湖南省雅礼中学2026届高三月考(四)数学试卷

这是一份湖南省雅礼中学2026届高三月考(四)数学试卷，共13页。试卷主要包含了 若随机变量X∼N，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 下列写法正确的是
A. ∅⊆{0} B. 0∈∅
C. {0}∈{0，1} D. ∅∈{0，1}
2. 已知a>b，c>d，则下列不等关系正确的是
A. ac2>bc2 B. a3>b3
C. 1ab−d
3. 下列说法错误的是
A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B. |a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件
C. 只有零向量的模等于0
D. 共线的单位向量都相等
4. 等比数列{an}中，a1+a3=20，a2+a4=10，记Tn为数列{an}的前n项积，则Tn的最大值是
A.256 B.512 C.1024 D.2048
5. 如图，二面角α−l−β的棱上有两点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱l，若AB=2，AC=3，BD=4，CD=41，则二面角α−l−β的大小为
A. π6 B. π3
C. 2π3 D. 5π6
6. 已知数列{an}满足递推关系an+1=anan+1，a1=12，则a2026=
A. 12027 B. 12026
C. 12025 D. 12024
7. 若实数x，y满足x2+2y2−2xy=1，则2x2+2y2的最小值为
A.1 B. 3−5
C. 2−22 D.2
8. 已知正四面体P−ABC内接于球O，点E是底面三角形ABC的边AB的中点，过点E作球O的截面，若存在半径为3的截面圆，则正四面体P−ABC棱长的取值范围是
A. [2,3] B. [3,6]
C. [22,23] D. [23,26]
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 若复数z满足(2+i)z=4+3i（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是
A. z在复平面内对应的点位于第四象限
B. z·z¯=5（z¯是z的共轭复数）
C. z2=5−4i
D. 若|z1|=2，则|z1−z|的最大值为5+2
10. 若随机变量X∼N(μ,σ2)，则
A. X的正态曲线与y轴只有一个交点
B. X的正态曲线关于直线x=σ对称
C. 2P(X>μ+3σ)=P(|X−μ|>3σ)
D. 若Y=X−μσ，则E(Y)=0，D(Y)=1
11. 已知函数f(x)=|lnx|−a，g(x)=x，则
A. 若f(x)存在两个零点x1，x2，则x1x2=1
B. 若f(x)=g(x)仅有一解，则a=−1
C. 用[x]表示不大于x的最大整数。若h(x)≠g([x])，则h(x+1)>h(x)
D. 若方程f(x)+[g(x)]2=0无解，则实数a的取值范围是−∞,1+ln22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 随机抽查并统计了某班的四名同学一周内背诵文言文的篇目数量，并得到一组数据2，6，3，1，则该组数据的方差为____。
13. 若α∈−π2,0，且cs2α=csα+π4，则α=____。
14. 已知点F为双曲线C:x22−y24=1的右焦点，点A，B分别为两条渐近线上的点，且AF→=λFB→(λ>0)，则|OA|+|OB|的最小值为____。
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱20件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取4件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0bc2，故A错误；
对于B，a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)a+b22+3b24。
因为a>b，若a+b22+3b24=0，则a+b2=0且b=0，可得a=b=0，这与a>b矛盾，
