湖南省雅礼中学2026届高三月考（四）数学试题与解析

这是一份湖南省雅礼中学2026届高三月考（四）数学试题与解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.下列写法正确的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据集合和集合的关系用包含表示，故 ， ， ，空集没有元素，故 ，综上只有 A 正确.
2.已知 ,则下列不等关系正确的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于 ,当 时, ,显然不满足 ,故 错误;
对于 ,
因为 ,若 ,则 且 ,可得 ,这与 矛盾,
所以 ,且 ,故 ,故 ,故 B 正确;
对于 ,当 时, ,显然不满足 ,故 错误;
对于 ,当 时,满足 ,但 显然不成立,故 错误.
3.下列说法错误的是
A. 同平面向量一样, 任意两个空间向量都不能比较大小
B. 是向量 的必要不充分条件
C. 只有零向量的模等于 0
D. 共线的单位向量都相等
【答案】D
【解析】选项A，由空间向量的定义知, 空间向量具有大小和方向, 所以任意两个空间向量不能比较大小, 故 A 正确；选项 B，两个向量模长相等，方向不一定相同，充分性不成立，两个相等向量模长一定相等，必要性成立，故 B 正确；选项 C，长度为 0 的向量叫做零向量，只有零向量的模长等于 0，故 C 正确；选项 D，共线的单位向量是相等向量或相反向量, 故 D 错误.
4.等比数列 中, ,记 为数列 的前 项积,则 的最大值是
A. 256 B. 512 C. 1024 D. 2048
【答案】C
【解析】设公比为 ,由 得
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以当 或 时, 取得最大值 10 ,
又 ,所以 的最大值是 .
5.如图，二面角 的棱上有两点 ， ，线段 与 分别在这个二面角的两个半平面内,并且都垂直于棱 ,若 3， ， ，则二面角 的大小为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ,则二面角 的大小为 ,
由题意， ，则 ，
所以 ,
即 ,得 ,所以 ,
即二面角 的大小为 .
6.已知数列 满足递推关系 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意， ，由 ，得 ，即 ，而 ， 因此数列 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，则 ， 所以 .
7.若实数 满足 ,则 的最小值为
A.1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】原方程化为 ,令 ,则
. 其中 .
8.已知正四面体P-ABC内接于球O,点E是底面三角形 的边 的中点,过点 作球 的截面,若存在半径为 的截面圆,则正四面体 棱长的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,在正四面体 中,设顶点 在底面三角形 的射影为 ,
则球心 在 上, 在 上,且 ,连接 ,
设正四面体 的棱长为 ,则 ,
则正四面体的高 ,
设外接球半径为 ,
在 中, ,即 ,解得 ,
所以在 中, ,
过点 作外接球 的截面,当 截面圆所在的平面时,截面圆的半径最小,
此时截面圆的半径为 ,
最大截面圆为过球心的大圆,半径为 ,
由题设存在半径为 的截面圆,所以 ,解得 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若复数 满足 其中 为虚数单位),则下列说法正确的是
A. 奋复平面内対应的点位于第四象限
B. ( 是 的共轭复数)
C.
D. 若 ,则 的最大值为
【答案】ABD
【解析】 ,
在复平面内 所对应的点坐标为 ,在第四象限,故 正确;
,故 B 正确;
,故 C 错误;
对于 ,则复平面内表示复数 的点 的集合是以 为圆心,2为半径的圆,
而 ,即为点 到点 之间的距离,
所以 的最大值为 ,故 D 正确.
10.若随机变量 ,则
A. 的正态曲线与 轴只有一个交点
B. 的正态曲线关于直线 对称
C.
D 若 则
【答案】ACD
【解析】若 ,则其密度函数 ,因此 的正态曲线与 轴只有一个交点 ,故 A 正确;
的正态曲线关于直线 对称，故 B 错误；
,故 C 正确;
,故 D 正确.
11.已知函数 ,则
A. 若 存在两个零点 ,则
B. 若 仅有一解,则
C. 用 表示不大于 的最大整数. 若 ,则
D. 若方程 无解,则实数 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于 ,即 有两个解 ,如图,
由图知,不妨取 ,
,故 A 正确;
对于 ,即
当 时, 在区间 上单调递减;
当 时, ,
所以 在区间 上单调递减,
即 在区间 上单调递减,
若 仅有一解,则 ,故 B 错误;
对于 ,因为 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,即
当 时, 在区间 上单调递增,值域为 ,
当 时, (舍),
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
即 时, 的值域为 ,
故若 有解,则 ,
若方程 无解,则实数 的取值范围是 ,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.随机抽查并统计了某班的四名同学一周内背诵文言文的篇目数量，并得到一组数据 2,6,3,1，则该组数据的方差为________.
