辽宁省大连市第八中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷及详细解析（word版）

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一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={2,4,5},B={3,4,5},B∪∁UA= ( )
A. {1,3,4,5,6,7,8} B. {1,3,4,5}
C. {1,3,4,5,6} D. {1,3,4,5,6,7}
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合补集和并集的定义求解.
【详解】由题意,全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={2,4,5} ,则 ∁UA={1,3,6,7,8} , 又 B={3,4,5} ,则 B∪∁UA={1,3,4,5,6,7,8} .
故选: A.
2. 已知复数 z 满足 z1+i=1−i2 ，则 z 的虚部为( )
A. -1 B. −i C. 1 D. i
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法运算化简复数 z ,结合虚部定义即可求解.
【详解】由题可得 z=1−i21+i=21−i1+i1−i=1−i ,所以则 z 的虚部为 -1, 故选: A
3. 已知角 α、β 为第一象限角，“ α>β ” 是 “ tanα>tanβ ” 的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】因为角 α、β 为第一象限角,
取 α=7π3,β=π3 ,则 α>β ,但 tanα=tan7π3=tanπ3=tanβ ,
即 “ α>β ” ≫ “ tanα>tanβ ”;
取 α=π3,β=9π4 ,则 tanα=tanπ3=3,tanβ=tan9π4=tanπ4=1 ,
则 tanα>tanβ ,但 αβ ” ⇍ “ tanα>tanβ ”.
因此，“ α>β ” 是 “ tanα>tanβ ” 的既不充分也不必要条件.
故选: D.
4. 将函数 fx=sinωxω>0 的图象向右平移 π12 个单位长度，所得图象关于 x=π3 对称，则 ω 的最小值是( )
A. 1 B. 2C. 65 D. 74
【答案】B
【解析】
【分析】先得到函数平移后的解析式,再由其图象关于直线 x=π3 对称,列出等式,进而可求出结果.
【详解】函数 fx=sinωxω>0 的图象向右平移 π12 个单位长度,可得函数 y=sinωx−π12 的图象,
因为平移后的函数图象关于直线 x=π3 对称,所以 ωπ3−π12=π2+kπk∈Z ,
则 ω=2+4kk∈Z ,又 ω>0 ,所以 ω 的最小值是 2 .
故选: B.
5. 已知平面向量 a=3,−1,b=4 ，且 a−2b⊥a ，则 a−b= ( )
A. 9 B. 3 C. 4 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件,利用垂直关系的向量表示及数量积运算律求得 a⋅b ,进而求出目标值.
【详解】由 a−2b⊥a ,得 a−2b⋅a=a2−2a⋅b=0 ,由 a=3,−1 ,得 a=2
则 a⋅b=12a2=2 ,而 b=4 ,所以 a−b=a−b2=a2+b2−2a⋅b=4 .
故选: C
6. 设函数 fx 定义域为 R ， fx 为奇函数， fx+1 为偶函数，当 x∈1,2 时， fx=x2+ax−2 ， 则 f252=
A. −134 B. −94 C. −74 D. −54
【答案】D
【解析】
【分析】先由题设推出 4 是 fx 的一个周期,由 fx+1 为偶函数,得 f0=f2=0 求出 a ,再由周期和 fx+1 为偶函数,得到 f252=f12=f32 求解.
【详解】因为 fx+1 为偶函数,所以 f−x+1=fx+1 ,
又 fx 为奇函数,所以 f−x+1=−fx−1 ,所以 fx+1=−fx−1 ,
所以 fx+2=−fx ,所以 fx+4=−fx+2=fx
所以 4 是 fx 的一个周期.
所以 f252=f12 ,
由 f−x+1=fx+1 可得 f0=f2=4+2a−2=0 ,
所以 a=−1 .
所以由 f−x+1=fx+1 可得 f12=f32=94−32−2=−54 .
故选: D.
