式中计算结果为的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列因式分解最后结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．下列等式中，从左向右的变形不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，其中记载了一个“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文钱．如果每株椽的运费是3文钱，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．试问：用6210文能买多少株椽？设用6210文能买x株椽，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，下列两个结论：①AB＋BD＝DC，②AB＋BE＝AC．其中正确的是（ ）
A．只有①对B．只有②对C．①②都对D．①②都不对
10．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．填空： ， ， ．
12．计算： ．
13．正多边形的一个的内角是，则这个多边形的边数是 ．
14．如图，为了测量一幢高楼的高度，在木棍与高楼之间选定一点，在点处用测角仪测得木棍顶端的视线与地面的夹角，测得楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与木棍高度相等，都等于，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是 ．
15．已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是 ．
16．下列有四个结论：
①把分式中的，都扩大倍，分式的值不变；
②在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为；
③若，则；
④若关于的方程无解，则的值为或
其中正确的结论是 （填写序号）
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
18．（1）因式分解：
（2）解分式方程：
19．先化简：，再取一个适当的值代入求值．
20．已知，，
(1)如图（1），求证：是等腰三角形；
(2)如图（2），是的角平分线，，垂足为，若，求的长．
21．如图是由小正方形组成的网格，图中的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示．
(1)如图（1），画出关于直线对称的；
(2)在图（1）的基础上，在的内部画点，使；
(3)如图（2），画格点，使；
(4)在图（2）的基础上，若点是上任意一点，在上画点，使．
22．【知识背景】（1）比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．
例如：比较代数式，的大小，若，则；若，则；
若，则．
【知识探究】（2）已知，，当时，比较与的大小，
并说明理由．
【迁移运用】（3）司机甲每次给自己私家车加300元的油（油箱未加满），而司机乙每次都把私家车油箱直接加满．现实生活中油价经常变动，假设两人第一次加油时的油价为元/升，第二次加油时的油价为元/升，其中．
①司机甲两次加油的平均单价为______元/升，司机乙两次加油的平均单价为______元/升；（用含，的代数式表示，结果需化简）
②请通过计算判断，司机甲和司机乙的两种不同的加油方式中，谁的平均单价更低？
23．【问题背景】（1）如图（1），在和中，，求证：．
【问题探究】（2）如图（2），，将绕点逆时针旋转到，连，过点作交于点，求证：．
【拓展运用】（3）如图（3），等边中，是边上的中线，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，当的周长最小时，直接写出此时的度数．
24．在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点的坐标为，直角顶点在轴上．
(1)如图（1），若点的坐标为，直接写出点的坐标；
(2)如图（2），点在轴的负半轴上，为的中点，连，求的度数；
(3)如图（3），点在轴的负半轴上，点在轴负半轴上，连接并延长，交于，若，求点的横坐标．
参考答案
1．B
【难度】0.94
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．C
【难度】0.85
【知识点】坐标与图形变化——轴对称
【详解】分析：根据关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变．
详解：点P（﹣1，2）关于y轴对称点的坐标为（-1，-2）．
故选：C．
点睛：本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，注：关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变；关于原点对称，横纵坐标都互为相反数．
3．B
【难度】0.65
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．B
【难度】0.94
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，
根据分式有意义的条件可得，可得答案．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故选：B．
5．D
【难度】0.85
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，根据相关法则进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D
6．C
【难度】0.65
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．根据因式分解的运算法则计算即可．
【详解】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C符合题意；
，故选项D不符合题意；