【答案】
【解析】这组数据的平均数为 ,故方差 .
13.若 ，且 ，则 _______.
【答案】
【解析】由 ,得 . 因为 ,所以 ,则 ,则 . 由 ,得 ,则 ,解得 .
14.已知点 为双曲线 的右焦点，点 ， 分别为两条渐近线上的点，且 ，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】根据题意作图如下，
设 ,
因为双曲线 的方程为 ,
所以 .
易知 ,
所以 ,
而 ,则 .
所以 ,即 .
所以 ,
当且仅当 时,等号成立,
故 的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.某工厂的某种产品成箱包装，每箱 20 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时, 先从这箱产品中任取 4 件做检验, 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验,设每件产品为不合格品的概率都为 ,且备件产品是否为不合格品相互独立.
(1)求4件产品中恰有 2 件不合格品的概率，并记为 ；
(2)求 的最大值点 .
【解析】(1)4 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 .
(2)因为 ,
令 ,得 .
当 时, ; 当 时, .
所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
所以 的最大值点为 .
16.在 中，角 的对边分别为 ，已知 为锐角，且
(1)求 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
【解析】(1) ,
,即 ,
为锐角, .
(2) ， ，即 ， ，
, ,
的取值范围是 .
17.如图 1 所示的正方形 中， ， ， ，对角线 分别交 ， 于点 ， ，将正方形 沿 ， 折叠使得 与 重合，构成如图 2 所示的三棱柱 .
(1)若点 在棱 上，且 ，证明: 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值.
【解析】
(1) 证明: 如图,过点 作 ,交 于点 ,连接 ,
,
四点共面,且平面 交平面 于 ,
由题可知, ,
在 中， ，
在 Rt 中， ， ，
四边形 为平行四边形, ,
又 平面 平面 ,
平面 .
(2)由(1)， ， .
又 ,分别以 为 轴,建立空间直角坐标系,
由题图知, ,则 , ,
设平面 的法向量为 ,
则
令 ,得 ,
设平面 的法向量为 ,
则
令 ,得 ,
,
平面 与平面 所成夹角的余弦值为 .
18.已知椭圆 右焦点为 ，点 在椭圆 上，且 轴,过点 且与椭圆 有且只有一个公共点的直线 与 轴交于点 ， 为椭圆 的上顶点，点 是椭圆 上异于点 的一动点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若三角形 的面积为 ，求直线 的方程；
(3)设过点 的直线与椭圆 的另一个交点为 ，与曲线 的另一个交点为 ,若直线 斜率为 ,试证明: 直线 过定点.
【解析】(1) 由题意得 解得
所以椭圆 的方程为 .
(2)设直线 的方程为 ，与椭圆 的方程 联立，
得 ，由椭圆 与直线 只有一个交点，
令 ,即 ,①
又直线 过点 ,则 ,②
联立①②可得 即点 为 .
设原点 ，由 ，故 ，
所以点 到直线 的距离为原点 到直线 距离的 2 倍,即点 在直线 关于原点 对称的直线上,
又点 在椭圆 上，所以点 关于原点 对称，
故直线 的方程为 .
(3)设 ，联立 可得 ，
则 ,则 ,即 ,
联立 可得 ,
则 ,则 ,即 ,
设 ,联立 可得 ,
则 ,
又 ,可得 ,
从而 ,即 ,
则直线 斜率为 .
设直线 与 轴交于点 ,则 ,代入点 ,可得 ,
故直线 过定点 .
19.设函数 ，
(1)求实数 的值；
(2)证明: 在区间 上有唯一零点 ；
(3)在( 2 )的结论下，证明: .
【解析】(1) ,
则 ,故 .
(2)令 ，得 ，
令 .
当 时, ,
所以 在区间 上单调递减，
又 ,
故 在区间 上有唯一零点 .
(3)记 ，则 ，
由( 2 )可知 ，
,则 ,
再由 在区间 上单调递减,得 ,
记 ,由 ,
从而 . 当 时, , (13 分)
所以 在区间 上单调递减,所以 .
故 .
因此, 在区间 上单调递减,进而 .
所以,当 时, .
所以 .