福建省厦门第一中学2024--2025学年上学期九年级数学第二次月考试卷（解析版）-A4

这是一份福建省厦门第一中学2024--2025学年上学期九年级数学第二次月考试卷（解析版）-A4，共28页。
考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分．
注意事项：1．答案一律写在答题卡上，否则不得分；2．可直接用2B铅笔画图．
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的意义即可直接得出答案．
【详解】解：∵的相反数是，
故选：D．
2. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做角A的余弦．根据余弦函数的定义计算即可．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
在中，，
故选：B．
3. 利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如下图2中的图案可以由图1中的基本图案以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角，依次旋转四次形成，则旋转角的值不可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转和正多边形的外角．根据旋转后的图形可知，旋转后的图形内部是一个正五边形，所以旋转角应为正五边形外角的正整数倍，然后判断选项即可．
【详解】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形，
∴（且为正整数），
当时，，
当时，，
当时，，
∴不可能是，
故选：A．
4. 如图，是的直径，是上的一点．若，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．
【详解】解：，
，
故选：B．
5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点作平行线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理得出，进行计算即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点作平行线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
，
则，
线段，
，
，
故选：C．
6. 已知关于的一元二次方程，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个方程根的情况是( )

A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先由数轴得出，再计算判别式的值即可判断．
【详解】解：由数轴得，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
7. 根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为的内心的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的内心定义和基本尺规作图进行判断即可.
【详解】解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C中尺规作图作的是､的平分线，所以点O为的内心，
故选：C．
【点睛】本题考查基本作图、三角形内心定义，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键．
8. 牛顿曾说过：反证法是数学家最精良的武器之一，我们用反证法证明命题“三角形中不能两个直角”，应先假设（ ）
A. 三角形中有一个内角是直角B. 三角形中有两个内角是直角
C. 三角形中有三个内角是直角D. 三角形中不能有内角是直角
【答案】B
【解析】
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时，
第一步先假设三角形中有两个内角是直角，
故选：B．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
9. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
10. 已知二次函数的图象与轴的交点的坐标为，顶点的坐标为，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数顶点的坐标为，且，可得函数的对称轴为直线，根据二次函数的对称性可得函数与轴另外一个交点的坐标为，设抛物线的表达式为，可得，把代入即可求解．
【详解】解：∵二次函数顶点的坐标为，且，
函数的对称轴为直线，
∵二次函数的图象与轴的交点的坐标为，
根据二次函数的对称性可得，函数与轴另外一个交点的坐标为，
则设抛物线的表达式为，
即，解得，
当时，，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】（-2，-3）
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点（2，3）关于原点对称的点的 坐标是（-2，-3），
故答案为：（-2，-3）．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
12. 如图，正六边形内接于圆，则六边形中心角的度数是______．
【答案】##60度
【解析】
【分析】此题考查了正多边形的中心角的知识．根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可．
【详解】解：正六边形的中心角为：．
故答案为：．
13. 抛物线与轴的交点坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】令得出y的值，从而得出与轴的交点坐标．
【详解】令，
得，
抛物线与轴的交点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与y轴交点的求法是解题的关键．
14. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出，根据//，得到，即可求出的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，//，，
在中，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵//，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
15. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为____步．
【答案】
【解析】
【分析】连接，可知四边形为正方形，设半径为，根据切线长定理列方程求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
由题意可得：，
，
∴四边形为矩形，
又∵
∴矩形为正方形
设半径为，则
∴，
∴
解得
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
16. 如图，在中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是，弦CD所对的圆心角度数是．若，则
①；
②若，则；
③若B为弧AD的中点，则；
④．
上述选项中正确的是___________．（填写所有正确选项的序号）
【答案】①②④．
【解析】
【分析】根据圆等弧对等角、等腰三角形的性质、勾股定理逐项判断即可．
【详解】
①∵，
∴
∴
故①正确；
∵
∴
∴是等边三角形，
∴
根据特殊三角函数可得
∴，
故②正确；
③延长CO，交圆于点E
∵B为弧AD的中点，
∴
∵
∴
假设，根据等腰三角形得性质可得
∴
只有当才能成立，
故③不一定正确；
④延长CO，交圆于点E，连接DE
∵，
∴，
∴，
∵CE是直径
∴
根据勾股定理可得
∴
故④正确
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查了圆的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键熟悉圆的性质并会应用．
三、解答题（本大题有8小题，共86分）
17. 计算
（1）解不等式：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，熟练掌握运算法则和方程解法是解题的关键．
（1）移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集即可；
（2）利用配方法求解可得．
【小问1详解】
解：，
移项得：；
合并得：，
故不等式的解集为；
【小问2详解】
解：，
移项得：，
配方得：，即，
∴，
解得：，．
18. 如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，．点落在上，连接．若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．根据旋转的性质，推出，，是等腰三角形，进而求出的度数．
【详解】解：如图：
旋转得到，
，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
19. 如图，在中，，于点D，，，求与的值．

