湖北省十一校联考2026届高三上学期12月质检数学试卷含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知全集为 ,若 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ,所以 ,所以 .
2.设 是虚数单位,则 “复数 为纯虚数” 是 “ ” 的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 即 中至少有一个是零; 复数 为纯虚数,故 为小范围, 故为充分不必要条件.
3.若 ，则 的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 知: ,因此 .
4.已知等差数列 的前 项和为 ,等比数列 的前 项积为 ,则 的值为
A. 58 B. 57 C. 56 D. 55
【答案】D
【解析】设等差数列 的首项为 ,等比数列 的首项为 ,则 ,所以 .
5.已知 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若以 为直径的圆过点 ， ,则 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，在焦点 中，由题意知: ①,且 为直角三角形,
再由 ,又 ,故 ,
所以 ,
,代入①式得 ,故 .
6.已知平面向量 ,设 在 上的投影向量为 ,则 与 的夹角为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 在 上的投影向量为 ，即 则有 ,因为 ,所以 .
7.在棱长为 2 的正方体 中，点 是 的中点，点 是侧面 上的一个动点,满足 平面 ,则线段 长度的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】取 的中点 的中点 的中点 ,连接 和 , 由 分别为 的中点，知 ，同理可知: ，有 ，有 ， 又由 面 且 面 ,所以 面 ,同理可知, 面 因为 面 面 ,所以面 面 ,而 面 ,故动点 在面 内的轨迹为 ,由 可知, ,所以 ,即 ,所以线段 的最大值为 .
8.已知函数 及其导数 的定义域均为 在 上单调递增， 为奇函数， 若 ,则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为 为奇函数,所以 ,令 ,则 ,故 , 又 在 上单调递增,所以当 时, ,则 单调递减; 当 时, ,则 单调递增; 又因为 ,则 ①
在①式中令 ，可得 ，所以 ，
因为 ,所以 ,因为 ,所以
因为 ,由于 ,故上式等号不成立, 则 ，又 ，所以 ，即 ，即 ， 同理可得 ,所以 ,所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数 ，关于函数 下列说法正确的是
A. 为 的一个周期 B. 关于直线 对称
C. 的值域为 D. 在 上单调递减
【答案】CD
【解析】 ，由图可知 错误; 的值域为 正确; 在 上单调递减, 正确. 故选 .
10.若二项式 展开式中所有项的系数之和为 ,所有项的系数绝对值之和为 , 二项式系数之和为 ,则
A. B. ,使得
C. D. 对任意 均有
【答案】ACD
【解析】令 ,可得 ,求所有项的系数绝对值之和, 等价于求 的所有项系数和,令 ,可得 ,所以 正确,二项式系数之和为 , 对于 : 因为 ,所以 ,故 错误; 对于 ,因为 ,且 在 上递增, 所以 的最小值为 ,所以, ,故 正确
对于 在 上递减，所以 ,即 , 故 正确.
11.在平面直角坐标系 中,已知双曲线 的右焦点为 ,过 且倾斜角为 的直线 与双曲线 的左右两支分别交于点 ，直线 交双曲线 于另一点 ，连接 ， ,则
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】双曲线 的右焦点为 ，直线 联立 解得 根据对称性知
对选项 故 ,正确;
对选项 故 ,正确;
对选项 , ，错误；
对选项 ,而 ,所以 ,由角平分线定理可知: ,错误
(另解: 直线 到 的距离为 到 的距离为 ,两者不相等, ,错误).
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.某地有 8000 名学生参加考试,考试后数学成绩 近似服从正态分布 ,若 ，则估计该地学生数学成绩在 130 分以上的人数为________.
【答案】240
【解析】期末考试数学成绩 X 服从正态分布 ,则 ,
故 , 某地有 8000 名学生参加考试,
估计某地学生数学成绩在 130 分以上的人数为 .
13.将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在 家庭的不同安排方法数有_____种.
【答案】 60
【解析】分两种情形:① 家庭只有志愿者甲，则另外 4 人在其他的 3 个特殊家庭，此时有 ; ② 家庭除了甲还有另一名志愿者，此时有 ，则共有 种，故志愿者甲恰好被安排在 家庭有 60 种不同安排方法 .
14.已知正 的边长为， 分别为边 的中点，将 沿直线 翻折到 ，当三棱锥 的体积最大时，四棱锥 外接球 的表面积为_____，此时分别过 作球 的两个相切的平面 ，设 相交所成的二面角大小为 ，则 _____.
【答案】
【解析】 的面积为定值，
翻折后平面 平面 时, 到平面 的距离最大,这时三 的体积最大. 设 的中点为 的中心为 的中点为 ,
四棱锥 外接球的球心为 ，
则
此球的半径
外接球的表面积 ; 这时 ,
解 知, ,在 中 ,则 就是 相交所成的二面角的平面角,则 ,
故 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知 分别为锐角 三个内角 的对边,满足 .
(I) 求角 的大小;
(II) 若 的面积 ,求 的取值范围 .
