吉林省松原市前郭三中2024~2025学年度上学期前郭三中九年级期中阶段测试 数学试卷（含答案）

这是一份吉林省松原市前郭三中2024~2025学年度上学期前郭三中九年级期中阶段测试 数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每小题2分，共12分）
1．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列词语所描述的事件，属于必然事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．水滴石穿D．刻舟求剑
3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．4，6，1B．4，6，C．4，，1D．4，，
4．二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A．向上，直线，(4，5)B．向上，直线，(﹣4，5)
C．向上，直线，(4，﹣5)D．向下，直线，(﹣4，5)
5．如图，内接于是的直径，是上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．

6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ） A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．若点与点关于原点对称，则a的值为 ．
8．已知的半径为3，点P到圆心O的距离为6，那么点P与的位置关系是 ．
9．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
10．把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数解析式为 ．
11．如图是小孔成像原理的示意图，，，．若物体的高度为，则像的高度是 ．
12．如图，小华用一个半径为36cm，面积为324πcm2的扇形纸板，制作一个圆锥形的玩具帽，则帽子的底面半径r= cm．
13．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝ .
14．抛物线的图象如图所示，抛物线经过点，则下列结论：①；②；③；④（m为一切实数）；⑤；正确的是 （填写序号）．

三、解答题
15．解方程：．
16．如图，的弦相交于点E，．求证：．
17．有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四角各切去一个同样大的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个无盖的方盒．如果制成的无盖方盒的底面积为，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
18．在“双减”政策下，某学校在课后延时服务中开设了．轮滑；．足球；．书法；．音乐鉴赏四门课程供学生选择，每门课程被选择的机会均等，若小红和小明两位学生各计划选择一门课程学习．请你用画树状图或列表的方法，求两人恰好同时选择体育运动（包含轮滑和足球）的概率．
19．如图，△ABC的顶点在 的正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．(保留作图痕迹，不写作法)
(1)在图1中，作的平分线；
(2)在图2中，作一点O，使．
20．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）．
(1)直接写出与的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径．
21．关于x的方程．
(1)求证无论m为何值时，原方程总有两个实数根；
(2)若方程的两根之和等于4，求m的值．
22．如图，小明站在点O处练习发排球，将球从O点正上方的A点处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球网与O点的水平距离为，高度，球场的边界距O点的水平距离为．
(1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式；
(2)请判断排球是否过网？是否出界？
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点、．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式．
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积．
(3)直接写出当时，自变量x的取值范围．
24．如图①，我们把一副三角板如图摆放在一起，其中在一条直线上，，．
(1)的度数为______．（直接写出结果）
(2)如图②，将图①中的以点O为旋转中心旋转到的位置，当的度数为______时，平分．（直接写出结果）
(3)如图③，两个三角尺的直角边摆放在同一条直线上，另一条直角边也在同一条直线上，将绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当时，旋转角的度数可能是______．（直接写出结果）
25．如图所示，在等腰直角三角形中，，，于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作交于点Q，以线段为边作等腰直角三角形，且（点M，C位于异侧），设点P的运动时间为x（），与重叠部分的面积为y（）．
(1)如图2，当点M落在上时，_______；
(2)求点M落在上时x的值；
(3)若M点在下方时，求重叠部分面积y与运动时间x的函数表达式．
26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D．
(1)求二次函数的解析式：
(2)若点E是线段上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且，求点E的坐标；
(3)若P为y轴上的一个动点，连接，直接写出的最小值；
(4)若点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标为t，当不小于时，求t的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．C
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可．
【详解】A．守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；
B．水中捞月是不可能事件，故该选项不符合题意；
C．水滴石穿是必然事件，故该选项符合题意；
D．刻舟求剑是不可能事件，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：，
整理得，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，，1，
故答案为：C．
4．A
【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴及顶点坐标，可求得答案．
【详解】二次函数的图象的开口向上、对称轴为直线、顶点坐标为(4，5)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
5．B
【分析】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．由同弧所对的圆周角相等，得，再根据直径所对的圆周角为直角，得，然后由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：是所对的圆周角，
，
是的直径，
，
在中，，
故选B．
6．B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴，
解得x=45（尺），
即竹竿的长为四丈五尺．
故选B
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
7．2
【分析】根据关于原点对称点的特点，求出a的值即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称点的特点，
8．点P在外
【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆上，点在圆外，点在圆内，即可得到答案．
【详解】解：∵的半径为3，点P到圆心O的距离为6，
∴点P到圆心O的距离大于圆的半径，
∴点P在外．
故答案为：点P在外．
9．k＞-2且k≠0/k≠0且k＞-2
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-4x-2=0有两个不相等的实数根，可得出判别式大于0，再求得k的取值范围．注意：二次项系数不等于零．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-4x-2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=（-4）2-4×（-2）k＞0，
解得k＞-2，
∵k≠0，
∴k的取值范围k＞-2且k≠0，
故答案是：k＞-2且k≠0．
【点睛】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
10．
【分析】根据函数的平移规律代入运算，即可得出平移后的函数解析式．
【详解】解：由题意根据函数平移的规律左加右减，上加下减可得，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的几何变换，主要是函数平移的规律左加右减，上加下减．
11．6
【分析】正确理解小孔成像的原理，首先由可证得，再根据相似三角形的性质，即可求出的长．
【详解】解：，
，
，
又，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12．9
【详解】解：设扇形的中心角为，
由及面积公式有，
则，则有扇形的弧长公式为；
此弧长恰为圆锥底面的圆周长
设圆锥的底面半径为，则，
解得
故答案为：9．

