广东省汕尾市2026届高三上学期综合测试（一）数学含解析（word版）

这是一份广东省汕尾市2026届高三上学期综合测试（一）数学含解析（word版），文件包含广东省汕尾市2025-2026学年高三上学期综合测试一数学试题与解析docx、广东汕尾2026届高三上学期综合测试一数学试题pdf、广东汕尾2026届高三上学期综合测试一数学答案pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 , ,
,.
2.在复平面内,复数 满足 ,则 的虚部为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,所以虚部为 .
3.某圆台形无盖水桶的表面积为 ,水桶下底面的半径为 ,上底面的半径为 10 cm，则该水桶的容积为(水桶壁与底的厚度忽略不计)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】水桶是一个倒立的圆台,设母线长为 ,
因为表面积为 ,下底面的半径为 ,上底面的半径为 ,
所以 ,解得 ,
设水桶的高为 ,如图所示:
所以水桶的容积为 .
4.双曲线 过点 ,其两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的方程为
A. B. 不存在C. D.
【答案】C
【解析】由题意知,渐近线的倾斜角为 或 ,
当倾斜角为 时,渐近线方程为 ,点 在直线 的下方,不可能在双曲线上, 不成立;
当倾斜角为 时,渐近线方程为 ,点 在直线 的上方,
此时.
5.定义在 上的函数 满足 ,且当 时, 则
A. B. C. 2 D. -2
【答案】D
【解析】显然 的周期为 2,所以 .
6.某投资公司计划投资 A，B 两种理财产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润 与投资成本 成正比例,其关系如图 1 所示，B 产品的利润 与投资成本 的算术平方根成正比例, 其关系如图 2 所示(利润与投资成本单位: 万元). 假设该公司有 20 万元资金, 并全部投入 A，B 两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为

