四川省南充高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考 数学试题

这是一份四川省南充高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考 数学试题，共6页。试卷主要包含了函数𝑓 =1等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120 分钟总分：150 分）
命题人：王磊何柄军唐茜茜审题人：唐树民
C．D．
7．若 x, y  R 且满足? + 3? = 5，则3x  27 y  1的最小值是（）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
A．1 + 2
B．1 + 18
C． 6D．1 + 18
5
3
5
合题目要求的.
8．已知函数?(?) = (? + 3)?2−(2?−2)?,? ≥ 4，若对于任意的? ,? ϵ[3, + ∞)，且 x
 x ，都有?
1．已知集合? = {1,3,5},? = {? ∈ ? | ? ≤ 3}，则集合 A ∪ B  （）
?3−2??2 + 3?,? < 4
1 2 2
122
?(?1)−?1?(?2) < ??1?2−??2?2成立，则实数a 的取值范围是（）
A．{? ∈ ?|? ≤ 3}B．1, 321
A． 1 ,3B．(1 ,3]C．(−3 ,3]D．  1 , 

C．{1,2,3,5}D．{0,1,2,3,5}
222
 2
?+1
2．函数?(?) =1
+(2−?)0的定义域是（）
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
A．[−1, + ∞)B．(−1,2) ∪ (2, + ∞)
C．(−1, + ∞)D．[−1,2) ∪ (2, + ∞)
3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0, + ∞)上单调递减的是（）
1
3
|?|
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法正确的是（）
命题“∀? ∈ ?,? + 2 ≥ 0”的否定是“∃? ∈ ?,? + 2 ≤ 0”
命题“∃? ∈ ?,|?| + 1 = 0”是假命题
3 ?
A．? =
B．? =
“ a  b ”是“ a2  b2 ”的充分条件
C．? = 1−?D．? = ?3
?
下列命题是真命题的是（）
若? < ?，则??2 < ??2B．若? < ?,? > ?，则?−? > ?−?
“ x  4 ”是“ x  2 ”的充分不必要条件
10．已知二次函数? = ??2 +?? + ?的图象如图所示，下列结论正确的有
（）
C．若a  b  0, m  0 ，则? < ?+?
D．若? > ?,? > ?，则ac  bd
A．??? > 0B．? + 2? + 4? > 0
??+?
1
5．? = ???67，? = ???0.91.7，? = (
1 )0.5，则a ， b
， c 的大小关系为（）
C．方程??2 +?? + ?−4 = 0有两个不相等的实数根
A． a  b  c
3
B． a  c  b
C． c  a  b
D． c  b  a
D．方程a  x 12  b  x 1  c  0 的两根是?
= −2，?2 = 2
6．函数 f  x  ln  x 1的大致图象是（）
已知函数 f  x 的定义域为?， 对于任意实数 x, y 满足: f  x  y   f  x  f  y  1 ， 当 x  0
时， f  x  1 ， 则下列说法正确的是（）
A． f 0  1
B． f  x 为?上的增函数
A．B．
C． f  x 1为奇函数D．若 f a  6  f a2   2 ，则a 的取值范围为(−3,2)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
已知幂函数?(?) = ???的图象过点(2,8)，则? + ? = ..
已知函数?(?)是定义在?上的奇函数，当? > 0时，?(?) = ?2 +1,则当? < 0时,?(?)=.
函数 f (x)  [x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如：[−3.5] = −4，[2.1] = 2．若? = {?|? = [?] + [2?] + [3?],0 ≤ ? ≤ 1}，则 A 的子集的个数为.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13 分）设全集为?，集合? = ?|?2−5?−6 > 0,? = {?|? + 1 < ? < 2?−1}．
(1)若a  4 ，求? ∪ ?,? ∩ (???)；
(2)若(???) ∩ ? = ∅，求实数 a 的取值范围．
16.（15 分）计算下列各式的值：
− 16 1
(2)现在公司准备投入 20 亿元资金同时生产 A, B 两种型号，设投入 x 亿元生产 A 型号，用 f  x 表示公司所获净利润，当 x 为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润. (净利润= A 型毛收入+B 型毛收入 研发耗费资金)
18.(17 分)已知定义域为?的函数?(?) = −2?+?是奇函数．
2?+1
求?的值；
判断函数 f ( x) 的单调性，并用定义证明；
∃? ∈ [1,3]，使 f (kx2 )  f (2x 1)  0 成立，求实数k 的取值范围．
27
8
2
3
(1)
3 + 4(?−?)4−−6;
(2)lg3 16lg4 3 + ln ?−21+lg2 3;
(3)已知lg 2  a ， lg 3  b ，用?,?表示lg12 45.
