江苏省南京市鼓楼区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南京市鼓楼区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷（解析版），共6页。试卷主要包含了下列图形，到三角形三个顶点距离相等的点是，下列各组数等内容，欢迎下载使用。
（时间120分钟，满分150）
一．选择题（共8小题）
1.下列图形：
其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A.①②B.②③C.②④D.③④
【答案】A
【解析】1有两条对称轴；2有两条对称轴；3有四条对称轴；4不是对称图形
故选A.
2.到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A.三边高线的交点B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点D.三条内角平分线的交点
【答案】B
【解析】∵垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
故选：B．
3.下列各组数：①3、4、5，②4、5、6，③2.5、6、6.5，④8、15、17，其中是勾股数的有( )
A.4组B.3组C.2组D.1组
【答案】C
【解析】∵32+42=52，①符合勾股数的定义；
∵42+52≠62，②不符合勾股数的定义；
∵2.5和6.5不是正整数，③不符合勾股数的定义；
∵82+152=172，④符合勾股数的定义，
是勾股数的有：①④，共2组，
故选：C．
4.在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：1：2，BC=4，△ABC的面积为（ ）
A.2B.C.4D.8
【答案】D
【解析】设∠A=k，∠B=k，∠C=2k，
由三角形的内角和定理得，k+k+2k=180°，
解得k=45°，
所以，∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，
∴AC=BC=4，，
所以，△ABC的面积=．
故选D.
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两条边相交，若∠1＝40°，∠2＝23°，则∠C的度数为（ ）
A.40°B.50°C.63°D.67°
【答案】C
【解析】过作，
，
，
，，
，
，
，
故选．
6.如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，AF⊥BC于点F，若DE＝2，则AF的长为（ ）
A.3B.C.D.
【答案】B
【解析】作DH⊥BC于H，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
△ABD的面积+△CBD的面积＝△ABC的面积，
∴×4×2+×6×2＝×6×AF，
解得，AF＝，
故选B．
7.如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个.
A.3个B.4个C.5个D.6个
【答案】C
【解析】如图所示：
与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故选C．
8.如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】如图，连接，，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点恰好落在CD上，
∴AC垂直平分，
∴AB＝，
∴∠BAC＝∠，
∵AB＝AD，
∴AD＝，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵＝＝90°，
∴四边形中，＝180°−α，
∴＝−＝180°−α−90°＝90°−α，
∴∠ACB＝＝90°−α，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
9.已知直角三角形的三边长为6，8，x,则以x为边长的正方形的面积为________
【答案】100或28
【解析】当较大的数8是直角边时，根据勾股定理，得x2=36+64=100；
当较大的数8是斜边时，根据勾股定理，得x2=64-36=28．
所以以x为边长的正方形的面积为100或28．
故答案是：100或28.
10.等腰三角形底边为6，则腰长m范围是_____．
【答案】m＞3
【解析】等腰三角形的腰长为m，
∵等腰三角形的底边长6，等腰三角形的两腰相等，
∴2m＞6，
∴m＞3．
故答案为m＞3．
11.如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】设牙刷的长度为，
∵将一根长为的牙刷，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，
∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，，
最长时等于牙刷斜边长度是：，
∴的取值范围是：，
即．
故答案为：．
12.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值__________．
【答案】或
【解析】①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：
∴特征值
②当为底角时，顶角的度数为：
∴特征值
综上所述，特征值为或．
故答案为或．
13.如图，，点P是边上一个动点（不与点O重合），当的度数为_____时，为直角三角形.
【答案】或
【解析】因为为直角三角形，可知.
当时，
，
，
综上或
14.如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积为__________．
【答案】16
【解析】∵AB=AD，∠BCA=∠AED=90°，
∴∠ABC=∠DAE，
∴ΔBCA≌ΔAED(ASA)，
∴BC=AE，AC=ED，
故AB²=AC²+BC²=ED²+BC²=11+5=16，
即正方形b的面积为16.
