湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期月考（四）数学试卷（解析版）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期月考（四）数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知，则， 已知随机变量，且，则的值为， 函数的最大值为等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.
第I卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合间的关系，以及交并补运算的定义，结合选项即可逐一求解.
【详解】集合
，，故选项A错误；
显然且，故选项B错误；
，故选项C正确；
，选项D错误.
故选：C
2. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】举出反例即可判断AD；根据不等式的性质即可判断B；利用作差法即可判断C.
【详解】对于A，，不妨取，则，
此时，故A错误；
对于B，，由不等式的可乘性得，故B错误；
对于C，由B知，即，故C正确；
对于D，不妨取，则，故D错误.
故选：C.
3. 已知随机变量，且，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正态分布曲线的性质即可得解.
【详解】随机变量，且，
.
故选：A
4. 已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为（ ）
A. 66B. 72C. 132D. 198
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列的公差，求得其通项公式求解.
【详解】因为等差数列的公差,
所以，则 ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 或12时，该数列的前项和取得最大值，
最大值为，
故选：A
5. 如图所示是一个无盖的瓶子，该瓶子由上部分圆柱和下部分圆台组成，圆柱的底面圆的半径为1，圆台的下底面圆的半径为2，圆柱和圆台的高相等，若该瓶子的侧面积为，则瓶子的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆柱和圆台的侧面积和体积公式求解即可.
【详解】设圆柱和圆台的高为，圆台的母线为，则.
瓶子的侧面积，解得.
瓶子的体积.
故选：A
6. 已知平面向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量的平行和数量积的坐标运算，结合三角函数恒等变换及性质，得到和的等价结果做出判断.
【详解】若，则有，即，
则，解得.
若，则有，即，
则或，
解得或，
显然由可以推出，但由不一定能推出，
因此“”是“”的充分不必要条件.
故选：C
7. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. 10D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：对函数求导得出其在上的单调性，即可求得其最大值；方法二：利用向量数量积的坐标表示以及向量不等式计算可得结果.
【详解】方法一：由题可得函数的定义域为，
由解得，
可得当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减；
当时，；当时，；当时，；
.
方法二：令.
.
由，可得.
当且仅当与共线同向，即时取等号.
函数的最大值为.
故选：D
8. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）
A. 点第一次到达最高点需要20秒
B. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米
C. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可.
【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，
，
由题意，，，解得,
，则.
当时，，则，
又，则.
综上，，故D正确；
令，则，
若，得秒，故A正确；
当秒时，米，故B不正确；
当秒时，米，故C正确.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由函数奇偶性的概念及函数解析式直接判断单调性，即可求解.
【详解】对A函数为奇函数.且当时，
单调递增；
根据奇函数的性质，在上也单调递增，在上为增函数，故A正确；
对B函数的定义域为函数为非奇非偶函数，故B错误；
对C函数不是奇函数，故C错误；
对D为奇函数，
且均随的增大而增大，即在上为增函数，故D正确.
故选：AD
10. 某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴某市的四个区参加防疫工作，每名医生只能去一个区，则下列说法正确的是（ ）
A. 若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法
B. 若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法
C. 若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法
D. 若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法
【答案】ABD
【解析】
【分析】全排列可得A正确；先将人员分组为2,1,1，再将三组人员送到三个地方可得B正确；全排中除去甲去 区，乙去 区，再加上多减的即可判断C错误；隔板法，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，再计算后可得D正确.
【详解】A：若四个区都有人去，则共有种不同的安排方法，故A正确；
B：若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法，故B正确；
C：若甲不去 区，乙不去 区，且每区均有人去，则共有种不同的安排方法，故C错误；
D：若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服，且每区至少发放3箱，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份，且隔板不相邻，不在两端，则共有种不同的安排方法，故D正确；
故选：ABD.
11. 已知抛物线的准线，直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则以为直径圆与相交
B. 若，则为坐标原点
C. 过点分别作抛物线的切线，，若，交于点A，则
D. 若，则点到直线的距离大于等于
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据条件得到，再结合各个选项的条件，逐一分析判断即可得出结果.
