2024-2025武汉汉阳区八上期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025武汉汉阳区八上期末数学试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．汉字形美如画，下面四个汉字中成轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
2．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
3．如图，已知的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与全等的图形序号是（ ）
A．①和②；B．②和③；C．①和③；D．只有②．
4．若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．计算，其中第①步运算的依据是（ ）
A．幂的乘方法则；B．乘法分配律；
C．积的乘方法则；D．同底数幂的乘法法则
7．下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（ ）
A．B．6C．4D．2
9．在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第1次关于轴对称，第2次关于轴对称，第3次关于轴对称，……，依次类推．若点，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，边长为的正方形中，点分别是的中点，与交于点，记四边形的面积为，则的值是（用含的代数式表示）（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．分解因式：ax+ay=
12．化简： ．
13．华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，将数用科学记数法表示为 ．
14．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则的值是 ．
15．关于的二次三项式（是常实数），现有以下结论：
（1）若，则二次三项式一定含有因式；
（2）若，且，则；
（3）若，则；
（4）若则无论取何实数，总是正数．
其中正确结论的序号有 ．
16．如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是 度．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）计算：．
18．（1）因式分解：
（2）先化简，再求值：，其中．
19．已知关于的分式方程．
(1)若这个分式方程的解是，求的值；
(2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围．
20．如图，中，，，，的角平分线交于点为边上一点，
(1)求证：；
(2)直接写出的周长是______．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)如图1，先画的中线，再画点，连接，使，垂足为；
(2)如图2，先画，使与全等，且点A的对应点在边上．点为上一动点，再画点，使．
22．某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元．
(1)求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？
(2)该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了元／件，同时乙种商品单价下调了元／件，
①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求的值；
②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值______．
23．问题呈现：借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常见方法，图1，图2是用边长为的两个正方形和边长为的两个长方形拼成的一个大正方形，图3是用边长为的四个长方形拼成的一个大正方形．利用图形可以推导出的关系式为：
图1：______；
图2：______；
图3：______．
解决问题：
（1）直接写出结果：
①若，，则______；
②若，，则______；
（2）若，，则求
拓展延伸：
如图4，以的直角边为边作正方形和正方形．若的面积为6，，求正方形的边长．
24．如图1，在平面直角坐标系中，原点为，一条直线交轴负半轴和轴正半轴于点，，点在线段上，点在线段上，线段的垂直平分线交于点，．
(1)若，则解决以下问题：
①当点与原点重合，如图2，求证：；
②如图3，若，连，求证；
(2)如图4，过点作轴的平行线，交于点，求证：．
的取值
4
6
分式的值
无意义
0
参考答案
1．B
【难度】0.94
【知识点】轴对称图形的识别
【分析】本题考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A中汉字不成轴对称，故本选项不符合题意；
B中汉字成轴对称，故本选项符合题意；
C中汉字不成轴对称，故本选项不符合题意；
D中汉字不成轴对称，故本选项不符合题意，
故选：B．
2．A
【难度】0.94
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．空调在墙上的固定方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【详解】解：空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：A．
3．B
【难度】0.85
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【详解】解：根据“”可证第②个三角形和全等，
根据“”可证第③个三角形和全等，
故选：B．
4．B
【难度】0.94
【知识点】分式有意义的条件
【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．直接利用分式有意义的条件进而得出答案．
【详解】解：代数式在实数范围内有意义，
．
故选：B．
5．A
【难度】0.65
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【详解】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n-2）=3×360°
解得n=8．
故选A．
点睛：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
6．C
【难度】0.94
【知识点】积的乘方运算