【点睛】本题考查圆锥及其平面展开图．
13．4
【详解】试题分析：∵反比例函数（x＞0）及（x＞0）的图象均在第一象限内，
∴＞0，＞0．
∵AP⊥x轴，∴S△OAP=，S△OBP=，
∴S△OAB=S△OAP﹣S△OBP==2，
解得：=4．
故答案为4．
14．①⑤/⑤①
【分析】由抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点位置，确定的正负，即可①；抛物线的对称轴为，即可判断②；抛物线与x轴的一个交点 ，得到另一个交点，把代入即可判断③，根据抛物线的最大值判断④；由抛物线与x轴有两个交点得到，即可判断⑤．
【详解】①∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴是：
∴a、b异号，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
∴选项①正确；
②∵，，
∴
∴选项②不正确；
③抛物线与x轴的一个交点，则另一个交点为，
∴
把代入得：
∴选项③不正确；
④抛物线在时取得最大值，
∴，
即，
故选项④不正确；
⑤ ∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
即
∴选项⑤正确；
综上所述，正确的有①⑤．
故答案为：①⑤．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数由△决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
15．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
，
解得．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
16．见解析
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理的推论得到，结合图形得到，进而得到，根据全等三角形的判定即可证明结论．
【详解】证明：连接，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴≌，
∴．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理的推论，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
17．边长为的正方形
【分析】此题可以设铁皮的各角应切去边长为的正方形．则底面矩形的长和宽分别是和，然后根据方盒的底面积是列方程求解．
【详解】解：设铁皮的各角应切去边长为的正方形，
根据题意得
解得或（不合题意，应舍去）．
答：切去边长为的正方形．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是在列方程的时候，弄清方盒底面的长和宽，能够熟练运用因式分解法解方程．
18．
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：画出树状图如下：
，
共有16种等可能出现的结果，其中两人恰好同时选择体育运动（包含轮滑和足球）的结果有4种，
两人恰好同时选择体育运动（包含轮滑和足球）的概率为：．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据网格特点和勾股定理得到，可根据等腰三角形的三线合一性质和矩形的对角线互相平分作出的中点即可；
（2）根据网格特点和线段垂直平分线的性质，可作出线段和的垂直平分线，交点即为所求；
【详解】（1）解：如图1，即为所求作；
（2）解：如图2，点O即为所求作；
【点睛】本题考查基本作图-应用与设计作图，涉及到等腰三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识解决问题是解答的关键．
20．(1)
(2)这座石拱桥主桥拱半径约为
【分析】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键．
（1）根据垂径定理即可得出结论；
（2）设主桥拱半径为，在中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵半径，
∴．
（2）解:设主桥拱半径为，
∵，，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
21．(1)见解析
(2)2
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴无论m为何值时，原方程总有两个实数根
（2）解：由根与系数关系，得，
∵方程的两根之和等于4，
∴，
∴．
22．(1)；
(2)排球能过网；不会出界．
【分析】（1）根据题意列出抛物线的顶点式解析式，再把代入解析式求出，即可得到与的函数关系式；
（2）把代入解析式求出值与比较，把代入解析式，求出值与比较，即可得到答案．
【详解】（1）解：球与O点的水平距离为时，达到最高，
抛物线的解析式为，
抛物线经过点，
，
，
与的函数关系式为
（2）解：当时，，
排球能过网；
当时，，
解得：，（舍），
排球不会出界．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．
23．(1)，
(2)1.5
(3)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题．
（1）将A的坐标代入反比例函数求出m的值，然后将B的坐标代入反比例函数求出n的值，然后将A、B两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案．
（2）求出直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案．
（3）根据图象即可求出x的取值范围．
【详解】（1）将代入，
∴，
∴反比例函数的解析式为： ，
将代入，
∴，
∴，
将和代入，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）令代入，
∴，
∴，
（3）由图象可知：当y1＜y2时，，或
24．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先求出，，再由平角的定义即可得解；
（2）由旋转的性质可得，再由角的数量关系即可求解；
（3）分旋转角小于和大于两种情况，根据平行线的性质和角的数量关系即可求解．
【详解】（1）解：三角板中，，
，，
，
故答案为：；
（2）解：以点O为旋转中心旋转到的位置，
，
，平分，
，
，
，
，
当时，平分，
故答案为：；
（3）解：如图，当旋转角小于时，与交于点E，
，
，
，
，
；
如图，当旋转角大于时，与交于点F，
，
，
，
旋转角为，
综上所述，旋转角为或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了图形旋转的性质、平行线的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角的定义等知识，熟练掌握并灵活运用相关性质进行推理是解答此题的关键．
25．(1)4；
(2)；
(3)．
【分析】（1）先证明四边形是正方形，则，由是等腰直角三角形得到，则是等腰直角三角形，得到，得，即可得到答案；
（2）由等腰直角三角形中，，得到，是等腰直角三角形，得到，由，得到，则是等腰直角三角形，则，可证明，则，设，则，求出，得到，即可得到答案；
（3）分Q在下方和Q在D上方两种情况，分别进行求解即可．
【详解】（1）当点M落在上时，如图①：

