广东省汕尾市2026届高三上学期综合测试（一）数学试卷

这是一份广东省汕尾市2026届高三上学期综合测试（一）数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．某圆台形无盖水桶的表面积为，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（ ）（水桶壁与底的厚度忽略不计）
A．B．C．D．
4．双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．不存在
C．D．
5．定义在上的函数满足，且当时，则（ ）
A．B．C．2D．
6．某投资公司计划投资A，B两种理财产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成本成正比例，其关系如图1所示，B产品的利润与投资成本的算术平方根成正比例，其关系如图2所示（利润与投资成本单位：万元）.假设该公司有20万元资金，并全部投入两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（ ）
A．5.6万元B．5万元C．6万元D．4.8万元
7．四只鸽子飞回三个不同的笼子，则至少有一个空笼子的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．若，则有最大值2
10．分别是等差数列的前项和，则（ ）
A．是等差数列
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．已知函数，则（ ）
A．若，且的对称中心为，则的极大值点为
B．若，且，则函数有两个零点
C．若有两个极值点，且，则只有一个零点
D．若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点与相切的直线有三条
三、填空题
12．已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度 .
13．圆的圆心是椭圆的上焦点，且与直线相切，圆面积的最大值为 .
14．已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为5，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为 .
四、解答题
15．已知在处有极小值.
(1)求的值；
(2)设，若在上恒成立，求的取值范围（，是自然对数的底数）.
16．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.
(1)若，求点到平面的距离；
(2)求平面与平面夹角的正弦值.
17．已知分别为三个内角的对边，若且.
(1)求角以及边的大小；
(2)若分别是的中点，且交于点，求.
18．记为递增数列的前项和，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)记的前项和为，证明：.
19．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)当时，证明：在内存在唯一极小值点；
(3)若是负整数，且对任意的恒成立，求的最大值.
参考答案
1．B
【详解】，
，
，
.
故选：B
2．D
【详解】，所以虚部为.
故选：D
3．B
【详解】水桶是一个倒立的圆台，设母线长为，
因为表面积为，下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，
所以，解得，
设水桶的高为，如图所示：
，
所以水桶的容积为.
故选：B
4．C
【详解】由两条渐近线的夹角为，可得渐近线的倾斜角为或，
由可知双曲线的焦点在轴上，
当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为，点在直线的下方，不可能在该双曲线上，不合题意；
当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为，点在直线的上方，此时解得，则双曲线的方程为.
故选：C
5．D
【详解】，故的一个周期为2，
所以.
故选：D
6．D
【详解】设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元.
由题意设.
由图知.又.
从而.
设A产品投入万元，则B产品投入（）万元，
设公司利润为万元，
则，
设，则，
，
当时，，此时.
所以A产品投入16万元，B产品投入4万元时，才能使公司获得最大利润，最大利润为4.8万元.
故选：D
7．B
【详解】四只鸽子飞回三个不同的笼子的总方法数为，
其中“至少有一个空笼子”包含两种情况：
① 恰有两个空笼子（即4只鸽子在同一个笼子），有种；
② 恰有一个空笼子（即4只鸽子在两个笼子里），有种，
故所求概率为.
故选：B
8．A
【详解】，
因为是的平分线，
所以，
设，
因为，
所以.
故选：A
9．AB
【详解】，故选项A正确.
时，，则，故选项B正确.
若或，即，则，故；
若，即，则，故，故选项C错误.
当时，；
当时，，设，由对勾函数的性质知，，
所以，即原式最大值为，故选项D错误.
故选：AB
10．AC
【详解】设等差数列的公差分别为，
则，
所以是等差数列，A正确；
，故B错误；
设，
则，
又，
所以.
可设，
所以，
所以，故C正确；
成等差数列，
又，
所以，所以，故D错误.
故选：AC
11．ACD
【详解】因为的对称中心为，
则的对称轴为，
代入，得，，
又因为，所以，
故，
令，得极值点和；
当时，当时,
所以极大值点为，A正确；
因为，且，所以，即有两个不同的零点（极值点），
但三次函数的零点个数由极值的符号决定：
若极大值与极小值同号，则只有1个零点；若异号，则有3个零点，
仅无法确定极值符号，故无法判断零点个数，B错误；
因为有两个极值点，则，即，
是的根，由韦达定理：
，，
又因为，显然两个极值点处的函数值同号，
若，先增后减再增，极值同号则与轴仅一个交点；
若，先减后增再减，极值同号则与轴仅一个交点,
结合图象知，只有唯一一个零点，C正确；
因为且，所以有两个极值点，且所在大概位置如图所示，所以有三条切线，D正确.
故选：ACD.
12．6或
【详解】设扇形的半径为，扇形的弧长为，所以，解得或；
当，时，利用，解得；
当，时，利用，解得.
故答案为：6或.
13．
【详解】因为直线过定点，椭圆的上焦点为，
当直线垂直于直线时，圆面积取得最大值，
此时圆的半径为：，
此时最大面积为.
故答案为：
14．16
【详解】由已知得，则，所以抛物线方程为，
设直线的倾斜角为，
因为直线过焦点，所以，
又因为，
所以.
故答案为：16
15．(1)
(2).
【详解】（1）因为，
所以，依题意可得，解得.
当时，定义域为，且，
所以当或时，当时，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在处有极小值，所以符合题意.
（2）由题意在上恒成立，所以只需，
由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，
因为，所以，
即，所以.
16．(1).
(2).
【详解】（1）方法一：
如图建立空间直角坐标系，则，
所以，
设平面的法向量为
所以令，则，此时，
因为，
所以，
又因为平面，所以平面.
所以点到平面的距离就是点到平面的距离，
设此距离为，，即点到平面的距离为.
方法二：
因为在正方体中，且，
所以四边形是平行四边形，则，
又因为面，则平面.
所以点到平面的距离就是点到平面的距离，设此距离为，
，
则，
，
，所以，
则，
所以.
（2）平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
则，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
17．(1)，6
(2)
【详解】（1）（为外接圆半径），
，
，，，
，
，
，即.
，
，
，.
（2）方法一：由题意知，，
，
，
，
.
方法二：由已知及余弦定理，得，
，
，
是的重心，
，
.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题令，则，解得，
当时，，
所以，即，
因为，且是递增数列，所以，
所以，即是公差和首项均为2的等差数列，
所以.
（2）设是数列的前项和，
因为，所以，
所以，
则，
两式相减得，即.
（3）方法一：，
所以，①
因为，
所以，②
①+②得，
即，所以.
方法二：因为是递增数列，所以是递减数列.
所以，
所以，
所以
.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）的定义域为，
，则，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，解得.
当时，，
，点处的切线为，即，
所以.
（2）当时，，令，则，
当时，，
故，即在上单调递增.
，
由零点存在定理，在有唯一零点，
且时，单调递减；时，单调递增，
故在内存在唯一极小值点.
（3）当时，，
因为，所以不符合题意；
故.
当时，，
当时，，
令，可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，所以，
即.
当时，，
所以，即.
当时，，即.
综上所述，若对任意的恒成立，负整数的最大值为.