2025年上海市曹杨二中高一上学期期中数学试卷及答案解析

这是一份2025年上海市曹杨二中高一上学期期中数学试卷及答案解析，共19页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将姓名等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.
2、本试卷共有20道试题，满分100分，考试时间90分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上.
一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分，共42分）
1. 已知，则______．
2. 当时，式子的值是________.
3. 已知幂函数的图象不过原点，则实数m的值为__________.
4. 使不等式中等号成立的x的取值范围是__________.
5. 已知，若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________.
6. 已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________.
7. 设，，用表示的结果为__________
8. 已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为__________.
9. 已知函数，若，则的最小值为_____________.
10. 已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是__________.
11. 集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________.
12. 已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则___
二、选择题（本大题共有4题，每题4分，共16分）
13. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
14. 在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
15. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
16. 已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a可能的取值有（ ）个.
A. 2B. 3C. 4D. 5
三、解答题（本大题共有4题，共42分）
17. 已知，，.
（1）若，求；
（2）若是的充分条件，求a的取值范围.
18. 美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.

（1）试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金）
19. 已知，，设关于x不等式的解集为A.
（1）若，求a的取值范围；
（2）当时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围；
（3）若关于x的不等式的解集为，求a的取值范围.
20. 对于任意实数c，d（），定义区间，，，的长度均为.若集合I是若干个两两交集为空集的区间的并集，则把这些区间的长度的和称为I的长度，特别地，记正整数集，且，若对任意的，2，…，，区间的长度始终不小于恒成立，则称该集合为“称心集”.
（1）若的解集为B，求集合B的区间长度；
（2）若关于x的不等式组的解集构成的各区间长度之和为5，求实数t的取值范围；
（3）求“称心集”中元素个数的最大值，并说明理由.
参考答案及解析：
上海市曹杨二中2025学年度第一学期
高一年级期中考试数学试卷
考生注意：
1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.
2、本试卷共有20道试题，满分100分，考试时间90分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上.
一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分，共42分）
1. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，即可求解.
【详解】因为，所以或，解得.
当时，，符合题意；
当时，，不符合集合元素互异性，舍去，
综上所述，，
故答案为：
2. 当时，式子的值是________.
【答案】0
【解析】
【分析】利用根式的运算性质化简即可.
【详解】因为，所以.
故答案为：0.
3. 已知幂函数的图象不过原点，则实数m的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，系数为，不过原点指数小于等于即可得
【详解】根据幂函数定义，系数，解得或，
为使图象不过原点，指数，即，所以.
故答案为：
4. 使不等式中等号成立的x的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】就、、分类讨论后可得x的取值范围.
【详解】当时，等号成立即为，故；
当时，等号成立即为，故；
当时，等号成立即为，故；
综上，使得不等式等号成立的x的取值范围是.
故答案为：.
5. 已知，若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的图像和性质求解一元二次不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为，
根据二次函数的图像和性质可得，，解得.
故答案为：.
6. 已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由韦达定理得到和，代入解出的值，根据判别式判断是否符合题意.
【详解】因为，是的两个实根，由韦达定理得，
所以，即，解得或，
判别式，
当时，，方程无实根，舍去，
当时，，有两个实根，符合条件，
故答案为：.
7. 设，，用表示的结果为__________
【答案】
【解析】
【分析】由对数的运算性质即可得解.
【详解】，
故答案为：
8. 已知，幂函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a的值为__________.
【答案】或
【解析】
【分析】对进行讨论，通过函数的单调性进行求解即可.
【详解】①当时，单调递增，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得；
②当时，单调递减，所以函数的最大值为，最小值为，所以差为，解得；
③当时，差为（舍去）0.
故答案：或
9. 已知函数，若，则的最小值为_____________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意结合图象可得，且，结合基本不等式运算求解.
【详解】作出函数的图象，如图所示，
因为，且，所以，
所以，则，可得，
即，且，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
10. 已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据方程解与函数零点的关系，结合函数零点存在性定理解不等式即可求解.
【详解】因为关于x的方程有负根，所以有负根.
根据单调性的性质可知：函数的定义域为，且在和上单调递增.
当时，在上单调递增，当时，，，，
根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得；
当时，，若时，，，则恒成立，函数在上无零点；
当时，在和上单调递增，
当时，，，，故函数在上无零点；
当时，时，，，，
根据零点存在性定理可得：要使有负根，则，解得.
综上，a的取值范围是.
故答案为：.
11. 集合有8个元素，设M的所有非空子集为（，2，…，255），每一个中所有元素乘积为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】将的所有非空子集进行分类，含0的，不含0却含，既不含0，也不含，只含的，进而求出答案.
【详解】的所有非空子集为分为以下几种情况，
①含0的子集个，这些子集均满足乘积为0，
②不含0，不含，但含有其他元素的子集，有（去掉空集）个，
③不含0，含有且含有其他元素子集，有个，
④只含的子集一个，此时乘积为，
其中②③中的集合是一一对应的，且为相反数，其乘积之和为0，
综上，.
故答案为：
12. 已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则___
【答案】e4
【解析】
分析】
对等式两边取为底的对数，变形可得，，从而可知所以和是方程的根，结合方程有唯一根可得，再结合，即可得，即可求出.
【详解】实数，满足，，，
所以，，
即，，
所以和是方程的根，
由于方程的根唯一，
所以，所以，整理得，
所以．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是等式两边取为底的对数，得到和是方程的根及方程的根唯一得到.
二、选择题（本大题共有4题，每题4分，共16分）
13. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质一一分析选项即可.
【详解】因为，所以，所以A、B错误；
易知，所以，则，即，所以C错误；
而根据同向同正可乘性知，即D正确.
故选：D
14. 在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可．
【详解】解：函数的是指数函数，且，排除选项C，
如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，
所以B正确；
对称轴在x轴左侧，C不正确；
如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．
故选：B．
15. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.
【详解】因为，，且，
则
，
当且仅当，即，时取等号，
可得，
因为恒成立，即恒成立，
可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
16. 已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（ ）个.
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值.
【详解】由题意可知，，故，
由题中定义可得，或.
由题意可知，为关于方程的一根.
当时，则，则方程只有一个实根，可得，
此时，方程无实根，则满足条件；
当时，则关于的方程有三个根，必有，
此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论：
①若是方程的一根时，则，解得.
当时，则，合乎题意；
当时，则，合乎题意；
②当方程有两个相等的实根，则，解得.
当时，，合乎题意；
当时，，合乎题意.
综上，a的可能的取值为
故选：D.
三、解答题（本大题共有4题，共42分）
17. 已知，，.
（1）若，求；
（2）若是的充分条件，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)求出集合，根据补集的定义即可求出；
(2)明确,结合集合的区间表示即可确定a的取值范围
【小问1详解】
解不等式，得，所以
【小问2详解】
解不等式，得，
因为是的充分条件，所以,
因为恒成立，所以，
所以或，
即或，解得或，
故
18. 美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.近年来，某公司已成功研发A、B两种芯片，研发芯片前期已经耗费资金3千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的净收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得净收入0.2千万元；生产B芯片的净收入y（千万元）是关于投入的资金x（千万元）的幂函数，其图象如图所示.