【详解】由题可得抛物线，设，，
对于选项A，当时，直线过的焦点，
此时，
又的中点到准线的距离为，
则以为直径的圆与相切，故选项A错误；
对于选项B，当时，直线，
将代入，得，则，
又易知，
所以，故选项B正确；
对于选项C，由题可设抛物线在点处的切线方程为，
由，消得到，
由，得到，
又，所以，得到，
所以在点处的切线方程为，整理得到，
同理可得抛物线在点处的切线方程为，
联立，解得，故，故选项C正确；
对于选项D，由抛物线的对称性，可知当轴时，点到直线的距离最小，
由，不妨取，代入，得到，
所以，点到直线的距离为，故选项正确．

故选：BCD.
【点睛】方法点睛：与弦端点相关问题的解法
解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲、乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲、乙两人击中无人机的概率分别为、，且甲、乙射击互不影响.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】对无人机被一人击中或被两人击中进行分类讨论，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件
的概率.
【详解】若无人机被一人击中，则该无人机被击落的概率为，
若无人机被两人都击中，则该无人机被击落的概率为.
综上所述，无人机被击落的概率为.
故答案为：.
13. 已知，为椭圆的左右焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则椭圆的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，是关于坐标原点对称的两点，且知四边形为矩形，进而得到，，的比例关系，求出离心率.
【详解】连接，，，
，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，为的中点，
又为的中点且，四边形为矩形，
不妨设，则，
.
故答案为：
14. 欧拉函数表示不大于正整数且与互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.知，其中，是的所有不重复的质因数（质因数：因数
中的质数）.例如.若数列是首项为3，公比为2的等比数列，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义求出，利用等比数列的求和公式得解.
【详解】由题意可得，
则，
当时，，
则.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 竹编是某地的地方特色，某地区相关部门对该地居民在过去两年内学习竹编次数进行了详尽统计，然后随机抽取了80名居民的学习数据，现将整理后的结果呈现如下表：
（1）若将这两年学习竹编的次数为3次及3次以上的，称为学习竹编“先锋”，其余的称为学习竹编“后起之秀”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学习竹编有关系；
学习竹编次数
0
1
2
3
4
5
6
合计
男
1
3
5
7
9
9
6
40
女
5
6
7
7
6
5
4
40
合计
6
9
12
14
15
14
10
80
性别
学习竹编
合计
（2）若将这两年内学习竹编6次的居民称为竹编“爱好者”，为进一步优化竹编技术，在样本的“爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男性人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附：，
【答案】（1）据小概率值的独立性检验，能认为性别因素与学习竹编有关系；
（2）分布列见解析，数学期望为1.8.
【解析】
【分析】（1）完善列联表，再计算的观测值，与临界值比对作答.
（2）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
【小问1详解】
根据统计表格数据可得列联表如下：
后起之秀
先锋
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
性别
学习竹编
合计
后起之秀
先锋
男生
9
31
40
女生
18
22
40
合计
27
53
80
零假设为：性别与学习竹编情况独立，即性别因素与学习竹编无关，
根据列联表的数据计算得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即该地区性别因素与学习竹编有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
【小问2详解】
样本中“爱好者”共10名，其中6名男生，4名女生，
则的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
所以所求分布列为：
数学期望.
16. 已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧棱平面ABCD，点M在棱DP上，且，点N是在棱PC上的动点（不为端点）.
（1）若N棱PC中点，完成：
（i）画出的重心G（在图中作出虚线），并指出点G与线段AN的关系：
（ii）求证：平面AMN；
0
1
2
3
（2）若四边形ABCD是正方形，且，当点N在何处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值取最大值.
【答案】（1）答案见解析.
（2）当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大.
【解析】
【分析】（1）（i）连接PO后确定点G，再通过在中的重心来确定PO线上的比例关系，进而得出的重心.