【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据积的乘方等于把各因式分别乘方，再求其积的运算法则计算即可．
【详解】解：，
其中第①步运算依据是积的乘方法则，
故选：C．
7．B
【难度】0.85
【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式，根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．
【详解】解：A．，只能利用多项式乘多项式的计算方法进行计算，不能利用平方差公式，因此选项A不符合题意；
B．，能利用平方差公式，故选项B符合题意；
C．，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项C不符合题意；
D．，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项D不符合题意；
故选：B．
8．D
【难度】0.65
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式无意义的条件、分式值为零的条件
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等等，分式无意义的条件是分母为，据此可求出的值；根据当时，分式的值为，可求出的值，进而得到关于的方程，解方程求出的值，再求出的值即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵当时分式无意义，
∴，
∴；
∵当时，分式的值为，
∴，
∴；
∴分式为，
∴根据表格可知：，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
故选：D．
9．B
【难度】0.65
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、图形类规律探索
【分析】本题考查轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次轴对称变换为一个循环组依次循环是解题的关键．
观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，用除以，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限即可解答．
【详解】解：点第一次关于轴对称后在第四象限，
点第二次关于轴对称后在第三象限，
点第三次关于轴对称后在第二象限，
点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，
所以，每四次轴对称变换为一个循环组依次循环，
余1，
经过第次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为．
故选：B．
10．C
【难度】0.4
【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，连接，依题意得，证明和全等得，，进而可证明，根据三角形的面积公式求出，则，再由勾股定理得，继而得，，然后根据即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是正方形，边长为，
，，
点分别是的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，，
，
故选：C．
11．a（x+y） ．
【难度】0.65
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】直接提取公因式a即可得解.
【详解】ax+ay=a(x+y).
故答案为a(x+y).
12．
【难度】0.85
【知识点】异分母分式加减法
【分析】本题考查分式的减法，直接根据异分母分式的减法运算法则化简原式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
13．
【难度】0.85
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000007的左边起第一个不为零的数字7前面的0有9个，
所以0.000000007=7×10-9．
故答案为：7×10-9．
【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．
【难度】0.65
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、两个有理数的乘法运算、有理数的加减混合运算
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，能根据题意得出是解题的关键，根据题意，依次写出，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，，
，
，
，
…，
，
当时，，
当时，，
，
故答案为：．
15．（1）（3）（4）
【难度】0.65
【知识点】因式分解的应用、运用完全平方公式进行运算
【分析】此题考查了因式分解、完全平方公式的应用，熟练掌握因式分解和完全平方公式是关键．利用因式分解和完全平方公式逐项进行判断即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴
∴二次三项式一定含有因式；
故（1）正确，
（2）若，且，
∴或，
则或；
故结论（2）不正确；
（3）∵，
∴，
∴，
故结论（3）正确；
（4）∵
∵，
∴当时，即时，
无论取何实数时，总是正数，
故结论（4）正确；
故答案为：（1）（3）（4）
16．
【难度】0.4
【知识点】两点之间线段最短、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形外角的性质，最短距离等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并能正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点，过点作，且，连接，设交于点，证明和全等得，，则，根据“两点之间线段最短”得，进而得当点在同一条直线上时，为最小，此时，然后根据，，，则，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作，且，连接，设交于点，
，
在和中，
，
，
，，
，
根据“两点之间线段最短”得：，
当点在同一条直线上时，为最小，即为最小，
当点在同一条直线上时，，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
当为最小时，，
故答案为：．
17．（1）（2）
【难度】0.65
【知识点】运用完全平方公式进行运算、计算单项式乘单项式、积的乘方运算
