上海市华东师大附中2025-2026学年高二上学期期中数学试卷及答案

这是一份上海市华东师大附中2025-2026学年高二上学期期中数学试卷及答案，共25页。
一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1. 直线的倾斜角为__________.
2. 双曲线的实轴长为__________．
3. 若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为__________.
4. 已知圆的面积为，则实数__________.
5. 焦点在x轴的正半轴，且焦点到准线的距离为4的抛物线标准方程为________.
6. 已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为__________.
7. 若圆与圆内切，则等于__________.
8. 如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距__________.

9. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则__________.
10. 若直线l经过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段中点的横坐标为2，则线段的长为___．
11. 已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________.
12. 设动点到两定点和距离分别为和，且存在常数，使得.过点的直线与动点的轨迹交于两点，且两点的横坐标都大于是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则____.
二､选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13~14题每题选对得4分，第15~16题每题选对得5分，否则一律得零分.
13. 用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（ ）最接近圆.
A. B.
C. D.
14. 已知曲线．下列结论错误的为（ ）
A. 若，则是圆，其半径为
B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则两条直线
15. 若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（ ）
A. 1种B. 2种C. 3种D. 无数种
16. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为点，此最近距离为.当点在曲线.上运动时，有如下两个命题：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是，则（ ）
A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立
C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立
三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 已知直线，直线.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离.
18. 已知双曲线，其右顶点为，右焦点为.
（1）求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程；
（2）设直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.求直线被（1）中圆截得的弦长.
19. 在沿海或岛屿上选择三个适当地点，建立一个主导航台和两个副导航台.船上的定位仪能接收从三个台发来的无线电信号.现设导航台和相距500海里，在船的定位仪上读得两台同时发出的无线电信号到达的时间差为（表示微秒，）.已知无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒.以的方向为轴正方向､线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系.
（1）试确定船所在的曲线的方程（数值精确到整数）；
（2）已知副导航台坐标为，三个台同时发出无线电信号，船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0，求船的位置（数值精确到整数）.
20. 已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关；
（3）若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式.
21. 已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去.
（1）若，求；
（2）若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标；
（3）若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值.
参考答案及解析：
华东师大二附中2025学年第一学期期中考试卷
高二数学
（考试时间：120分钟 卷面满分：150分）
一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1. 直线的倾斜角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出直线的斜率，再根据斜率公式可得到倾斜角.
【详解】将直线方程化为：
因此，斜率 .
直线倾斜角 满足：，
所以：.
故答案为：
2. 双曲线的实轴长为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程和实轴的定义可得答案.
【详解】由知，，所以，
所以实轴长.
故答案为：6
【点睛】本题考查了由双曲线的标准方程以及几何性质，属于基础题.
3. 若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，直接求出椭圆标准方程.
【详解】椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则短半轴长，
所以该椭圆的标准方程为.
故答案为：
4. 已知圆的面积为，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】由圆的面积得到圆的半径，由圆的一般方程得到圆的标准方程，从而解出的值.
【详解】因为圆的面积为，所以
由得，即，
所以，解得.
故答案为：.
5. 焦点在x轴的正半轴，且焦点到准线的距离为4的抛物线标准方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用焦点到准线的距离公式得到答案.
【详解】焦点到准线的距离为4，则
又焦点在x轴的正半轴，故抛物线标准方程为
故答案为
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，属于简单题.
6. 已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆定义得到，，从而得到三角形周长.
【详解】
由椭圆方程为，得，
因为点在椭圆上，所以，，
所以的周长为，
故答案为：.
7. 若圆与圆内切，则等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两个圆内切时，圆心距和两个圆的半径之间的关系求解.
【详解】圆，圆心为（0,0），半径为2；
圆，转化为标准形式： ，即圆心为（a，0），半径为1；
当两圆内切时，圆心距 ，解得
故填：
【点睛】本题考查了两个圆的位置关系，当两个圆内切时，圆心距等于两个圆的半径之差的绝对值.
8. 如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距__________.