故选C．
7．D
【难度】0.85
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，
根据判断A；再根据可判断B；然后根据，再约分可判断C；最后根据判断D．
【详解】解：因为，所以A正确；
因为，所以B正确；
因为，所以C正确；
因为，不能化简，所以D不正确．
故选：D．
8．C
【难度】0.65
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据单价总价数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设用6210文能买x株椽，
由题意得：，
故选：C．
9．C
【难度】0.85
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质
【分析】如图所示，在AC上取一点F，使得AB=AF，连接EF，证明△ABE≌△AFE得到∠AFE=∠B，BE=EF，再证∠C=∠CEF，得到EF=CF，即可判断②；如图在BC上截取DM=BD，证明△ADB≌△ADM得到AB=AM，则∠B=∠AMB，同理可证∠MAC=∠C，即可判断①．
【详解】解：如图所示，在AC上取一点F，使得AB=AF，连接EF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
又∵AB=AF，AE=AE，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴∠AFE=∠B，BE=EF，
∵∠B=2∠C，
∴∠AFE=∠C+∠CEF=2∠C，
∴∠C=∠CEF，
∴EF=CF，
∴BE=CF，
∴AC=AF+CF=AB+BE，故②正确；
如图在BC上截取DM=BD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADM=90°，
又∵AD=AD，BD=MD，
∴△ADB≌△ADM（SAS），
∴AB=AM，
∴∠B=∠AMB，
同理可证∠MAC=∠C，
∴AM=MC，
∴AB=MC，
∴CD=CM+DM=AB+BD，故①正确，
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
10．A
【难度】0.65
【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，由垂线段最短得的值最小，进而由等边三角形的性质及直角三角形的性质解答即可求解，由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键．
【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，则，，，
此时的值最小，
∵是等边三角形，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
11． 1 9 4
【难度】0.85
【知识点】零指数幂、同底数幂的除法运算、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，同底数幂除法的计算，根据有理数的乘方，零指数幂，同底数幂除法的运算方法进行计算即可．
【详解】解：，，，
故答案为：1，9，4．
12．
【难度】0.85
【知识点】同分母分式加减法 来源微信公众号：奶爸说数学
【分析】本题考查了分式的减法，根据分式的加减法运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
13．5
【难度】0.65
【知识点】正多边形的外角问题、正多边形的内角问题
【分析】本题主要考查了多边形的外角与内角，解题关键是掌握任意多边形的外角和都等于．
先求出正多边形的一个外角度数，再根据多边形的外角和等于，即可求出这个多边形的边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是，
∴正多边形的一个外角是，
∵多边形的外角和等于，
∴这个多边形的边数是，
故答案为：5．
14．
【难度】0.85
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意可证明，得到，即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：．
15．36°或45°/45°或36°
【难度】0.65
【知识点】等边对等角
【分析】和都是等腰三角形，但没有说具体的边相等，所以应分情况讨论．
（1），那么和是全等三角形，可求得，那么；
（2），那么，然后用表示出的内角和，即可求得，那么．同理可得出当时，∠C的度数；
【详解】解：应分两种情况：
（1）当时，
因为，
所以和是全等三角形，
即，那么．
（2）当时，
因为和都是等腰三角形，
所以，
所以，
所以，
即，
即．
（3）当时，
因为和都是等腰三角形，
所以，
所以，
所以，
即，
即．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查为全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，本题易错点在于判断此题应分情况讨论，难点在于正确画出图形，得到各种情况里所求的角的关系．
16．①②③
【难度】0.65
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式无意义的条件、利用分式的基本性质判断分式值的变化、分式方程无解问题
【分析】本题考查分式的基本性质，分式方程的解法，根据分式的基本性质，利用完全平方公式求代数式的值，分式方程的解法依次分析即可作出判断．掌握相应的知识点是解题的关键．
【详解】解：：①把分式中的，都扩大倍得：，分式的值不变，故结论①正确；
②若，
则，即，
∴，
此时分式的分母为零，无意义，
∴在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为，故结论②正确；
③若，则，
∴，即，
∴，故结论③正确；
④方程两边同乘以，得：
，
整理得：，
当时，一元一次方程无解，此时；
当时，则，
解得：或，
综上所述，或或时，关于的方程无解，故结论④错误；
∴正确的结论有①②③．
故答案为：①②③．
