2022-2023学年广东省汕尾市高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省汕尾市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．命题“”的否定是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】全称命题的否定是特称命题

【详解】命题“”的否定是“”.

故选：B

2．集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集运算法则即可得出结果.

【详解】由题意可知，中的元素需满足且，

所以.

故选：A

3．函数的零点所在区间（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用零点存在性定理进行判断．

【详解】因为，且是增函数，

所以（1），（2），

，

所以根据零点存在性定理可知，

函数的零点在区间内，

故选：B．

4．已知角的终边经过点，且，则

A．8 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】利用三角函数的定义，列出方程，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，可得，

根据三角函数的定义，可得且，解得.

故选B.

【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

5．托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花.”请根据函数的概念判断：下列对应是集合到集合的函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据各选项中的函数，求出对应的函数的值域，结合可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，按照对应的，函数的值域为，A选项错误；

对于B选项，按照对应的，函数的值域为，B选项错误；

对于C选项，按照对应的，函数的值域为，C选项正确；

对于D选项，按照对应的，函数的值域为，D选项错误.

故选：C.

6．已知，则函数的图像必定不经过（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.

【详解】因为，故的图象经过第一象限和第二象限，

且当越来越大时，图象与轴无限接近.

因为，故的图象向下平移超过一个单位，故的图象不过第一象限.

故选：A．

7．1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数.若，则的值约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数与对数的互化，结合对数换底公式化简求值即可．

【详解】，

故选：D

8．若存在正实数，使得等式和不等式都成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据基本不等式求得，再由存在性问题可得，运算求解即可.

【详解】∵为正实数，则，

当且仅当，即时等号成立，

若存在正实数，使得不等式成立，则，解得或，

故实数的取值范围为.

故选：B.

【点睛】结论点睛：

，使得，等价于；

，使得，等价于.

二、多选题

9．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】A选项，由定义域不关于原点对称，得到A错误；D选项，可举出单调递减区间，D错误；BC选项，根据函数奇偶性定义判断出为偶函数，且直接由解析式判断出在上的单调性.

【详解】的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，A错误；

定义域为R，且，故为偶函数，

且开口向上，对称轴为轴，在上单调递增，B正确；

定义域为，且，故为偶函数，

又当时，单调递增，C正确；

在上单调递减，不满足在区间上单调递增，D错误.

故选：BC

10．已知函数，下列选项中正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．的最大值为2

C．为奇函数 D．在上单调递减

【答案】AD

【分析】利用正弦函数周期公式和三角函数值域可判断AB；根据函数奇偶性定义可判断不是奇函数，可得C错误；利用整体代换和正弦型三角函数单调性可得D正确.

【详解】根据周期公式可得的最小正周期为，所以A正确；

易知当时，有最大值为3，故B错误；

根据函数解析式可得，所以不是奇函数，即C错误；

当时，，根据正弦函数单调性可知在上单调递减，所以D正确.

故选：AD

11．下列各式比较大小，正确的是（    ）

A．1.72.5＞1.73 B．

C．1.70.3＞0.93.1 D．

【答案】BC

【分析】A、B选项利用指数函数的单调性进行比较；C选项利用中间值1比大小；D选项利用指数函数和幂函数的单调性比较．

【详解】解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，

∴1.72.5＜1.73，故选项A错误，

对于选项B：＝，

∵函数y＝2x在R上单调递增，且，

∴＝，故选项B正确，

对于选项C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，

∴1.70.3＞0.93.1，故选项C正确，

对于选项D：∵函数y＝在R上单调递减，且，

∴，

又∵函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且，

∴，

∴＜，故选项D错误，

故选：BC．

12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（    ）

A．

B．若，则或

C．若，则

D．，使得

【答案】ABD

【分析】根据奇偶性、单调性定义易知偶函数在上单调递减，在上单调递增，且，进而逐项分析各项的正误．

【详解】由①，，得为偶函数，

②，，当时，都有，所以在上单调递减，

故,故A正确；

对于B，由,可得或，解得或，故B正确；

对于C，由，得，

若，则或，解得，故C错误；

对于D，由为上的偶函数，在单调递减，在单调递增，

又因为函数的图象是连续不断的，所以为的最大值，

所以，，使得，故D正确．

故选：ABD

三、填空题

13．计算：__________.

【答案】

【分析】利用对数的性质计算即可．

【详解】

故答案为：

14．已知一扇形的弧长为，半径，则弧所对的圆心角为__________.

