2024-2025学年福建省宁德一中九年级（上）第二次月考数学试卷 (含解析)

这是一份2024-2025学年福建省宁德一中九年级（上）第二次月考数学试卷 (含解析)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是
A．B．
C．D．
2．（4分）已知，则的值为
A．B．C．D．
3．（4分）已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在该函数图象上的是
A．B．C．D．
4．（4分）抛物线的顶点坐标是
A． 9，B．C．D．
5．（4分）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有
A．10个B．11个C．12个D．13个
6．（4分）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为
A．1B．C．D．
7．（4分）如图，，是上直径两侧的两点，设，则
A．B．C．D．
8．（4分）如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的投影长为
A．3B．5C．6D．7
9．（4分）一次函数与反比例函数，为常数且均不等于在同一坐标系内的图象可能是
A．B．
C．D．
10．（4分）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为
A．B．
C．或D．或
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若是锐角，，则 度．
12．（4分）如图，与位似，点为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为 ．
13．（4分）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，．若△的面积等于3，则的值为 ．
14．（4分）如图抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ．
15．（4分）如图，在矩形中，点为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧过与的交点，连接．若，，则 ．
16．（4分）京剧是中国的一门传统文化艺术．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形．点，，，分别是图形与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心的坐标为．关于图形给出下列五个结论，其中正确的是 （填序号）．
①图形关于直线对称；
②线段的长为；
③图形围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④当时，直线与图形有两个公共点；
⑤图形的面积小于．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（9分）计算：．
18．（9分）已知如图，，分别是△的边，上的点，，，，．求的长度．
19．（9分）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）
（1）求关于的函数解析式．
（2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？
20．（9分）随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为、、、．
（1）一名乘客通过该站闸口时，求他选择闸口通过的概率；
（2）当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率．
21．（9分）已知关于的一元二次方程有两个实数根、，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式．
22．（9分）如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部处出发，沿水平地面前行到达处，再沿着斜坡走到达处，测得旗杆顶端的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点，，，，，在同一平面内（结果精确到
（1）求斜坡的铅直高度和水平宽度．
（2）求旗杆的高度．
（参考数据：，，，
23．（9分）把边长为的正方形硬纸板（如图，在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图．若剪掉的小正方形的边长为 ，长方体形的无盖盒子的侧面积为 ．
（1）①求与的函数关系式；
②直接写出的取值范围．
（2）求当取何值时，达到最大，并求出最大值．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为．
（1）该抛物线的表达式为 ；
（2）点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）如图，在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，．
（1）如图②，当时，与的数量关系为 ．
【类比探究】
（2）如图③，当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系与（1）是否发生变化？若变化，求出数量关系，若不变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长．
参考答案
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）从正面观察如图所示的几何体，看到的形状图是
A．B．
C．D．
解：从正面看，下方长方体看到的是长方形，上方圆柱看到的也是长方形，
且两个长方形在左侧位置对齐，
故选：．
2．（4分）已知，则的值为
A．B．C．D．
解：设，，
则
，
故选：．
3．（4分）已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在该函数图象上的是
A．B．C．D．
解：反比例函数的图象经过点，
，
、，故此点不在此函数图象上；
、，故此点在此函数图象上；
、，故此点不在此函数图象上；
、，故此点不在此函数图象上．
故选：．
4．（4分）抛物线的顶点坐标是
A． 9，B．C．D．
解：，
抛物线顶点坐标为，
故选：．
5．（4分）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有
A．10个B．11个C．12个D．13个
解：设黑球个数为：个，
摸到白色球的频率稳定在左右，
口袋中得到白色球的概率为，
，
解得：，
故黑球的个数为11个．
故选：．
6．（4分）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为
A．1B．C．D．
解：在直角中，，，
则．
故选：．
7．（4分）如图，，是上直径两侧的两点，设，则
A．B．C．D．
解：是的直径，
，
，
，
，
故选：．
8．（4分）如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的投影长为
A．3B．5C．6D．7
解：延长、分别交轴于、，作轴于，交于，如图，
，，．
，，，
，
△，
，即，
，
故选：．
9．（4分）一次函数与反比例函数，为常数且均不等于在同一坐标系内的图象可能是
A．B．
C．D．
解：、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，所以，则反比例应该位于第一、三象限，故本选项不可能；
、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，所以，则反比例应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，所以，则反比例应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，所以，则反比例应该位于第二、四象限，故本选项有可能；