15.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为______．
【答案】或
【解析】如图，当顶角为钝角时，
则顶角为，
此时的底角为；
如图，当顶角为锐角时，
则顶角为，
此时的底角为；
综上所述，底角的度数为或，
故答案为：或．
16.在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交边BC于点D，边AC的垂直平分线FG交边BC于点F，若∠DAF＝30°，则∠BAC＝___．
【答案】105°或75︒
【解析】分两种情况：①如图所示，当∠BAC≥90°时，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAF，
∴∠BAD+∠CAE+∠B+∠C=180°-∠DAF，
∵∠DAF＝30°，
∴∠BAD+∠CAE=
∴∠BAC=∠DAF+∠BAD+∠CAE =30︒+75︒=105︒；
②如图所示，当∠BAC＜90°时，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAF，
∴∠BAD+∠CAF+∠B+∠C=180°+∠DAF，
∵∠DAF＝30°，∴∠BAD+∠CAF=105°，
∴∠BAD+∠CAF=∠BAF+∠DAF+∠DAF+∠CAD=∠BAC+∠DAF=105︒
∴∠BAC=105︒-∠DAF=105︒-30︒=75︒
故答案为：105°或75︒．
17.如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝___°．
【答案】
【解析】延长AP交格点于D，连接BD，
由勾股定理得：，
∵，∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，∴，
故答案为
18.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是______．
【答案】或5或8．
【解析】如图，
（1）当在△ADE中，DE=5，当AD=DE=5时为等腰三角形，此时m=5.
(2)又AC=5，当平移m个单位使得E、C点重合，此时AE=ED=5,平移的长度m=BC=8,
(3)可以AE、AD为腰使ADE为等腰三角形，设平移了m个单位：
则AN=3,AC=，AD=m，
得：，得m=,
综上所述：m为或5或8，
所以答案：或5或8．
三．解答题（共10小题）
19.如图，有三幢公寓楼分别建在点A、点B、点C处，是连接三幢公寓楼的三条道路，要修建一超市P，按照设计要求，超市要在的内部，且到A、C的距离必须相等，到两条道路的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市P的位置．（不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）．
解：如图，P点即为所作．
20.如图：在和中，，，，，，试利用图形证明勾股定理．
证明：∵，，，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，即，
由题意可得，，
直角梯形面积为
则，
化简可得，，即可求证．
21.如图，四边形中，，．求证：．
证明：连接，
∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22.如图，直线l与m分别是边和的垂直平分线，l与m分别交边于点D和点E．
（1）若，则的周长是多少？为什么？
（2）若，求的度数．
解：（1）周长为10．
∵直线l与m分别是边和的垂直平分线，
∴，
∴的周长；
（2）∵直线l与m分别是边和的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
23.如图，在一颗树上10米高的D处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20米处的池塘B处，另一只猴子爬到树顶A处直跃向池塘的B处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这颗树有多高？
解：根据题意得，米，米，
设，
∴，
∴
∵
∴，
即
∴
∴
∴．
答：这棵树的高度为15米．
24.如图所示，，平分，，，求的面积．
解：如图，过作于，于，
平分，
，
设，
根据，
可得，
解得，
．
25.在中，分别是高，M为的中点，N为的中点，求证：．
证明：如图，连接，，
由分别是高可得，，
∵M为的中点，
∴，即为等腰三角形，
∵N为的中点，∴．
26.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝38°，∠C＝71°．求证：AB+AD＝BC．
证明：如图，延长BA交CD的延长线于E．
∵∠B＝38°，∠C＝71°．
∴∠E＝180°﹣38°﹣71°＝71°，
∴∠E＝∠C，∴BE＝BC，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠C＝71°，
∴∠E＝∠ADE，∴AD＝AE，
∴AB+AD＝AB+AE＝BC
27.如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？
解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，
由题意可得，，，
由勾股定理可得，，
答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是．
28.如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
（1）出发2秒后，求的面积；
（2）当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？
（3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
解：（1）(1)，，
，；
（2）由勾股定理得：
，
根据题意得：，
，
当在上时有，解得，由题知，即，
若能把的周长平分，则，
即，解得，
此时，
不合题意，
点在边上运动时，通过计算不能把周长平分；
（3）①当时，如图所示：
则，
，
，
，
，
，
，
，
秒，
②当时，如图所示：
，
，
秒，
③当时，如图3所示：
过点作于点，
则，
，
，
，
秒．
由上可知，当为秒或6秒或秒时，为等腰三角形．