【答案】##
【解析】
【分析】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，利用代入法进行求解即可；
【详解】
以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度，
则可设抛物线的标准方程为.
灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为，
代入抛物线方程得，
解得，则焦点坐标为.
故光源应安置在与顶点相距处；
故答案为：
9. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆的定义及标准方程结合题中条件得到关系式，进一步计算即可.
【详解】因为是边长为1的等边三角形，
则，
所以，
又，
所以，
则
故答案为：
10. 若直线l经过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段中点的横坐标为2，则线段的长为___．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据焦点半径公式得焦点弦长，由此计算．
【详解】设，则，抛物线中，
所以．
故答案为：6．
11. 已知椭圆，是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用点差法可得到，进一步可得到线段的垂直平分线的方程，令，可得到，再根据的范围可得答案.
【详解】设，
因为 和 在椭圆上，所以：，两式相减得：
，
设 的中点为 ，
则：，
的斜率 ，因此：，
设线段的垂直平分线的斜率 满足 ，因此：
线段的垂直平分线过中点 ，其方程为：，
令 ：，
因为 的中点在椭圆内部，所以
所以.
故答案为：
12. 设动点到两定点和距离分别为和，且存在常数，使得.过点的直线与动点的轨迹交于两点，且两点的横坐标都大于是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理得动点到两定点的距离之差为常数，从而确定轨迹为双曲线并求得其方程，根据是以点为直角顶点的等腰直角三角形，结合双曲线的定义列出方程组，求解得到的值.
【详解】在中，
，
则，
故点的轨迹是以和为焦点，
实轴长为的双曲线，
方程为，
在中，
设
因为是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
则，
由②和③得
则，
由⑤得，
即，
解得，符合题意，
故答案为：

二､选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13~14题每题选对得4分，第15~16题每题选对得5分，否则一律得零分.
13. 用离心率作为衡量指标，下列四个椭圆中（ ）最接近圆.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆方程计算离心率，越接近圆则离心率越小，即可得答案.
【详解】A：，则；
B：，则；
C：即，，则；
D：即，，则；
因为，所以选项B中椭圆离心率最小，故最接近圆.
故选：B
14. 已知曲线．下列结论错误的为（ ）
A. 若，则是圆，其半径为
B. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则是两条直线
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，由，方程变形为，
该方程表示半径为的圆，故A错误；
对于B，当时，有，
方程化为，表示焦点在y轴上椭圆，故B正确；
对于C，由知曲线表示双曲线，其渐近线方程为，故C正确；
对于D，当时，方程变为表示两条直线，故D正确．
故选：A
15. 若点到直线的距离都等于7，则直线的不同位置有（ ）
A. 1种B. 2种C. 3种D. 无数种
【答案】C
【解析】
【分析】分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论，再利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
由题意可得，
所以当直线的斜率不存在时可得；
当直线的斜率为零时可得或，
故选：C.
16. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为点，此最近距离为.当点在曲线.上运动时，有如下两个命题：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是，则（ ）
A. ①成立，②成立B. ①成立，②不成立
C. ①不成立，②成立D. ①不成立，②不成立
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知当点P的纵坐标大于等于1、小于1时，确定点的位置，结合图形，可得点的轨迹方程；记，则，当且仅当共线时取等号.
【详解】由题意知，点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部，如图，
当点在曲线上是以为圆心以为半径的圆，
当点P的纵坐标大于或等于1时，在上述正方形的左下顶点，如图，
取，则，所以四边形是平行四边形，所以，
所以点的轨迹是以为圆心以2为半径的圆弧，
此时点的轨迹方程为；
当点P的纵坐标小于1时，在上述正方形的左侧边与x轴的交点，如图，

