初中18.5 分式方程课时练习

这是一份初中18.5 分式方程课时练习，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．设走路线一的平均车速为千米/小时，那么根据题意得（ ）
A．B．
C．D．
2．方程的增根是（ ）
A．B．C．D．
3．为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（ ）．
A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成
B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成
C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成
D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成
4．下列各式中是关于x的分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
5．某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．为了帮助身患重病的同学，某学校号召同学们自愿捐款，已知一班的捐款总额为元，二班捐款总额为元，二班捐款人数比一班多5人，而且两个班的人均捐款额恰好相等，如果设一班捐款人数为x人，根据题意列出的方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
8．对于两个不相等的实数m、n，我们规定符号表示m，n中的较小值．例，按照这个规定，方程的解为（ ）
A．5B．6C．5或6D．无解
9．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．若分式方程有增根，则的值为（ ）
A．4B．2C．1D．0
11．“某学校整修校内的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少段米．”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修，结果延期2天完成
B．每天比原计划多修，结果提前2天完成
C．每天比原计划少修，结果延期2天完成
D．每天比原计划少修，结果提前2天完成
12．关于x的方程 去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（ ）
A．B．4C．或D．或4
二、填空题
13．分式方程的解是 ．
14．已知关于的方程的解为，则 ．
15．对于实数，定义一种新运算“”为；，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ．
16．甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有 m．
17．使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；根据上述材料，则：
（1）使等式成立的的值为 ．
（2）使等式成立的的值为 ．
三、解答题
18．解分式方程：．
19．4月23日是世界读书日，为激发学生的阅读热情，弘扬和传承中华优秀传统文化，某中学计划用3000元购买一批图书用于图书馆更新．实际购买时，书店推出优惠活动：每本图书的价格是原来价格的倍，则学校可以用相同预算比原计划多买25本．求原计划每本图书的价格是多少元？
20．解分式方程：
(1)
(2)
21．某市从今年1月1日起调整居民用天然气价格，每立方米天然气价格上涨．小颖家去年12月份的燃气费是96元．今年小颖家将天然气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少，5月份的燃气费是90元．求该市今年居民用气的价格？
22．“郁郁林间桑葚紫，茫茫水面稻苗青”说的就是味甜汁多、酸甜适口的水果——桑葚．2020年4月，某商家第一次用1100元购进了一批桑葚，很快销售一空．商家第二次用2400元购进同种桑葚，所购数量是第一次的2倍，但进价涨了1元．求该商家第一次购进桑葚多少千克？
23．解下列方程：
(1)；
(2)．
24．（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
《18.5分式方程》参考答案
1．D
【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．
若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程，注意单位变换．
【详解】解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，走路线二时的平均速度为千米/小时，
故选D．
2．C
【分析】本题考查了分式方程的增根，增根就是使分式方程的最简公分母等于0的未知数的值．令最简公分母即可得出答案．
【详解】解：∵原方程有增根，
∴最简公分母，
解得，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查分式方程解应用题，根据方程的结构，分析原计划与实际施工的关系，原计划每天铺设米，实际每天铺设米，因此实际每天比原计划多铺设20米，从而确定缺失条件，即可得到答案，看懂分式方程，读懂题意是解决问题的关键．
【详解】解：方程中，分母和分别表示原计划与实际每天铺设的管道长度，原计划时间为，实际时间为，方程左边为原计划时间减去实际时间等于6，说明实际比原计划提前6天完成，
综上所述，缺失条件为“每天比原计划多铺设米，结果提前天完成”，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查的是分式方程的定义，分式方程的定义：①形如的式子；②其中，均为整式，且中含有字母.根据分式方程的定义，即可得出答案.