【分析】 本题主要考查了完全平方公式，积的乘方，单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用积的乘方法则，单项式乘单项式法则计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）；（2），
【难度】0.85
【知识点】分式化简求值、完全平方公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解、分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则及因式分解是解答的关键．
（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先根据分式的乘除运算法则，结合因式分解化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，
原式．
19．(1)
(2)且
【难度】0.65
【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）将代入方程中求解即可；
（2）先解分式方程，然后由方程的解是非负数列不等式求解即可，注意分式有意义的条件．
【详解】（1）解：∵这个分式方程的解是，
∴，
解得；
（2）解：去分母，得，
解方程，得，
∵分式方程的解是非负数，
∴且，
解得：且．
20．(1)见解析
(2)7
【难度】0.85
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段的和差计算．利用角平分线的定义来求出角相等，继而证明三角形全等是解答关键．
（1）由角平分的定义得到，利用判定，再根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）利用线段的和差求出的长度，再利用三角形的周长公式求解．
【详解】（1）证明：平分交于，
．
在和中
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
即的周长为：7．
故答案为：7．
21．(1)见解析
(2)见解析
【难度】0.65
【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、三线合一、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查基本作图，涉及全等三角形的判定与性质、三角形的中线、勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，根据相关知识正确画出图形是解答的关键．
（1）取中点D，可得中线；取格点P、E，连接交于点F，可得，则，由可得，则；
（2）取格点G、H，连接、，则利用勾股定理结合可得与全等；取格点T、S，连接交格线于点Q，设、相交于P，由垂直平分得，再根据等腰三角形的三线合一得到，可得，则．
【详解】（1）解：如图，线段、点E、点F即为所求；
（2）解：如图，、点Q、P即为所求作：
22．(1)商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元；
(2)①；②
【难度】0.65
【知识点】分式方程的经济问题、销售盈亏(一元一次方程的应用)、整式加减的应用、整式加减中的无关型问题
【分析】此题考查分式方程的应用，整式加减的应用等知识，读懂题意，正确列方程和代数式是解题的关键．
（1）设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，购进件数相同的甲、乙两种商品，据此列方程，解方程并检验即可；
（2）①两种商品共花费4500元，据此列方程并解方程即可；②设购入件甲种商品，总费用为元，两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，据此求出，进一步求出答案即可．
【详解】（1）解：设商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元，
由题意可得，
，
解得，
经检验是分式方程的解且符合题意；
当时，，
答：商场购进的甲种商品进价每件是元，则购进的乙种商品进价每件是元；
（2）①根据题意可得，
解得
答：的值为；
②设购入件甲种商品，总费用为元，
根据题意可得，，
∵的值与无关，
∴，
解得，
∴（元）
故答案为：
23．问题呈现：图1：图2：图3：
（1）①13②4（2）或
拓展延伸：正方形的边长为4
【难度】0.65
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键，
问题呈现：用代数式表示各个图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可；
（1）①利用代入计算即可；②利用代入计算即可；
（2）利用代入法进行计算即可；
拓展延伸：由题意得到，，进而求出结果即可．
【详解】解：问题呈现：
图1中大正方形的边长为，
∴面积为(，两个正方形的面积分别为，两个长方形的面积为，
∴，
故答案为：；
图2中大正方形的面积为，两个阴影正方形的面积分别为，，两个空白长方形的面积为，
∴，即，
故答案为：；
图3中大正方形的边长为，
∴面积为(，
∴中间正方形的边长为，
∴面积为(，4个空白长方形的面积为，
∴，
故答案为：；
（1）解：①，，
，
故答案为：；
②，，
，即，
，
故答案为：；
（2）解：，即，
，解得或，
当时，，
当时，，
或，
拓展延伸：设正方形的边长为，正方形的边长为，
由题意得，
即，，
解得或(舍去)，即正方形的边长为4．
24．(1)①详见解析②详见解析
(2)详见解析
【难度】0.4
【知识点】线段垂直平分线的性质、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）①当点与原点重合时，，得出，可证得是等边三角形，得出，进而即可证得结论；②设线段的垂直平分线交于点，连接，则，，，再证得，即可证得结论；
（2）如图，在上取点，使，连接，则，过点作，交于点，则，利用直角三角形性质可得，推出，再证得，得出，，进而即可证得结论．
【详解】（1）证明：①当点与原点重合时，，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
；
②如图，设线段的垂直平分线交干点，连接，
，，，
，，
，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，在上取点，使，连接，则，过点作，交于点，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
线段的垂直平分线交干点，
，
，
，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线构诰全等三角形是解决此题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
B
A
C
B
D
B
C