（1）试分别求出生产A、B两种芯片的净收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入5亿元资金同时生产A、B两种芯片.设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.（利润＝A芯片净收入＋B芯片净收入－研发耗费资金）
【答案】（1），
（2）最大利润，生产B投入
【解析】
【分析】（1）结合已知条件和图像分别求解即可；
（2）根据已知条件写出的解析式，并利用二次函数性质求解即可.
【小问1详解】
不妨设生产芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式为：，
从而，故；
芯片的净收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系式，
由图像可知，的图像过点，即，解得，
故所求函数关系式为.
【小问2详解】
由题意可知，，，
由二次函数性质可知，当时，即时，有最大值.
即投入千万时，利润最大，最大值为千万.
19. 已知，，设关于x的不等式的解集为A.
（1）若，求a的取值范围；
（2）当时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围；
（3）若关于x的不等式的解集为，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题设有，故可求；
（2）就、、分类讨论后可求的取值范围；
（3）原不等式等价于，从而在上恒成立，参变分离后可求的取值范围.
【小问1详解】
因为，故，故，故.
【小问2详解】
即为，故，
若，则，故不等式的解为，
因为不等式有且仅有两个整数，故即；
若，不等式的解集为空集，不合题意，舍；
若，则，故不等式的解为，
此时无整数解，舍；
综上，.
【小问3详解】
即为或者，
也就是，
而时，恒成立，故时，需恒成立，
也就是在上恒成立，
故，故在上恒成立，
而当时，恒成立，故，
当时，设，则，
由双勾函数的单调性可得在为增函数，
故，故，故.
20. 对于任意实数c，d（），定义区间，，，的长度均为.若集合I是若干个两两交集为空集的区间的并集，则把这些区间的长度的和称为I的长度，特别地，记正整数集，且，若对任意的，2，…，，区间的长度始终不小于恒成立，则称该集合为“称心集”.
（1）若的解集为B，求集合B的区间长度；
（2）若关于x的不等式组的解集构成的各区间长度之和为5，求实数t的取值范围；
（3）求“称心集”中元素个数的最大值，并说明理由.
【答案】（1）2 （2）
（3）9，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先去绝对值，然后求出不等式解集，进而可得到集合的区间长度.
（2）先求出不等式的解集，然后根据不等式组解集的长度求出区间范围为，然后求出的范围.
（3）将代入不等式，然后将式子相加化简，然后求出的最大值即可.
【小问1详解】
因为，当时，即时，
，解得，此时；
当时，即时，，
解得，此时；
所以，所以集合的区间长度为2.
【小问2详解】
，化简得，解得该不等式的解集为.
，化简得，
所以，即，且，
设该不等式的解集为，则，因为不等式组的解集构成的各区间长度之和为5，
所以，所以在时恒成立，
当时，恒成立，可得；
当时，恒成立，即恒成立，
而在上单调递减，所以，所以.
综上可得的取值范围为；
【小问3详解】
因为，所以，，可得，
因此. 同时，又因为，可得，
所以均成立. 当时，取，
则，故可知.
又当时，，所以.
因此，“称心集”中元素个数的最大值为.