此时点的轨迹方程为，
所以点的轨迹方程为，故①错误；
记，如图，

结合图形，则，
又，所以，
左侧等号当且仅当依次共线时取到，
右侧等号当且仅当依次共线时取到，故②正确.
故选：C.
三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 已知直线，直线.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值，并求平行直线和之间的距离.
【答案】（1）或
（2），距离为
【解析】
【分析】（1）由垂直得到，解出的值；
（2）由平行得到，解出或，分别检验是否重合，再由平行线间距离公式求距离.
【小问1详解】
因为，所以，即，解得或，
所以实数的值为或.
小问2详解】
因为，所以，即，解得或，
当时，，即，此时与重合，不合题意；
当时，即，即，符合题意，
此时平行直线和之间距离.
18. 已知双曲线，其右顶点为，右焦点为.
（1）求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程；
（2）设直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.求直线被（1）中圆截得的弦长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用圆心到渐近线的距离公式求得半径，结合圆心坐标求解；
（2）得到直线方程，利用弦长公式计算.
【小问1详解】
因为双曲线，
故右顶点的坐标为，
其渐近线方程为，
则点到渐近线的距离为，
即所求圆的半径为，
则所求圆的标准方程为
【小问2详解】
依题可知直线的斜率为，
又的坐标为，
所以直线的方程为，
即，
则圆心到直线的距离为，
所以弦长为
19. 在沿海或岛屿上选择三个适当的地点，建立一个主导航台和两个副导航台.船上的定位仪能接收从三个台发来的无线电信号.现设导航台和相距500海里，在船的定位仪上读得两台同时发出的无线电信号到达的时间差为（表示微秒，）.已知无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒.以的方向为轴正方向､线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系.
（1）试确定船所在的曲线的方程（数值精确到整数）；
（2）已知副导航台的坐标为，三个台同时发出无线电信号，船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0，求船的位置（数值精确到整数）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据题意求出的值，再根据双曲线的定义判断，最后根据双曲线的标准方程即可求出；
（2）根据题意求出线段的垂直平分线的方程，再联立双曲线方程，解方程即可.
【小问1详解】
设船的坐标为，导航台和相距500海里，即，即，
两台同时发出的无线电信号到达的时间差为，无线电在空气中传播的速度为161987海里/秒，
可得海里，即，
,根据双曲线的定义可知船所在的曲线是以为焦点的双曲线，
，
双曲线的焦点在轴上，故其标准方程为，
故船所在的曲线的方程为.
【小问2详解】
船先收到了发来的信号，又读得和发出的无线电信号到达的时间差为0，
，船在线段的垂直平分线上，
又，线段的中点坐标为，
直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为，
线段的垂直平分线的方程为，
联立，得，得，
解得或，
当时，；当时，，
船先收到了发来的信号，故船在双曲线的右支上，
故船的位置为.
20. 已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关；
（3）若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据准线方程求出，即可求出抛物线的方程.
（2）设直线方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算得证.
（3）设，用表示，再借助二次函数的性质求出.
【小问1详解】
由抛物线的准线方程为，得，解得，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
设直线：，点，
由消去得，则，
因此，为常数，
所以的值与直线的倾斜角的大小无关.
【小问3详解】
设，则，，，
令，函数图象的对称轴为直线，
当，即时，，则；
当，即时，，则，
所以.
21. 已知椭圆.定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去.
（1）若，求；
（2）若，点是椭圆上一点，且位于轴的上方，是椭圆的两个焦点，是等腰三角形，求点的坐标；
（3）若是在第一象限与不重合的一点，求证：的面积为定值，并求出该定值.
【答案】（1）
（2），，
（3）证明见解析；定值为
【解析】
【分析】（1）根据条件写出椭圆的方程，利用点斜式写出直线的方程，将两者联立消元得到关于x的一元二次方程，解出x的值，便可得到坐标，再由与关于x轴对称，所以,坐标，所以得到得值；
（2）先写出椭圆的方程，得到的长度，是等腰三角形，分三种情况求解，当时，点在椭圆的短轴上顶点，直接得到点坐标；当时，设出点坐标，利用点在椭圆上和列方程求出点坐标，当，根据椭圆的对称性得到点坐标；
（3）先假设出的坐标，利用点斜式得到直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到坐标，进而得到，类比得到坐标，由两点间的距离公式得到，点斜式得到直线，算出的高，利用三角形面积公式写出表达式，证明其为定值.
【小问1详解】
当时，椭圆，
因为，所以直线为，即，
代入椭圆方程，得，即，
当时，所以,
因为与关于轴对称，所以，所以.
【小问2详解】
若，则椭圆，焦点为,则，
因为是等腰三角形.
当时，点在椭圆的短轴上顶点，故；
当时，设，则 ①
因为在椭圆上，所以 ②
由①、②得到，解得，（舍去） ，所以.
所以；
当时，根据椭圆的对称性得到；
综上得，点坐标为，，
【小问3详解】
证明：设斜率，过点的直线的方程为 ，
即；
联立方程
得到
设由韦达定理 ，所以，代入，得到，所以
所以，
根据与的坐标关系，由坐标得到，
所以；
由两点间的距离公式得到
所以由点斜式得到直线的方程为： ，即
点到直线的距离为 ，
所以的面积为
因为点在椭圆上，所以 ，所以，将其代入三角形面积公式得到.
所以的面积为定值.