图 1 图 2
A. 5.6 万元 B. 5 万元 C. 6 万元 D. 4.8 万元
【答案】D
【解析】设投资为 万元, 产品的利润为 万元, 产品的利润为 万元.
由题意设 .
由图知 . 又 .
从而 .
设 产品投入 万元，则 产品投入 万元，
设公司利润为 万元,
则 ,
设 ,则 ,
当 时, ,此时 .
所以 产品投入 16 万元, 产品投入 4 万元时,才能使公司获得最大利润,最大利润为 4.8 万元.
7.四只鸽子飞回三个不同的笼子，则最少有一个空笼子的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】概率为 .
8.已知圆 为 的外接圆, 是边 上一点,且 平分 ,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,
因为 是 的平分线,
所以 ，
设 ， ，
因为 ，
所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法中正确的有
A. 若 ,则 B.
C. 若 ,则 D. 若 ,则 有最大值 2
【答案】AB
【解析】 ,故选项 正确.
时, ,则 ,故选项 B 正确.
若 或 ,即 ,则 ,故 ;
若 ,即 ,则 ,故 ,故选项 错误.
当 时, ;
当 时, ,设 ,由对勾函数的性质知, ,所以 ,即原式最大值为 , 故选项 D 错误.
10. 分别是等差数列 的前 项和,则
A. 是等差数列B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ,则
【答案】AC
【解析】设等差数列 的公差分别为 ,则 ,所以 是等差数列, 正确; ,故 B 错误; 设 ,则 . 可设 ,所以 ,所以 ,故 正确; 成等差数列,所以 ,故 错误.
11.已知函数 ,则
A. 若 ,且 的对称中心为 ,则 的极大值点为
B. 若 ，且 ，则函数 有两个零点
C. 若 有两个极值点 ,且 ,则 只有一个零点
D. 若 且 ,直线 是过函数 对称中心的切线,定点 满足 ，则过点 与 相切的直线有三条
【答案】ACD
【解析】由题意得 的对称轴为直线 ,因为 在函数图象上,可解得 ,所以 ,所以极大值点为 正确;
因为 ,且 ,所以 ,所以导函数的判别式大于 0,所以原函数有两个极值点,但零点可能有一个,两个,三个, 错误;
因为 有两个极值点,且极值点处函数值符号相同,结合图象知,只有唯一一个零点, C 正确;
因为 且 ,所以 有两个极值点,且 所在大概位置如图所示, 所以有三条切线, D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知一个扇形的周长是 16，面积是 12，则其圆心角的弧度为________.
【答案】6 或
【解析】设扇形的半径为 ,弧长为 ,圆心角为 ,所以 解得 或 当 时,利用 ,解得 ; 当 时,利用 ,解得 .
13.圆 的圆心是椭圆 的上焦点,且与直线 相切，圆 面积的最大值为_______.
【答案】
【解析】因为直线 过定点 ,椭圆 的上焦点为 ,所以当半径为 和 两点间的距离时,圆的面积最大,此时最大面积为 .
14.已知 为坐标原点,抛物线 上一点 到其焦点的距离为 5,过 的焦点 的直线交 于 两点，当 时， 的值为________.
【答案】16
【解析】由已知得 ,则 ,所以抛物线方程为 ,设直线 的倾斜角为 ,
因为直线 过焦点 ，所以 ，
又因为 ,所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知 在 处有极小值.
(1)求 的值；
(2)设 ，若 在 上恒成立，求 的取值范围 ， 是自然对数的底数) .
【解析】(1) 由题意 ,
,
解得 .
当 时, ,且 的定义域为 ,
所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
所以 在 处有极小值,
所以 符合题意.
(2)由题意 在 上恒成立，所以只需 ,
由 (1) 知 ,
所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
因为 ,
所以 , 所以 .
16.如图,在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点.
(1)若 ，求点 到平面 的距离；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值.
【解析】( 1 )方法一:
如图建立空间直角坐标系 ,则 , ,
所以 ,
设平面 的法向量为
所以 令 ,则 ,此时 ,
因为 ,
所以 ,
又因为 平面 ,所以 平面 .
所以点 到平面 的距离就是点 到平面 的距离,设此距离为 ,
,即点 到平面 的距离为 .
方法二:
因为在正方体 中, 且 ,
所以四边形 是平行四边形,则 ,
又因为 面 ,则 平面 .
所以点 到平面 的距离就是点 到平面 的距离,设此距离为 , ,
则 ,
,所以 ,
则 ,
所以 .
(2)平面 的一个法向量为 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
则 ,
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 .
17.已知 分别为 三个内角 的对边,若 且 .
(1)求角 以及边 的大小；
(2)若 分别是 的中点，且 交于点 ，求 .
【解析】
( 1 ) ， ,
, , , ,
, ,即 .
, ,
, .
(2)方法一:
由题意知, ,
,

方法二:
由已知及余弦定理,得 ,
,
，
是 的重心,

.
18.记 为递增数列 的前 项和， .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和；
(3)记 ， 的前 项和为 ，证明: .
【解析】(1) 令 ,则 ,解得 ,
当 时， ，
所以 ,即 ,
因为 ,且 是递增数列,所以 ,
所以 ,即 是等差数列,
所以 .
(2)设 是数列 的前 项和，
因为 ,所以 ,
两式相减得 ,
即 .
(3)方法一:
,①
因为 ,
所以 ,
① + ②得 ，
即 ,
所以 .
方法二:
因为 是递增数列,所以 是递减数列.
所以 ,
所以 ,
所以 .
19.已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；
(2)当 时，证明: 在 内存在唯一极小值点 ；
(3)若 是负整数，且 对任意的 恒成立，求 的最大值.
【解析】( 1 ) 的定义域为 ，
,则 ,
因为曲线 在点 处的切线方程为 ,
所以 ,解得 .
当 时, ,
,点 处的切线为 ,即 ,
所以 .
(2) 当 时, ,
令 ,则 ,
当 时, ,
故 ,即 在 上单调递增. 6 分
由零点存在定理, 在 有唯一零点 ,
且 时, 单调递减; 时, 单调递增,
故 在 内存在唯一极小值点 .
(3)当 时， ,
因为 ,所以 不符合题意;
故 .
当 时, ,
当 时, ,
令 ,可得 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时, ,所以 , 即 .
当 时, ,
所以 ,即 .
当 时, ,即 .
综上所述,若 对任意的 恒成立,负整数 的最大值为 -2 .