上海市上海交通大学附属中学2026届高三上学期期中数学试卷及参考答案

这是一份上海市上海交通大学附属中学2026届高三上学期期中数学试卷及参考答案，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.对于任意实数a、b、c，当a>b时，下列不等式总是成立的是( )
A. 1a>1bB. a2>b2C. ac>bcD. a3>b3
2.抛掷一枚骰子2次，记事件A为“2次所得点数和为7”.下列事件中，与事件A相互独立的是( )
A. 第1次所得点数为1B. 2次中至少有1次所得点数为1
C. 2次所得点数均为1D. 2次中恰有1次所得点数为1
3.如图所示，圆心为原点O的单位圆的上半圆周上，有一动点P(x,y)(y>0).设A(1,0)，点B是P关于原点O的对称点．分别连结PA、PB、AB，如此形成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点P的个数是( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
4.平面上，取定一个非零向量d，对于该平面上的圆锥曲线Γ以及不在Γ上的一点P，集合{ λ存在Γ上的点Q，满足PQ=λd，λ>0}的元素个数(这里约定⌀元素个数为0)称为点P依d对Γ的阶数，简称阶数.给出下面两个命题：
①设Γ是以F1、F2为焦点，长轴长为2a的椭圆.若点P满足PF1+PF20.数列bn满足bn=fan+1−fan+d⋅f′an．
(1)设f(x)=e2x，a1=1，d=1，求b1；
(2)设f(x)=lnx，数列an的公差d=1，求证：数列bn是严格增数列；
(3)设f(x)=sinx，是否存在a1和d，使得数列bn是等比数列？若存在，求出d的最小值；若不存在，说明理由．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.A
5.1,2,3
6.(0,3)
7. 5
8.20
9.−7
10.32π3
11.2
12.[67,+∞)
13.2880
14.43
15.21
16.1+ 2/ 2+1
17.【详解】(1)连接EC，设EB与AC相交于点O，如图，
因为BC//AD，且BC=12AD=AE，AB⊥AD，
所以四边形ABCE为矩形，
所以O为EB的中点，又因为G为PB的中点，
所以OG为▵PBE的中位线，即OG//PE，
因为OG⊄平面PEF，PE⊂平面PEF，
所以OG//平面PEF，
因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以EF//AC，
因为AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF，
所以AC//平面PEF，
因为OG⊂平面GAC，AC⊂平面GAC，AC∩OG=O，
所以平面PEF//平面GAC.
(2)因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，因为AB⊥AD，
所以PA,AB,AD两两互相垂直，
以A为原点，AB,AD,AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则A(0,0,0)，G(1,0,1)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,2)，
所以GC=(1,2,−1)，PC=(2,2,−2)，PD→=(0,4,−2)，
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PD=0n⋅PC=0，所以4y−2z=0x+y−z=0,
令y=1，可得z=2，x=1，所以n=(1,1,2)，
设直线GC与平面PCD所成角为θ，则sinθ=n⋅GCnGC=1×1+2×1+(−1)×2 6× (1)2+22+(−1)2=16，
所以直线GC与平面PCD所成角的正弦值为16．

18.【详解】(1)依题意得：f′(x)=ex(lnx−a)+ex⋅1x=exlnx−a+1x，
曲线在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，即切线斜率为0，故f′(1)=0，
代入x=1得：f′(1)=e1ln1−a+11=e(0−a+1)=e(1−a)=0，解得a=1；
(2)依题意得：ex(lnx−a)≥−1⇒a≤lnx+1ex，
令g(x)=lnx+1ex，则需a≤g(x)min对x∈[1,+∞)成立，
对g(x)求导得：g′(x)=1x−1ex=ex−xxex，
令h(x)=ex−x，则h′(x)=ex−1，当x≥1时，h′(x)>0，故h(x)在[1,+∞)上单调递增；
h(x)≥h(1)=e−1>0，因此g′(x)=h(x)xex>0，即g(x)在[1,+∞)上单调递增；
g(x)在[1,+∞)上单调递增，故g(x)min=g(1)=ln1+1e1=1e，
因此，a≤1e，即实数a的取值范围为−∞,1e．

19.【详解】(1)由(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，
解得a=0.030；
(2)因为(0.005+0.010+0.020)×10=0.35，
(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，
所以样本数据的第62百分位数在[70,80)内，所在区间的组中值为75；
(3)样本数据落在[50,60)的个数为0.1×100=10，
落在[60,70)的个数为0.2×100=20，
x=1010+20×52+2010+20×64=60，
总方差σ2=1010+206+(52−60)2+2010+203+(64−60)2=36．
故落在[50,70)中的样本数据的平均数60和方差36．

20.【详解】(1)椭圆Γ:x24+y2=1长轴的顶点为(±2,0)，焦点为± 3,0，
设所求双曲线方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，所以c=2a= 3，则b= c2−a2=1，
所以双曲线方程为x23−y2=1；
(2)依题意直线l的斜率不为0，设Dx1,y1，Ex2,y2，过点B(−1,0)的直线l为x=my−1，
与x24+y2=1联立得：m2+4y2−2my−3=0，
又Δ=4m2+12m2+4>0恒成立．
所以y1+y2=2mm2+4，y1⋅y2=−3m2+4，
所以S▵ADE=12×3×y1−y2=12×3× y1+y22−4y1⋅y2
=32 2mm2+42−4×−3m2+4=6 m2+3m2+4= 5，
解得m2=2(负值已舍去)，所以m=± 2，直线的方程l为：x± 2y+1=0．
(3)由(2)可知，x1+x2=my1+y2−2=−8m2+4，
x1⋅x2=m2y1⋅y2−my1+y2+1=−4m2+4m2+4，
直线AD的方程为y=y1x1−2(x−2)，令x=0，得yM=−2y1x1−2，
直线AE的方程为y=y2x2−2(x−2)，令x=0，得yN=−2y2x2−2，
记以MN为直径的圆与x轴交于P，Q两点，
由圆的弦长公式可知，|PQ|22=yM−yN22−yM+yN22=−yM⋅yN
=−−2y1x1−2⋅−2y2x2−2=−4y1⋅y2x1⋅x2−2x1+x2+4
=−−12m2+4−4m2+4m2+4+16m2+4+4=−−12m2+436m2+4=13，
所以|PQ|=2 33．

21.【详解】(1)因为f′(x)=2e2x，a1=1，d=1，
所以a2=a1+d=2，
b1=fa2−fa1+f′a1=f(2)−f(1)+f′(1)=e4−e2+2e2=e4−3e2.
(2)由题意，f′(x)=1x，bn=lnan +1−lnan−1an=ln1an+1−1an，
设g(x)=ln(x+1)−x,x>0，则g′(x)=1x+1−1