17.（15 分）2025 年 8 月 8 日至 12 日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的 2025 世界机器人大会在北京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.这一大会的召开，标志着机器人时代正加速到来.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为?,?两种型
号，两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金 2 亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产 A 型该设备的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入 1 亿元，公司获得毛收入 0.5
亿元；生产 B 型该设备的毛收入 y (亿元)与投入的资金 x (亿元)的函
数关系为 y  kxa  x  0 ，其图象如图所示.
(1)试分别求出生产?,?两种型号设备的毛收入 y (亿元)与投入资金 x (亿元)的函数关系式；
19.（17 分）我们知道，函数?(?)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数?(?)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数?(?)的图象关于点?(?,?)成中心对称图形的充要条件是
? = ?(? + ?)−?为奇函数.若定义在?上函数?(?)的图象关于点(1,2)对称，且? ∈ [0,1]时，?(?) = ?2
−?? + ? + 1.．
(1)求?(−3) + ?(5)的值；
(2)设函数 g  x  x3  2 x2  4 .
33
函数 g  x  的图象关于点m, n 对称，求 m 的值；
若对任意?1 ∈ [0,2]，总存在?2 ∈ [1,2]，使得?(?1) = ?(?2)成立，求实数 a 的取值范围.
南充高中高 2025 级高一上学期第二次月考
数学试题参考答案
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 413. −?2−114.32
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）由已知得：? = {?|(?−6)(? + 1) > 0} = {?|? < −1或? > 6}2 分
当a  4 时，? = {?|5 < ? < 7}，所以? ∪ ? = {?|? < −1，或? > 5}4 分
??? = {?|? ≤ 5或? ≥ 7}，所以? ∩ (???) = {?|? < −1，或? ≥ 7}6 分
（2）??? = {? | −1 ≤ ? ≤ 6}，若(???) ∩ ? = ∅
当? = ∅，即? + 1 ≥ 2?−1，得? ≤ 2满足题意9 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
C
B
C
B
A
题号
9
10
11
答案
BD
ABD
ACD
当? ≠ ∅，则 ? + 1 < 2?−1或{? + 1 < 2?−1
? ≥ 5或? ∈ ∅
? + 1 ≥ 6
综上可知， a  2 或a  5
2?−1 ≤ −1，解得：
…13 分
16. (1)
1
= ( 8 )3 + |?−?|−
1
2 6 6
原式(( ) )
273
1
2 3 3
= (( 3 ) )
2
2
+（?−?)− 3
2
= 3 + ?−?− 3
= ?−?5 分
1
(2)原式 = lg3 42 ⋅ lg43 + ?? e2−2 × 2???23
1
= 2lg3 4 ⋅ lg43 + ?? e2−2 × 2???23
11
3
= 2 lg34 ⋅ lg 4 + 2 −2 × 3
= 2 + 1−6 = −7
…10 分
22
(3)
Qlg 2  lg 10  1 lg 5  a ，lg 5  1 a
5
lg 4 5lg(32 × 5)2 lg 3 + lg 5
lg12 4 5 = lg 12 = lg(3 × 22) = 2 lg 2 + lg 3
= 2?+1−?
2?+?
…15 分
17. （1）设投入资金 x (亿元)，则生产 A 芯片的毛收入? = ??(? > 0)
由已知得当? = 1时，? = 1
2
解得? = 1，故生产?芯片的毛收入? = ?(? > 0)3 分
22
将1, 3 ， 4, 6 代入? = ???
?
得 ? = 3，解得
? ⋅ 4 = 6
? = 3
? = 1
2
故生产 B 芯片的毛收入? = 3 ?(? > 0)7 分
?
（2）由题意?(?) = 2 +3 20−?−29 分
令? = 20−?，则? = 20−?2(0 < ? < 20)11 分
则? = 20−?2 +3?−2 = −1?2 +3? + 8(0 < ? < 20)
22
当t  3 时，?m?? = 12.5
即当? = 11时，利润最大，最大净利润为12.5 (亿元)15 分
18. （1）因为 f (x) 在定义域为 R 上是奇函数，所以 f (0)=0 ，
即−1+? = 0∴? = 12 分
1+1
则 f  x 
2x 1
x
，由 f x 
2x 1
 x
1 2x

x
  2x 1
  f  x
2 1
21
x
1 22 1
则当? = 1时，原函数为奇函数，∴? = 14 分
1  2x2
（2）由（1）知 f (x)  1  2x  1  2x  1
222 2x1  2x2 
任取 x1 , x2  R ，设 x1  x2 ，则 f  x2   f  x1   x x
…………7 分