17．(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】同底数幂的除法运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、整数指数幂的运算
【分析】本题主要考查整式的计算，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可；
（2）根据积的乘方和同底数幂的除法进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（1）；（2）无解
【难度】0.65
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了因式分解、解分式方程，熟练掌握因式分解和解分式方程的方法是解题关键．
（1）先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可得；
（2）将方程两边同乘以化成一元一次方程，解方程求出方程的解，然后代入检验即可得．
【详解】解：（1）
．
（2），
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，不是分式方程的解，
所以分式方程无解．
19．，
【难度】0.85
【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则和分式有意义的条件是解题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简，再根据分式有意义的条件选择适当的值代入计算即可
【详解】解：
；
，
，
取，则原式．
20．(1)见解析
(2)6
【难度】0.65
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）利用条件证明，得到，即可证明结论；
（2）连接，证明以及，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：连接，
是的角平分线，
；
由（1）可知：，
，
，
，
又，
且，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【难度】0.65
【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、画轴对称图形
【分析】本题主要考查作图，轴对称变换，平行线的判定，线段的垂直平分线，准确理解题意是解题的关键．
（1）作出点关于直线的对称点，连接即可；
（2）连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求；
（3）构造等腰直角三角形即可；
（4）根据垂直平分线的作图方法作图即可．
【详解】（1）解：如下图即为所求；
（2）解：如下图的点即为所求；
（3）解：如下图的点即为所求；
（4）解：如下图的点即为所求；
22．（2），理由见解析；（3）①， ；②司机甲两次加油的平均单价更低
【难度】0.65
【知识点】列代数式、异分母分式加减法
【分析】本题考查了列代数式，分式的减法，能根据题意用含，的代数式分别表示出两个司机加油的平均单价及理解“作差法”是解题的关键．
（2）根据题中所给“作差法”进行计算即可．
（3）①根据加油量费用油的单价，平均单价两次加油花的钱两次加油的总量，列代数式即可；
②根据题中所给“作差法”进行计算即可．
【详解】解：（2），理由如下：
，



，即
（3）①司机甲两次加油的平均单价为：元/升
设司机乙油箱加满能加升
司机乙两次加油的平均单价为元/升
②
，
又
即
司机甲两次加油的平均单价更低
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质等，正确作辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）求出，即可证明；
（2）作于点，交于点，作，交延长线于点，由旋转得到，得到 ，，得出，继而得到，，得出，继而得到，证明，得出，得到；
（3）作射线，证明，得到，得到点在与成角的直线上运动，
作点关于的对称点，交于点，连接交于点，连接
当点在点处时，最小，则的周长最小，求出，即可得到的周长最小时，．
【详解】（1）证明∶，
，
在和中，，
；
（2）证明：如图1，作于点，交于点，作，交延长线于点，
绕点逆时针旋转到，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
在中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图2，作射线，
是等边三角形，
，
绕点逆时针旋转到，
，
，
，
，
，
，
是边上的中线，
，
，
点在与成角的直线上运动，
作点关于的对称点，交于点，连接交于点，连接
当点在点处时，最小，则的周长最小，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
的周长最小时，．
24．(1)
(2)
(3)2
【难度】0.4
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）如图，过作轴于，证明，再利用全等三角形的性质可得结论；
（2）连，，过点分别作轴，轴，垂足分别为，证明，再证明， 可得，从而可得答案；
（3）过点作交轴于，过点作轴，垂足为，证明，可得， 证明， 可得 ，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图，过作轴于，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，
∴点坐标为；
（2）解：如图，连结，，过点分别作轴，轴，垂足分别为，
轴轴 ，
，
，
是等腰直角三角形，为的中点 ，
，
，
，
，
是的角平分线，即．
（3）解：过点作交轴于，过点作轴，垂足为，
，
，
，
轴轴 ，
，
，
，
是等腰直角三角形 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的横坐标为2．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
B
D
C
D
C
C
A