故选：．
10．（4分）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为
A．B．
C．或D．或
解：当时，抛物线开口向下；
当时对应的函数值均为正数，对称轴为直线，时，，
时，，
解得，
故，
当时，抛物线开口向上；
当时对应的函数值均为正数，对称轴为直线，
时，，
，
故，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若是锐角，，则 30 度．
解：是锐角，，
．
12．（4分）如图，与位似，点为位似中心，已知，的面积为2，则的面积为 18 ．
解：与位似，点为位似中心，
，，
，
，
，
．
故答案为：18．
13．（4分）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，．若△的面积等于3，则的值为 6 ．
解：设反比例函数的解析式为，
△的面积△的面积，△的面积，
，
；
又反比例函数的图象的一支位于第一象限，
．
．
故答案为：6．
14．（4分）如图抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ．
解：根据图示知，抛物线图象的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为，
根据抛物线的对称性知，抛物线图象与轴的两个交点关于直线对称，即
抛物线图象与轴的另一个交点与关于直线对称，
另一个交点的坐标为，
不等式，即，
抛物线的图象在轴上方，
不等式的解集是．
故答案为：．
15．（4分）如图，在矩形中，点为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧过与的交点，连接．若，，则 3 ．
解：四边形是矩形，
，
，为的中点，
，
，
，
故答案为：3．
16．（4分）京剧是中国的一门传统文化艺术．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形．点，，，分别是图形与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心的坐标为．关于图形给出下列五个结论，其中正确的是 ①② （填序号）．
①图形关于直线对称；
②线段的长为；
③图形围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
④当时，直线与图形有两个公共点；
⑤图形的面积小于．
解：点关于对称轴的对称点为，过点作，
由图象可知：图形关于直线对称，故①正确；
为半圆的直径，且，半圆圆心的坐标为．
圆的半径为2，
，
点的坐标为，
，
故②正确；
图形围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数的点），
故③错误；
当时，直线与图形有两个公共点，
故④错误；
，
，
图形的面积大于，
故⑤错误．
故答案为：①②．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（9分）计算：．
解：
．
18．（9分）已知如图，，分别是△的边，上的点，，，，．求的长度．
解：，，
△△，
，
，，，
，
．
19．（9分）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）
（1）求关于的函数解析式．
（2）当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？
解：（1）由题意可得：，
则，
即关于的函数表达式为；
（2），
当时，，
故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力．
20．（9分）随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出入闸口，分别记为、、、．
（1）一名乘客通过该站闸口时，求他选择闸口通过的概率；
（2）当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率．
解：（1）一名乘客通过该站闸口时，他选择闸口通过的概率为；
（2）画树状图得：
由树状图可知：有16种等可能的结果，其中两名乘客选择相同闸口通过的有4种结果，
两名乘客选择相同闸口通过的概率．
21．（9分）已知关于的一元二次方程有两个实数根、，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式．
解：，
，
，
即，
，
当时，方程有实数根，
，
当时，，，
当时，．
22．（9分）如图大楼的高度为，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部处出发，沿水平地面前行到达处，再沿着斜坡走到达处，测得旗杆顶端的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点，，，，，在同一平面内（结果精确到
（1）求斜坡的铅直高度和水平宽度．
（2）求旗杆的高度．
（参考数据：，，，
解：（1）在中，，，
，
，
斜坡的铅直高度约为，水平宽度约为；
（2）过点作，垂足为，
由题意得：，
，
在中，，
，
，
旗杆的高度约为．
23．（9分）把边长为的正方形硬纸板（如图，在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图．若剪掉的小正方形的边长为 ，长方体形的无盖盒子的侧面积为 ．
（1）①求与的函数关系式；
②直接写出的取值范围．
（2）求当取何值时，达到最大，并求出最大值．
解：（1）①由题意得，长方体形的无盖盒子的底面边长为，
盒子的侧面积．
②由题意，，
．
（2）由题意得，，
即，
即，
当时，．
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为．
（1）该抛物线的表达式为 ；
（2）点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）对称轴为直线，点的坐标为，
，
，
故答案为：；
（2）方法一：作于，交于，如图：
在中，令得，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
直线的关系式为：，
由得：（舍去），，
，，
方法二：过点作垂直于轴，交于，如图：
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
直线的解析式为，
由得：（舍去），，
，；
（3）在对称轴上存在一点，将线段绕点顺时针旋转，使点恰好落在抛物线上，理由如下：
点旋转后的对应点为，
当在上方时，作对称轴于，对称轴于，
，，对称轴为直线，
，
设，
将线段绕点顺时针旋转得线段，
，，
，，
，
，，
，
恰好落在抛物线上，
，
解得，，
，
当在上方时，作对称轴于，如图：
由图可得，，关于直线对称，
是等腰直角三角形，
△，是等腰直角三角形，
，
，
综上所述：或．
25．（14分）如图，在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，．
（1）如图②，当时，与的数量关系为 ．
【类比探究】
（2）如图③，当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系与（1）是否发生变化？若变化，求出数量关系，若不变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长．
解：（1）当，则，，
，
，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
故答案为：；
（2）与之间的数量关系发生变化，．理由如下：
如图（1）在矩形和矩形中，
当时，，，
，，
，
如图（3），连接，
矩形绕点顺时针旋转，
，
，
，
；
（3）线段的长为或．理由如下：
如图3.1，当点在线段上时，
，，
，
，
，，
，
，
，
由（2）知，，
；
如图3.2，当点在线段上时，
同理可求，
，
．
综上所述：线段的长为或．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
D
B
B
B
C
D
D