2 2 12 1 1
因为函数 y  2x 在 R 上是增函数，Q x1  x2 ，∴ 2x1  2x2  0
21
又2x1 12x2 1  0 ，∴ f  x   f  x   0
2x1 12x2 1
即?(?1) > ?(?2)，∴ f (x) 在(, ) 上为减函数10 分
（3）因 f (x) 是奇函数，从而不等式：?(??2) + ?(2?−1) > 0
等价于?(??2) > −?(2?−1) = ?(1−2?)12 分
因 f (x) 为减函数，由上式推得：??2 < 1−2?
即存在 x [1,3] 有：? < 1−2?成立14 分
?2
设?(?) = 1−2? =
?2
2−2 ⋅ 1
1
?
?
令t  1 , t  1 ,1 ，则有?(?) = ?2−2? = (?−1)2−1,? ∈ [1,1]
x 3 3
∴?(?)
= ?(?)
= ?(1) = −5
max
max39
∴? < −1，即 k 的取值范围为(−∞,−5)17 分
9
19.（1）因为定义在R 上函数 f  x 的图象关于点1, 2 对称
所以 y  f  x 1  2 为奇函数2 分
∴ f  x 1  2   f x 1  2 ，得 f  x 1  f 1 x  4
则令? = 4，得?(−3) + ?(5) = 44 分
（2）（ⅰ）因为函数 g  x  的图象关于点m, n 对称，所以 y  g  x  m  n 为奇函数
所以 g  x  m  n   x  m3  2  x  m2  4  n
33
 x3  3mx2  3m2 x  m3  2 x2  4 mx  2 m2  4  n
3333
 x3   3m  2  x2   3m2  4 m  x  m3  2 m2  4  n 为奇函数，8 分
3 333

2
3m   02

所以
m3 

3
2 m2  4  n  0
33
，解得m  ……………………………………………10 分
9
（ⅱ）先证明 g  x  x3  2 x2  4 在1，  上单调递增
33
设任意的 x1 , x2 1，  ，且 x1  x2
则?(? )−?(? ) = ?3−2?2−?3 + 2?2 = (? −? ) ?2 + ? ?
+ ?2− 2 (?
+ ? )
212 3 2
13 1
212
1 21312
  x  x   x  x  2   x  x  2   x x 
21  2  23 1  13 1 2 

22
由1  x1  x2 可知， x2  x1  0 ， 0  x1  3  x2  3
所以 g  x   g  x   0 ，即 g  x  x3  2 x2  4 在1，  上单调递增
2133
∴ g  x  在区间1, 2上的值域为1, 4，记 f  x 在区间0, 2 上的值域为 B
对任意 x1 0, 2，总存在 x2 1, 2，使得 f  x1   g  x2  成立知 B  1, 4
由 f  x 的图象关于点1, 2 对称，所以只需 B  0, 4
…13 分
①当 a  0, a  0 时， f  x 在0,1上单调递增，由对称性知，
2
f  x 在1, 2上单调递增，∴ f  x 在0, 2 上单调递增，要 B  0, 4
只需 f 0  a 1  0 即可，得a  1 ，∴ 1  a  0 满足题意14 分
②当0  a  1，即0  a  2 时， f  x 在0, a  上单调递减，在 a ,1 上单调递增
2
2 
 2 
由对称性知， f  x 在1, 2  a  上单调递增，在2  a , 2 上单调递减
2 2
∴ f  x 在0, a  上单调递减，在 a , 2  a  上单调递增，在2  a , 2 上单调递减，
2 
 22 
2
∴ B   f  a  , f  2  a  或 B   f 2, f 0 ，要 B  0, 4
  2 2 
  
 a a2
24
则当0  a  2 时， f     a 1  0 ，且 f 2  4  f 0  4  a 1  3  a  0 ，
 
即a2  4a  4  a  22  8  0 ，且a  3
∴ 0  a  2 满足题意15 分
③当 a  1, a  2 时， f  x 在0,1上单调递减，由对称性知， f  x 在1, 2上单调递减
2
∴ f  x 在0, 2 上单调递减，要 B  0, 4
只需 f 0  a 1  4 即可，得a  3 ，∴ 2  a  3 满足题意16 分
综上所述， a 的取值范围为1, 3
…17 分