7. 公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 a7=2,a9,a5,a13 成等比数列,则满足 Sn>0 的 n 的最大值为( )
A. 8 B. 9 C. 13 D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】设等差数列 an 的公差为 d ,根据 a9,a5,a13 成等比数列,利用等比中项求得 a1 和公差 d ,再由等差数列前 n 项和公式结合条件 Sn>0 求解即可.
【详解】设数列 an 的公差为 d ,
因为 a7=2,a9,a5,a13 成等比数列,
所以 a1+6d=2a1+8da1+12d=a1+4d2 ,解得 a1=20d=−3 ,
所以 an=23−3n ,
故 Sn=n20+23−3n2=n43−3n2 .
由 Sn>0 ,得 n43−3n2>0 ,解得 00 ,且 x+3y=1 ,则下列选项正确的是 ( )
A. y 的取值范围为 0,13 B. xy 的最大值为 112
C. 1x+3y 的最小值为 16 D. x2+9y2 的最小值为 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断 A ,根据基本不等式即可求解 BCD .
【详解】由 x+3y=1 可得 x=1−3y>0 ,故 00,x+3y=1 可得 x+3y=1≥23xy ,故 xy≤112 ,当且仅当 x=3y=12 时等号成立, 故 B 正确,
对于 C,1x+3y=1x+3yx+3y=10+3yx+3xy≥10+23yx⋅3xy=16 ,当且仅当 x=y=14 时等号成立, 故 C 正确,
对于 D,x2+9y2=x+3y2−6xy=1−6xy≥1−6×112=12 ,当且仅当 x=3y=12 时等号成立,故 D 错误,
故选: ABC
10. 已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1，已为 A1B1 的中点，点 P 满足 DP=λDB1λ>0 ，则( )
A. 存在点 P 使得 AP⊥BE
B. 若 M 为 A1D 的中点,则三棱锥 P−BEM 体积为定值
C. 当 λ=23 时,平面 PBC 截正方体 ABCD−A1B1C1D1 所得截面的面积为 52
D. BB1 与平面 A1C1D 所成的角等于 60∘
【答案】BC
【解析】
【分析】假设 AP⊥BE ,由线面垂直的判定与性质可知 BE⊥AB1 ,显然不成立,知 A 错误; 根据线面平行关系可知 VP−BEM=VD−BEM ,得 B 正确; 作出截面矩形 BCFE ,可求得 C 正确; 将问题转化为 DD1 与平面 A1C1D 所成角求解,利用体积桥可求得 D1 到平面 A1C1D 的距离,由此可得 D 错误.
【详解】对于 A ,假设存在点 P ,使得 AP⊥BE ,

∵AD⊥ 平面 ABB1A1,BE⊂ 平面 ABB1A1,∴AD⊥BE ，
∵AP∩AD=A ， AP,AD⊂ 平面 ADB1 ， ∴BE⊥ 平面 ADB1 ，
∵AB1⊂ 平面 ADB1,∴BE⊥AB1 ,显然 BE 与 AB1 不垂直,
∴ 假设错误,即不存在点 P ,使得 AP⊥BE , A 错误;
对于 B,∵M,E 分别为 A1D,A1B1 中点, ∴ME//B1D ,
∵ME⊂ 平面 BEM,B1D⊄ 平面 BEM,∴B1D// 平面 BEM ,
∵P∈B1D,∴VP−BEM=VD−BEM ,
∵S△BEM 为定值，点 D 到平面 BEM 的距离为定值， ∴VD−BEM 为定值，
即三棱锥 P−BEM 的距离为定值，B 正确；
对于 C ,延长 CP 交 A1B1 于点 H ,
∵B1H//CD,B1PDP=12,∴B1HCD=12 ,即 H 为 A1B1 中点,与 E 重合;
取 C1D1 中点 F ,连接 BE,EF,CF ,
∵BC//B1C1//EF ， ∴B,C,E,F 四点共面，又 P∈CE ，
∴ 平面 PBC 即为平面 BCFE ,
则平面 PBC 截正方体 ABCD−A1B1C1D1 所得截面为 BCFE ,
∴ 截面面积 S□BCFE=BC⋅CF=1×122+12=52,C 正确;
对于 D,∵BB1//DD1,∴BB1 与平面 A1C1D 所成角即为 DD1 与平面 A1C1D 所成角,
设点 D1 到平面 A1C1D 的距离为 d,DD1 与平面 A1C1D 所成角为 θ ,
∵S△A1C1D=12×2×2×32=32,S△A1D1D=12×1×1=12,VD1−A1C1D=VC1−A1D1D ,
∴13×32d=13×12×1 ,解得: d=33 ,
∴sinθ=dDD1=33 ,则 θ≠60∘ , D 错误.