【答案】

【分析】利用扇形的弧长公式计算即可．

【详解】设弧所对的圆心角为，则，解得

故答案为：

15．已知函数，则的单调递增区间为__________.

【答案】

【分析】利用分段函数的单调性求解即可．

【详解】当时，单调递减；

当时，，在上单调递增，在单调递减；

故答案为：

16．已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】根据奇函数性质可得定义域关于原点对称求出，，再利用函数单调性和奇偶性即可求出不等式的解集.

【详解】根据奇函数定义可知，可得，函数定义域为；

又，可得，所以；

易知函数在上单调递增，

所以不等式即为，

根据函数单调性和奇偶性可得，解得.

故答案为：

四、解答题

17．已知，且为第三象限角.

(1)求和的值；

(2)已知，求的值.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）利用平方关系可得，再由同角三角函数之间的基本关系可得；

（2）利用诱导公式将化简代入（1）中的值即可求得结果.

【详解】（1）由可得，，所以

又为第三象限角，所以；

;

所以，；

（2）利用诱导公式可得，

将代入可得，

即.

18．已知集合，或.

(1)当时，求；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出或，从而求出交集；

（2）根据题意得到是的真子集，从而得到不等式，求出实数的取值范围.

【详解】（1）时，或，

故或=

（2）是的充分不必要条件，

故是的真子集，

因为，故要满足是的真子集，

则或，

解得：或

故实数的取值范围是.

19．已知函数，关于的不等式的解集为.

(1)求不等式的解集；

(2)当在上单调时，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据二次不等式的解集可得出，的值，代入不等式即可得出结果.

(2)根据二次函数图像性质，结合对称轴得出关于的不等式，解出即可.

【详解】（1）的解集为，则1和2是的两个根，

所以代入，解得，由，则，

，即的解集为

（2）由，对称轴，

因为在上单调，可得或，解出或，

即的取值范围为

20．已知函数.

(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)偶函数，理由见解析

(2)

【分析】（1）首先判断函数定义域，再利用对数运算法则得出即可判断其为偶函数；（2）将函数在区间上有两个零点转化成函数图象有两个交点的问题，画出函数图象利用数形结合即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）函数为偶函数,理由如下：

由题意可得函数的定义域为，函数的定义域为，

所以的定义域为，关于原点对称；

易知，，所以函数为偶函数.

（2）若函数在区间上有两个零点，

等价于，即，

令，所以函数与有两个交点，

画出函数的图象如下：

由图可知，当夹在和之间时，函数与有两个交点，

所以，

即实数的取值范围为.

21．2022年12月，某市突发病毒感染疫情，第1天､第2天､第3天感染该病毒的人数分别为.为了预测接下来感染该病毒的人数，根据前三天的数据，甲选择了模型，乙选择了模型，其中和分别表示两个模型预测第天感染该病毒的人数，都为常数.

(1)如果第4天､第5天､第6天感染该病毒的人数分别为，你认为选择哪个模型比较好？请说明理由；

(2)不考虑其他因素，推测从第几天开始，感染该病毒的人数将会超过2000.试用你认为比较好的模型解决上述问题.（参考数据：）

【答案】(1)乙选择的模型比较好，详见解析；

(2)第11天.

【分析】(1)根据前三天的数据求出两个函数模型的解析式，再计算第4天､第5天､第6天的数据，与真实值比较得出结论；

(2)由第一问结论列出不等式求解即可.

【详解】（1）由题意把，，代入得：

，解得，，，则，所以

，，，

则，，，

把，，代入得：

，解得，，，则，所以

，，，

则，，，因为，，更接近真实值，

所以模型比较好；

（2）令，解得，由于

，所以，

所以从第11天开始，感染该病毒的人数将会超过2000.

22．已知函数.

(1)若函数的定义域为，求实数的取值范围；

(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据定义域，将问题转化为对任意的,恒成立，分类讨论结合利用二次函数的性质即可求解，

（2）由换元法将问题转化成对任意的恒成立，利用一元二次不等式的解即可分类讨论求解.

【详解】（1）的定义域为，则对任意的,恒成立，

当时，显然成立，故符合，

当时，即，

综上：；

（2）令，由于，则，则问题转化成：恒成立，即，两边平方整理得，进一步得，

当时，即，此时的解为，此时，不等式，故不符合，

当时，即，此时不等式为，当，不等式不成立，故不符合，

当时，即,此时的解为，

故的解为或，故要对，恒成立，则满足，解得，

综上，.