（ii）利用（i）中得出的比例关系与原题中相同的比例关系构建相似三角形即可证明.
（2）先设出N位置，即PN与PC的关系，建立空间直角坐标系求出直线PA与平面AMN所成角带参数的正弦值，通过线面角正弦值的范围与分式、根式的最值即可求出答案.
【小问1详解】
（i）设AC与BD的交点为O，连接PO与AN交于点G，
点O为AC中点，点N为PC中点，
PO与AN的交点G为的重心，
，
又PO为在BD边上的中线，
点G也为的重心，即重心点G在线段AN上.
（ii）
证明：连接DG并延长交PB于点H，连接，
点G为的重心，
，
又，
即，又MG在平面AMN内，BP不在平面AMN内，
所以PB∥平面AMN.
【小问2详解】
四边形ABCD是正方形，且平面ABCD，
AB、AD、AP两两垂直，
以A为坐标原点，方向为x轴正方形建立空间直角坐标系，如图所示，
则点，，，，
则，，，
设则，
，
设平面AMN的法向量为，
则有，
化简得：，
取则，，
设直线PA与平面AMN所成角为，
则，
当时的值最大，
即当点N在线段PC靠点P的三等分点处时，直线PA与平面AMN所成角的正弦值最大，最大值为.
17. 已知在钝角中，角所对的边长分别为，，且为正整数.
（1）求边长；
（2）已知，求.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理结合三角形的任意两边之和大于第三边，即可求解；
（2）在中，先由余弦定理求得，再结合正弦定理即可求解；
【小问1详解】
为钝角三角形，
又角钝角，
，
，
三角形的任意两边之和大于第三边，
，即，即，
为正整数，.
【小问2详解】
由（1）知：，
，
，
在中，，
在中，，即，解得.
18. 已知双曲线的左､右焦点分别为，且焦距为4，左顶点为，过右焦点的动直线交双曲线于两点，当直线垂直于轴时，.
（1）求双曲线的方程；
（2）若动直线与双曲线的左支交于点，右支交于点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由双曲线的性质，求得双曲线方程；
（2）先表示出，联立由韦达定理，找出，又，解得，故而得解.
【小问1详解】
由题意知，双曲线的焦距为4，所以，
当直线垂直于轴时，，可得.
把代入双曲线中得，①，又①，
则联立方程①②解得，.
双曲线的方程为.
【小问2详解】
如图，由双曲线的性质可得：.
设，
则，
.
设直线的方程为：，
联立，得，
则恒成立，
，
由于直线与双曲线交于左､右两支，则，解得，
又，
且.
令，且，则，
，
的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，函数在区间内有唯一极值点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：在区间内有唯一的零点，且.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由导数求得切线斜率，由点斜式得直线方程并整理即可；
（2）（i）求出导函数，根据分类讨论，分和两类，对还需对导函数再一次求导，确定单调性，极值点； （ii）在（i）的基础上，先证明是唯一零点，然后证明：求出，利用是极值点，化简消去，得的函数，然后利用导数证明，最后由的单调性得证结论成立．
【小问1详解】
当时，，
，即切点为，
故曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
（i）函数，
①当时，当时，，
则在区间上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
②当时，设，
则在区间上恒成立，
在区间上单调递增，即在区间上单调递增，
又在区间上有唯一零点，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
函数在区间内有唯一极值点，符合题意，
综上，的取值范围是.
（ii）由（i）知，当时，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
时，，则，
又在区间上有唯一零点，
即在区间上有唯一零点.
，
由①知，
则，
设，
则，
，
在区间上单调递增，又，
又.
.
由前面讨论知在区间上单调递增，
.
【点睛】方法点睛：本题考查用导数确定函数的极值点与零点问题，属于难题．证明，考虑到的来源，因此联想用的单调性，只要证明，这是关键，为此计算，并由是极值点得出与的关系，从而消去参数，只剩下一个未知数，引入新函数，利用导数证明出结论．