【解析】(1) 由正弦定理得:
所以 , .
又因为 ,可得 ,即 ,
又因为在锐角 中 可得 ;
(2)因为 ，可得 ，由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
在锐角 中
所以
,
,
所以 的取值范围为 .
16.在三棱柱 中， 为 的三等分点，侧面 为正方形， .
(I) 证明: 平面 平面 ;
(II) 证明: 平面 ;
(III) 正方形 边长为 3, ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】(1)证明:由四边形 是正方形，可知 ，又 ，
平面 ,可知 平面 .
而 平面 ，故平面 平面 .
(2) ， ， ， 平面 ， ，可知 平面 .
由 平面 ,可知 ,
故 平面 ;
由( 1 )知平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
(3)故以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
在 Rt 中 ,则
. 得 ,
记平面 的一个法向量为 ,由 即 取 1,得
记直线 与平面 所成的角为 ,故 .
17.某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有 5 个除颜色外其他都相同的小球, 其中 3 个黑球和 2 个红球,
(I)消费每满 2000 元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取 2 个小球，按照表格领取奖金, 求顾客抽奖一次所得奖金的期望;
(II)若该商场对消费不足 2000 元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前, 抽奖箱里仍然是 3 个黑球和 2 个红球, 每位抽幸运奖顾客从中随机抽取 1 个小球, 若取出黑球, 则放回小盒中, 无奖励; 若取出红球, 则用黑球替换该红球重新放回小盒中, 奖励幸运礼品一份; 下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖, 直至红球取完为止. 设 “第 个抽幸运奖顾客获得第 1 份幸运礼品” 记为事件 ，设 “第 个抽幸运奖顾客获得第 2 份幸运礼品” 记为事件 .
(i) 求 和 ;
(ii) 求第 位抽幸运奖顾客恰好获得第 2 份幸运礼品的概率.
【解析】
(1)设一次抽奖的中奖金额为 ，则 所有的可能取值为 100，200，300.
则 的分布列为
故 (元) .
(3) (i) .
(ii) 设第 个顾客获得第 1 份幸运礼品,第 个顾客获得第 2 份幸运礼品的概率为,
则第 个顾客获得第 2 份幸运礼品的概率
所以第 个抽幸运奖顾客获得第二份幸运礼品的概率为 .
18.已知圆心在 轴上移动的圆经过点 ，且与 轴， 轴分别交于 ， 两个动点. 记动点 轨迹为曲线 .
(I) 求点 的轨迹方程;
(II) 设直线 与曲线 相交于 两点,与圆 相切于点 ,若 为 中点,求 的纵坐标取值范围;
(III) 过点 作圆 (圆在曲线 内部) 的两条切线分别交于曲线 于 两点 (异于 点),探究直线 是否过定点.
【解析】(1)依题意可知圆的圆心在 轴，即圆关于 轴对称，三角形 是直角三角形，且 点必在 轴右侧,由直角三角形射影定理可知 ,代入得 .
(2)设

由直线与圆相切可知 ,即 ,
,故 .
由 在抛物线内部可知 ,故 .
(3)设过点 且斜率存在的直线方程为 ，即 .
由该直线与动圆相切可得 ,整理得
易知直线 的斜率存在,分别设为 ,则 是方程的两个不等实根,
则有 .
由于 的斜率不为 0,设 ,设 方程为 ,带入 ,
得 ,则 ,
整理得 ,即 ,
即 方程为 ,此时直线恒过点 .
19.定义: 表示不超过 的最大整数，如[2.1] ，已知函数 ， ,其中 .
(I) 讨论 在 上零点的个数;
(II) 已知函数 .
(i) 写出 定义域 ; 若 ,恒有 ,求 的取值范围;
(ii) ,当 时,有 ,证明: .
【解析】 (1) ,则 ,令 ,解得 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
的最小值为 ,
,即 时, 只有一个零点.
② ，即 时， 没有零点.
③ ，即 时，设 ， ，当 时， 单调递增
即
故 在 各有一个零点,共两个零点
综上所述: 时, 只有一个零点, 时, 没有零点. 时, 共两个零点 .
(2)(i) ，定义域 .
因为 ,所以 ,即 ,
所以 .
当 时，由( 1 )可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ,所以 ,
所以 在 上不减,
所以 ,故 .
(3)(ii)因为 ，当 ，有 ，所以 在 不能是递减的， 假设 ,易知 ,由( 1 )可知, 在 为减函数,在 上为增函数, 而 , (构造 说明单调性及最值)
(又当 时, ,也给分) 故 在 上有两个不同的零点,
设较小的零点为 ,则
若 ,则 .
取 ,则 ,
而 即
故 ,这与题设矛盾 .
若 ,则 ,故 ,
取 ,则 ,
而 即
故 ,这与题设矛盾 .
又 ,所以 .取球结果
2 个红球
2 个黑球
红、黑球各 1 个
奖金
300 元
200 元
100 元
X
100
200
300
P