重庆市西南大学附属中学2026届高三上学期12月定时检测数学试卷（Word版附解析）

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2025 年 12 月
注意事项:
1. 答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.
2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.
3. 考试结束后， 将答题卡交回 (试题卷学生保存， 以备评讲).
一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1. 若，则 （ ）
A. 1B. C. 2D. 5
2. 已知幂函数的定义域为，则（ ）
A B. 或3C. 3D. 1或
3. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知双曲线 与 轴非负半轴相交于点 ，过 作 轴的垂线与渐近线交于点 (点 在第一象限)，且 ，则双曲线 的离心率为 （ ）
A. B. 2C. D. 4
5. 已知等比数列的公比，记为数列的前项和，若，则 的公比为（ ）
A. 2B. 1 或 2
C. D. 1 或
6. 正六棱台的上、下底面边长分别为2 和 4，侧棱长为 ，则该正六棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，且满足 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
8. 若函数在上有两个极值点，则的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
二、多选题: 本大题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对得部分分， 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于点对称
D. 在上单调递减
10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，其长半轴、短半轴、半焦距的长分别为 ，满足 ，过点的动直线与椭圆交于两点，且的周长为，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率为
B. 当 时，是直角三角形
C. 使得中一角为直线共有条
D. 当时，直线的斜率为
11. 已知数列，该数列的特点是:前两个数均为 1，从第三个数起， 每一个数都等于它前面两个数的和. 人们把这样的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列 (当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618 ). 在现代物理、准晶体结构等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列中的各项除以 4 所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）
A
B.
C. 若数列为等比数列，则
D.
三、填空题: 本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____.
13. 已知函数 为奇函数，则 的最小值为_____.
14. 已知正四面体的棱长为，则正四面体的内切球的半径为_____，若点是该内切球面上的一动点，则的取值范围为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，长方体中，是底面中心，.
（1）证明:；
（2）若直线与直线所成角的余弦值为，求的长.
16. 在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 .
（1）求;
（2）若,设中边上的高分别为 ,求的最大值.
17. 赌博是一种违法行为，"十赌九输"在现代科技的加持下几乎是必然的事情. 近年来警方在各类赌博案件中发现了"密码骰子"、"定点骰子"、"可控骰子"等多种作弊骰子， 庄家可以操控骰子点数牟取非法利益. "反赌宣传日"活动中，小明、小宇参与游戏研究一个高科技作弊骰子的特质， 该骰子可以设置某一点数(下称 "作弊点数")的概率更高， 其余五个点数的概率相同. 记 "作弊点数"的概率为常数，点数 "1""2""3"为小点数，点数 "4""5""6"为大点数.
（1）游戏一:两人将"作弊点数"设置为"6"，每局游戏中抛掷一次骰子，如果为大点数则小明胜，否则小宇胜. 记3局游戏中小明获胜的次数为随机变量，若，求的分布列与期望;
（2）游戏二:每局游戏中，由小明设置"作弊点数"，随后抛掷两次骰子，如果两次均为大点数或均为小点数则小明胜，否则小宇胜. 试证明: 无论设置哪个"作弊点数"，小明获胜概率均为定值，且大于小宇获胜的概率.
18. 已知函数 .
（1）当 时，求 过点 的切线方程；
（2）已知函数 有两个极值点 ，且 ，求 的取值范围；
（3）若函数 ，且对任意非零实数 ，都有 ，求 的值.
19. 平面直角坐标系中，已知点和动点，以线段为直径的圆始终与轴相切，记点的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的标准方程；
（2）按照如下方法依次构造点列(其中 ):设，过点作斜率为的直线与曲线分别交于点，直线与曲线交于另一点，直线与曲线交于另一点，直线与轴交于点.
(i) 求证: 数列 和 均为等比数列;
(ii) 记 的面积为 ，当 时，求证: .