【详解】解：A. ，B. ，C. 都是整式方程，故不符合题意；
D. 是分式方程，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
6．A
【分析】本题主要考查了列分式方程，弄清题意、确定等量关系成为解题的关键．设八一班捐款人数为x人，则八二班捐款人数为人，利用“人均捐款额捐款总额捐款人数，结合两个班级人均捐款额恰好相等”即可列出关于x的分式方程．
【详解】解：设八一班捐款人数为x人，则八二班捐款人数为人，
根据题意得：．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键．
设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程．
【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．
∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为，
∴，
即．
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解题的关键是根据题意转化为解分式方程，注意转化的过程中进行分类讨论．根据新定义可得：若 ，则，
若，则，分别求出，即可．
【详解】解：根据新定义可得：
若 ，即，则，
∴，
解得 ，
∵ ，
∴不符合题意，舍去；
若，即，则，
∴，
解得，
经检验为分式方程的解，
∵ ，
∴符合题意；
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设规定时间为天，
由题意得，，
故选：．
10．A
【分析】本题考查解分式方程，涉及由分式方程解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键．
先解分式方程，得到，再由分式方程有增根，列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得，
解得，
分式方程有增根，
，
即，
解得，
故选：A．
11．B
【分析】本题主要考查分式的实际运用．根据设实际每天整修道路，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解．
【详解】解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修，
∵方程，
其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前2天完成．
故选：B．
12．C
【分析】本题主要考查分式方程的解法和增根的定义，根据分式方程的解法，化简成整式方程，再根据增根的定义算出增根代入整式方程，即可求得答案；
【详解】解：，
方程两边同时乘以，
，
，
，
令时，是方程的增根；
∴或
故答案选：C．
13．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得：，
去括号化简得：，
解得：，
经检验是分式方程的根，
故填：．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14．
【分析】本题主要考查分式方程的解．把代入原方程中进行计算即可解答．
【详解】解：将代入方程得，
，
解得，
经检验是的解，
故答案为：．
15．
【分析】此题考查了实数的新定义运算和解分式方程．根据新定义得到，解方程并检验即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
则原分式方程的解为：
故答案为：．
16．1600
【分析】本题考查分式方程解决实际问题．设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据“结果甲同学比乙同学晚到”列出分式方程，求解并检验即可得到甲同学步行的速度，进而求出公交车所走的路程即可所求．
【详解】设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据题意，得
，
解得．
经检验，是所列分式方程的根，且符合题意．
所以．
故乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有．
故答案为：1600
17． 或； 或．
【分析】本题考查解分式方程，发现题目所提供的等式所呈现的规律是正确解答的关键．
（1）根据题目提供的等式的规律即可得到答案；
（2）将原方程变为，再根据规律得出答案．
【详解】（1）解：根据题目所列举等式的规律可得，
使等式成立的的值为或，
故答案为：或；
（2）解：根据题目所列举等式的规律可得，
，
即，
使等式成立的的值为或，
故答案为：或．
18．分式方程无解
【分析】将分式方程去分母化为一元一次方程求解并检验根是否为增根即可．本题考查可化为一元一次方程的分式方程的求解，掌握分式方程解法是求解的关键．
【详解】
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
解得，
检验：
当时，，
是增根，舍去，
原分式方程无解．
19．原计划每本图书的价格是40元．
【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
设原计划每本图书的价格是x元，根据用3000元购买一批图书用于图书馆更新．实际购买时，书店推出优惠活动：每本图书的价格是原来价格的倍，则学校可以用相同预算比原计划多买25本，列出分式方程，即可解答．
【详解】解：设原计划每本图书的价格是x元，依题意，得
解得
，
经检验，是原方程的解．
答：原计划每本图书的价格是40元．
20．(1)
(2)原方程无解
【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤，运用转化的思想把分式方程转化为整式方程；解分式方程一定注意要验根．
（1）方程两边乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，然后将所得的x的值进行检验即可得出答案；
（2）方程两边乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，然后将所得的x的值进行检验即可得出答案；
【详解】（1））解：方程两边同乘最简公分母得：
，
解得：，
检验：当时，，
所以，是分式方程的解.
（2）解：方程两边同乘最简公分母得：
，解得：；
检验：当时，，
所以，是增根，原方程无解.
21．该市今年居民用气的价格为3元
【分析】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．有总费用，求的是单价，那么一定是根据数量来列等量关系的．关键描述语是：“5月份的用气量比去年12月份少”．等量关系为：去年12月份的用气量今年5月份的用气量．
【详解】解：设该市去年居民用气的价格为元，则今年的价格为元．
根据题意，得，
解这个方程，得，
经检验，是所列方程的根，
（元．
答：该市今年居民用气的价格为3元．
22．该商家第一次购进100千克桑葚
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设商家第一次购进桑葚x千克，根据第二次用2400元购进同种桑葚，所购数量是第一次的2倍，但进价涨了1元，列出分式方程进行求解即可．
【详解】解：设商家第一次购进桑葚x千克．
根据题意得：
解得
经检验是所列方程的解，且符合题意．
答：该商家第一次购进100千克桑葚．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键：
（1）去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；
（2）去分母，将方程转化为整式方程，求解后进行检验即可．
【详解】（1）解：去分母，得，
解得；
经检验是原方程的解；
（2）解：去分母，得，
解得；
经检验，是原方程的解．
24．（1）无解；（2）无解；（3）；（4）
【分析】（1）方程两边同时乘以，变形为整式方程后解整式方程即可求得x的值，最后再将x的值代入中检验即可；
（2）方程两边同时乘以，变形为整式方程后解整式方程即可求得x的值，最后再将x的值代入中检验即可；
（3）方程两边同时乘以，变形为整式方程后解整式方程即可求得x的值，最后再将x的值代入中检验即可；
（4）方程两边同时乘以，变形为整式方程后解整式方程即可求得x的值，最后再将x的值代入中检验即可．
【详解】解：（1）方程两边同时乘以，得：
，
去括号，得：，
移项合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2）方程两边同时乘以，得：
，
去括号，得：，
移项合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解；
（3）方程两边同时乘以，得：
，
去括号，得：，
移项合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解；
（4）方程两边同时乘以，得：
，
去括号，得：，
移项合并同类项，得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解决本题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
B
D
A
A
C
B
B
A
题号
11
12








答案
B
C