【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．根据余角的性质得，根据勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
20. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？
【答案】所围矩形猪舍的长为、宽为．
【解析】
【分析】设矩形猪舍垂直于房墙的一边长为xm，则矩形猪舍的另一边长为（26-2x）m，根据猪舍面积为80，列出方程并解答.
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为，由题意得
，
化简，得，
解得：，，
当时，（舍去），当时，，
答：所围矩形猪舍的长为、宽为．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握计算法则是解题关键.
21. 在正方形中，是边上的点．
（1）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规在图中求作，使得与均相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，设与相切于点，连接，若，求的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图，角平分线的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质及切线性质定理是解题的关键．
（1）作的平分线与的交点即为点，以为圆心，CE的长为半径作即可；
（2）根据切线的性质定理及正方形的性质求解．
【小问1详解】
解：如图：即为所求；
【小问2详解】
解：如图，设的半径为
∵与相切于点，
∴，
∵四边形是正方形，
，，
∴是等腰直角三角形，，
∴
∴，
∵平分，，，
∴
∴，
解得，即的半径为．
22. 如图，为的直径，为上一点，连接，过作于点，过点作，使，其中交的延长线于点．
（1）求证：是的切线．
（2）已知点在上，且满足，试猜想线段与之间数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定，证明△COH≌△COD是解答本题的关键．
（1）如图，连接，根据等边对等角得：，由垂直定义得：，根据等量代换可得：，即，可得结论；
（2）如图，过作于点，证明，则，得．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，即，
是的切线；
【小问2详解】
解：线段与之间满足的数量关系是：，理由如下：
如图，过作于点，

，，
，且，，
， ，
为公共边，
，
，
．
23. 综合与实践
问题情境：如图①，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图②，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图②中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图②中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时与的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图②设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
【答案】（1）平面直角坐标系见解析，
（2）的长为4米，的长为2米
（3）矩形周长的最大值为米
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解;
（2）在中，，则，得到，即可求解；
（3）由矩形周长，即可求解．
【小问1详解】
解：建立如解图①所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴，
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵点D，E在抛物线上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
根据题意，得，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∴，．
答：的长为4米，的长为2米；
【小问3详解】
解：如图，矩形灯带，
由点，，，
则直线的函数表达式分为，则，解得：k=1b=3，
直线的函数表达式分为
同理得：的函数表达式分为，
设点，则，，，
∴矩形周长为，
故矩形周长的最大值为米．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意,建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．
24. 定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．
（2）如图2，四边形内接于，四边形的外角平分线交于点F，连结并延长交的延长线于点E．求证是中的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，若是的直径．求的度数．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）45°
【解析】
【分析】（1）根据遥望角的定义得到，，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）延长到点，根据圆内接四边形的性质得到，得到，根据圆周角定理得到，进而得到，根据遥望角的定义证明结论；
（3）连接，根据遥望角的定义得到，进而证明，根据得到，根据等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：（1）是ΔABC中的遥望角，
，，
，
；
（2）如图2，延长到点，
四边形内接于，
，
，
，
平分，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，，
，
，
是ΔABC外角平分线，
是ΔABC中的遥望角；
（3）如图3，连接，
是ΔABC中的遥望角，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
．
【点睛】本题考查的是圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆周角定理、三角形外角性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，对于线段，点和图形定义如下：线段绕点逆时针旋转得到线段（和分别是和的对应点），若线段和均在图形的内部（包括边界），则称图形为线段关于点的旋垂闭图．
（1）如图，点，．
①已知图形：半径为3的；
：以为中心且边长为6的正方形；
：以线段为边的等边三角形．
在，，中，线段关于点的旋垂闭图是 ．
②若半径为5的是线段关于点的旋垂闭图，求的取值范围；
（2）已知长度为4的线段在轴负半轴和原点组成的射线上，若存在点，使得对半径为2的上任意一点，都有线段满足半径为的是该线段关于点的旋垂闭图，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①，；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①分别在坐标系中画出，，，再画出线段绕点逆时针旋转的线段即可得到答案；
②如图1所示，当点在点左侧，且此时刚好点落在上时，如图2所示，当点在点右侧，且此时刚好点落在上时，求出这两种临界情形下的值，即可得到答案；
（2）先求出点在直线上运动；不妨设点在点的左侧，如图所示，连接并延长交于P，点绕点P逆时针旋转后的对应点为，，由旋转的性质可得，，则，由于点到上任意一点的距离的最大值是，则只需要找到值最小时，则此时半径有最小值；故当与直线垂直时，有最小值，即有最小值，如图所示，当点的坐标为且与直线垂直时，有最小值，即有最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：①由下图可知，在，，中，线段关于点的旋垂闭图是，，
故答案为：，；
②如图1所示，当点在点左侧，且此时刚好点落在上时，
由旋转性质可得，，
，，
，
，
在上，
，
，
，
解得或（不符合题意，舍去）；
如图2所示，当点在点右侧，且此时刚好点落在上时，
由旋转的性质可得，，
，，
，
，
在上，
，
，
，
解得或（不符合题意的值舍去）；
当时，半径为5的是线段关于点的旋垂闭图；
；
【小问2详解】
解：，
，
，
点在直线上运动；
长度为4的线段在轴负半轴和原点组成的射线上，
不妨设点在点的左侧，
如图所示，连接并延长交于P，点绕点P逆时针旋转后的对应点为，
由旋转的性质可得，，
，
点到上任意一点的距离的最大值是，
由于A、Q都是动点，
只需要找到值最小时，则此时半径有最小值；
点到直线的距离，垂线段最短，
当与直线垂直时，有最小值，即有最小值，
如图所示，当点的坐标为且与直线垂直时，有最小值，即有最小值，
此时，，
，
，
，
则
∴
∴．