，，是等腰直角三角形，
，.
四边形是正方形.
.
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形.
.
.
，
故答案为：4；
（2）点M落在上时，如图②：

∵等腰直角三角形中，，
，是等腰直角三角形，
∵，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又∵，
，
，
设，则，
，
解得：，
，
；
（3）i）当Q在下方时，如图③：

，，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
；
ii）当Q在D上方时，如图④：

，，
，
，，
在等腰直角三角形中，，
，
，
综上所述，
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、求函数解析式等知识，熟练掌握相似三角形的判定和数形结合是解题的关键．
26．(1)
(2)
(3)3
(4)
【分析】（1）将A，B两点坐标代入到二次函数解析式中进行求解即可；
（2）证明，求出的长度，即求出E点纵坐标，将E点纵坐标代入到直线解析式后，求出其横坐标即可得到E点坐标；
（3）过点P作于点M，求出点D的坐标为，求出，得出，则，得出当点D、P、M在同一直线上，且时，最小，最小值为的长，过点D作于点M，交y轴于点P，根据三角函数求出最值即可；
（4）引入圆，分点在圆上，内，外进行分析，求出t的取值范围即可．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得，
∴．
（2）解：把代入得：，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由，得：
，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴．
（3）解：过点P作于点M，
抛物线的对称轴为直线，
∴点D的坐标为，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点D、P、M在同一直线上，且时，最小，最小值为的长，
过点D作于点M，交y轴于点P，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为3．
（4）解：根据解析（3）可知，，
如图，作的平分线，交y轴于Q，
则，
∴，
以Q为圆心，为半径作圆，与抛物线对称轴交于点，，
当点M在圆上时，则，
当点M在圆内时，，
当点M在圆外时，，
过Q作垂直于对称轴，垂足为H，连接，
∵对称轴为直线，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴此时点与点D重合，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法，圆周角定理，勾股定理，利用三角函数解直角三角形，和几何图形结合的综合能力的培养．解题的关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
B
C
C
A
B
B