故选: BC.
【点睛】思路点睛:本题考查立体几何中的动点问题，B 选项判断三棱锥体积是否为定值的基本求解思路是根据线面平行关系, 利用体积桥将所求三棱锥体积转化为顶点确定的三棱锥体积问题.
11. 已知函数 fx=csπx⋅sin3π2xex−2+e−x ,则下列说法正确的是( )
A. fx 的最大值为 e2
B. 曲线 y=fx 关于 x=1 对称
C. 方程 fx=csπx⋅sin3πx 在 0,1 上有 3 个不相等的实数解
D. 存在 a∈N∗ ,使得不等式 fx≤ex−12+a 成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】对分子分母分别求出最值,且能同时取等号,即可判断 A ; 化简 f2−x 与 fx 相等即可判断 B ; 先求出左右两边同时为 0 的情况, 再讨论不为 0 时化简得到的方程, 利用函数与方程的关系, 画出图像来判断 C ; 根据分子三角函数的有界性,进行放缩,再分离参数求出最值即可判断 D ;
【详解】 ex−2+e−x≥2ex−2⋅e−x=2e ,当且仅当 ex−2=e−x,x=1 时等号成立,
且 x=1 时, csπx=−1,sin3π2x=−1,csπx⋅sin3π2x=1 ,
所以 fxmax=f1=e2 ,故 A 选项正确;
f2−x=csπ2−x⋅sin3π22−xe2−x−2+e−2−x=csπx⋅sin3π2xex−2+e−x=fx ,所以曲线 y=fx 关于 x=1 对称, 故 B 选项正确;
对于方程 csπx⋅sin3π2xex−2+e−x=csπx⋅sin3πx ,
当 x=0 ， x=12 ， x=23 时，左右两式均为 0，符合题意，
当 x≠0 ， x≠12 ，且 x≠23 时，原方程可化简为 1ex−2+e−x=2cs3π2x ，
对于 gx=1ex−2+e−x,x∈0,1 ,则 g′x=−ex−2−e−xex−2+e−x2>0,gx 在 0,1 单调递增,
画出 gx 图象以及 y=2cs3π2x 图象可得, 1ex−2+e−x=2cs3π2x 在 0,13 有 1 个根,
最终方程 fx=csπx⋅sin3πx 在 0,1 上有 4 个不相等的实数解,故 C 选项错误;
由于 csπx⋅sin3π2x≤1 ,故 fx≤1ex−2+e−x ,
对于 1ex−2+e−x≤ex−12+a ,当 a>0 时才有意义,
可化为 a≤ex−1+e1−x−x−12 ,
设 hx=ex−1+e1−x−x−12 ,则 h′x=ex−1−e1−x−2x−1 ,
设 Hx=ex−1−e1−x−2x−1 ,则 H′x=ex−1+e1−x−2 ,
由基本不等式, ex−1+e1−x≥2ex−1⋅e1−x=2 ,
则 H′x≥0 ,即 Hx 单调递增, h′x 单调递增,且 h′1=0 ,
所以 x∈−∞,1 时, h′x0,hx 单调递增,
故 hxmin=h1=2 ,
所以 00 ,又 2a>e+1>2 ,故 e2a2a−ln2a>0 ,即 g2a>0 ,
又 g10 ,
所以 mx 在 2,+∞ 上单调递增,故 mx>m2=e22−ln2>0 ,
又 2a>e+1>2 ,从而 e2a2a−ln2a>0 ,即 g2a>0 ,
又 g1