所以a+b22+3b24>0，且a−b>0，故a3−b3=(a−b)a+b22+3b24>0，故a3>b3，故B正确；
对于C，当a=1>b=−1时，1a=1>1b=−1，显然不满足1ab，c>d，但a−c=4b−d显然不成立，故D错误。
3.D
【解析】选项A，由空间向量的定义知，空间向量只有大小和方向，所以任意两个空间向量不能比较大小，故A正确；选项B，两个向量模长相等，方向不一定相同，充分性不成立，两个相等向量模长一定相等，必要性成立，故B正确；选项C，长度为0的向量叫做零向量，只有零向量的模长等于0，故C正确；选项D，共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D错误。
4.C
【解析】设公比为q，由{a1+a1q2=20,a1q+a1q3=10,得{a1=16,q=12,
所以an=a1qn−1=16×12n−1=25−n，
所以Tn=24×23×22×⋯×25−n=24+3+2+⋯+(5−n)=2n(4+5−n)2=2n(9−n)2，
因为n(9−n)2=−n2+9n2=−n−922+8142，
所以当n=4或n=5时，n(9−n)2取得最大值10，
又2>1，所以Tn的最大值是210=1024。
5.C
【解析】设=θ(0≤θ≤π)，则二面角α−l−β的大小为θ，
由题意，CA⊥AB，AB⊥BD，则AC→·AB→=BD→·AB→=0，=π−θ，
所以|CD→|2=(CA→+AB→+BD→)2=|CA→|2+|AB→|2+|BD→|2+2|CA→||BD→|cs(π−θ)，
即41=9+4+16+2×3×4×(−csθ)，得csθ=−12，所以θ=2π3，
即二面角α−l−β的大小为2π3。
6.A
【解析】依题意，an≠0，由an+1=anan+1，得1an+1=an+1an=1an+1，即1an+1−1an=1，而1a1=2，因此数
列1an是以2为首项，1为公差的等差数列，则1an=2+(n−1)×1=n+1，(an=1n+1，所以a2026=12027。
7.B
【解析】原方程化为(x−y)2+y2=1，令csθ=x−y，sinθ=y，则2x2+2y2=2(csθ+sinθ)2+2sin2θ=4−2cs2θ+4csθsinθ
=4−cs2θ−1+2sin2θ=3+5sin(2θ−φ)≥3−5。其中csφ=255，sinφ=55。
8.C
【解析】如图，在正四面体P−ABC中，设顶点P在底面三角形ABC的射影为O1，
则球心O在PO1上，O1在CE上，且|CO1|=23|CE|，连接OE，OC，
设正四面体P−ABC的棱长为a，则|CE|=32a，|CO1|=23|CE|=33a，
则正四面体的高PO1=PC2−O1C2=a2−33a2=63a，
设外接球半径为R，
在Rt∆OO1C中，OC2=OO12+O1C2，即R2=63a−R2+33a2，解得R=64a，
所以在Rt∆OO1E中，OE=OO12+O1E2=612a2+36a2=24a。
过点E作外接球O的截面，当OE⊥截面圆所在的平面时，截面圆的半径最小，
此时截面圆的半径为\（r=R2−OE2=64a2−24a2=12a，
最大截面圆为过球心的大圆，半径为r=R=64a，
由题设存在半径为3的截面圆，所以12a≤3≤64a，解得22≤a≤23。
9.ABD
【解析】z=4−3i2+i=(4−3i)(2−i)(2+i)(2−i)=5−10i5=1−2i，
在复平面内z所对应的点坐标为(1,−2)，在第四象限，故A正确；
z·z¯=(1−2i)·(1+2i)=1+4=5，故B正确；
z2=(1−2i)2=1−4−4i=−3−4i，故C错误；
对于D，|z1|=2，则复平面内表示复数z1的点P的集合是以(0,0)为圆心，2为半径的圆，
而|z1−z|=|z1−(1−2i)|，即为点P到点(1,−2)之间的距离，
所以|z1−z|的最大值为12+(−2)2+2=5+2，故D正确。
10.ACD
【解析】若X∼N(μ,σ2)，则其密度函数f(x)=1σ2πe−(x−μ)22σ2，因此X的正态曲线与y轴只有一个交点
0,1σ2πe−μ22σ2，故A正确；
X的正态曲线关于直线x=μ对称，故B错误；
P(|X−μ|>3σ)=P(Xμ+3σ)=2P(X>μ+3σ)，故C正确；
E(Y)=E(X)−μσ=0，D(Y)=1σ2D(X)=1， 故D正确.
11.ACD
【解析】对于A，f(x)=|lnx|−a=0，即a=|lnx|有两个解x1，x2，如图，
由图知，不妨取0